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Fluctuaciones térmicas

En mecánicas estadísticas, las fluctuaciones térmicas son desviaciones aleatorias de un sistema de su estado promedio, aquello ocurre en un sistema en equilibrio. Todas las fluctuaciones térmicas tienden a ser más grandes y más frecuentes con los aumentos de temperatura, y así mismo existe una disminución de esta cuando la temperatura se acerca al cero absoluto.

Difusión atómica en la superficie de un cristal. La agitación de los átomos es un ejemplo de fluctuaciones térmicas. Así mismo, las fluctuaciones térmicas proporcionan la energía necesaria para que los átomos puedan saltar ocasionalmente de un lugar vecino a otro. Para simplicidad, las fluctuaciones térmicas de los átomos azules no son mostrados.

Las fluctuaciones térmicas son una manifestación básica de la temperatura de sistemas: Un sistema de temperatura distinto de cero la temperatura no se queda en su equilibrio estado microscópico, pero en cambio aleatoriamente muestras todos los estados posibles, con las probabilidades dadas por la Distribución Boltzmann.

Las fluctuaciones térmicas generalmente afectan todos los grados de libertad de un sistema: puede haber vibraciones aleatorias (fonón), rotaciones aleatorias (roton), excitaciones electrónicas aleatorias, y así sucesivamente.

Variables termodinámicas, como presión, temperatura, o entropía, así mismo experimentan fluctuaciones térmicas. Por ejemplo, para un sistema que tiene una presión de equilibrio, la presión del sistema fluctúa hasta cierto punto sobre el valor de equilibrio.

Sólo las 'variables de control' de conjuntos estadísticos (como N, V y E en la colectividad microcanica) no varían.

Las fluctuaciones térmicas son una fuente de ruido en muchos sistemas. Las fuerzas aleatorias que da el aumento a fluctuaciones térmicas es una fuente de ambas difusión y disipación (incluyendo amortiguamiento y viscosidad). Los efectos competitivos de la deriva aleatoria y la resistencia a la deriva están relacionados por el teorema de fluctuación-disipación. Las fluctuaciones térmicas juegan una función importante en transiciones de fase y cinética química.

Teorema de Límite central para Fluctuaciones Térmicas

El volumen en del espacio de fase  ,ocupado por un sistema de   Los grados de libertad es el producto del volumen de configuración   Y el momento volumen espacial. Desde que la energía es una forma cuadrática de los momentos para un sistema no- relativista, el radio de espacio de momento será   de modo que el volumen de una hiperesfera variará tanto como   dando un volumen de fase de

 

Dónde   es un constante que depende de las propiedades específicas del sistema y   es la función de Gama. En el caso que ésta hiperesfera tenga una dimensionalidad muy alta,  , El cual es el caso habitual en termodinámica, esencialmente todo el volumen se encontrara cerca a la superficie

 

Donde usamos la fórmula de recursión  .

El área de superficie   se extiende a lo largo de dos mundos: (i) el macroscópico en el que está considerado una función de la energía, y las otras variables extensas, como el volumen, que se ha mantenido constante a diferencia del volumen de fase, y (ii) el mundo microscópico donde representa el número de complexiones que es compatible con un estado macroscópico dado. Es esta cantidad a la que Planck se refirió como la probabilidad 'termodinámica'. Difiere de la probabilidad clásica en la medida en que cuando no pueda ser normalizado; aquello es, su integral encima todas las energías diverge—pero diverge como poder de la energía y no más rápido. Desde su integral encima todas las energías es infinitas, podríamos intentar considerar su transformada de Laplace.

 

A la que se le puede dar una interpretación física. El factor de decrecimiento exponencial, donde   es un parámetro positivo, superará el área de superficie que aumenta rápidamente, de modo que alcanzará un pico enormemente agudo que desarrollará una energía dada  . La mayoría de la contribución a la integral provendrá un vecino inmediato sobre este valor de la energía. Esto permite la definición de una densidad de probabilidad de acuerdo con

 

Cuya integral sobre todas las energías es la unidad en la fuerza de la definición de  , el cual está definido como la función de partición, o la función de generación. Este último nombre se debe a el hecho que los derivados de su logaritmo genera los momentos centrales, concretamente,

 

Y así sucesivamente, donde el primer término es la energía media y el segundo es la dispersión en energía.

El hecho de que   No aumenta más rápido que la potencia de la energía asegura que estos momentos serán finitos. [1]​ Por tanto, podemos ampliar el factor   Sobre el valor medio  , El cual coincidirá con   Para fluctuaciones Gaussianas (es decir, valores medianos y más probables coinciden), y la retención de los términos de orden más bajo da como resultado

 

Esto es la distribución Gaussiana, o normal, el cual está definido por sus primeros dos momentos.. En general, se necesitarían todos los momentos para especificar la densidad de probabilidad,  , El cual está referido como la densidad canónica, o posterior, en contraste a la densidad previa  , El cual está referido a como la función 'estructura'. [1]​ Este es el teorema del límite central que se aplica a los sistemas termodinámicos. [2]


Si el volumen de la fase aumenta a medida que  , su transformación de Laplace , la función de partición, variará como   Reorganizar la distribución normal de modo que se convierta en una expresión para la función de estructura y evaluarla en   give

 

De la expresión del primer momento se deduce que   , mientras que el segundo momento central   Introduciendo estas dos expresiones a la expresión de la función de estructura evaluada en el valor medio de la energía conduce a.

 

El denominador es exactamente la aproximación de Stirling para   , y si la función de estructura conserva la misma dependencia funcional para todos los valores de la energía, la densidad de probabilidad canónica

 

Pertenecerá a la familia de las distribuciones exponenciales conocidas como densidades gamma. Consiguientemente, las caídas de densidad de probabilidad canónicas cae bajo la jurisdicción de la ley local de grande numera cuál afirma que una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tiende a la ley normal como los aumentos de secuencia sin límite.

Distribución de fluctuaciones aproximadamente al equilibrio

Las expresiones dadas abajo son para sistemas que están cercanos al equilibrio y tienen efectos cuánticos insignificantes.

Variable sola

Supone   Es una variable termodinámica. De la distribución de probabilidad   por   Está determinado por la entropía  :

 

Si la entropía es una expansión de Taylor sobre su máximo (correspondiente al estado de equilibrio), el plazo de orden más bajo es una distribución Gaussiana:

 

La cantidad   Es la fluctuación media cuadrada.[3]

Variables múltiples

La expresión anterior tiene una generalización directa a la distribución de probabilidad de distribución  :

 

Donde   esta evaluado en  .[3]

Fluctuaciones de las cantidades termodinámicas fundamentales

En la siguiente tabla se indican las fluctuaciones cuadradas medias de las variables termodinámicas   En cualquier parte pequeña de un cuerpo. Sin embargo la parte pequeña todavía tiene que ser bastante grande, para tener efectos cuánticos insignificantes.

Promedio   De fluctuaciones termodinámicas. La temperatura es en unidades de energía (divide por la constante de Boltzmann   Para conseguir grados)   Es la capacidad térmica a presión constante   Es la capacidad térmica en volumen constante.[3]
       
         
         
         
         

Véase también

Referencias

  •   Datos: Q402478

fluctuaciones, térmicas, este, artículo, sección, sobre, matemáticas, necesita, wikificado, favor, edítalo, para, cumpla, convenciones, estilo, este, aviso, puesto, noviembre, 2018, mecánicas, estadísticas, fluctuaciones, térmicas, desviaciones, aleatorias, si. Este articulo o seccion sobre matematicas necesita ser wikificado por favor editalo para que cumpla con las convenciones de estilo Este aviso fue puesto el 8 de noviembre de 2018 En mecanicas estadisticas las fluctuaciones termicas son desviaciones aleatorias de un sistema de su estado promedio aquello ocurre en un sistema en equilibrio Todas las fluctuaciones termicas tienden a ser mas grandes y mas frecuentes con los aumentos de temperatura y asi mismo existe una disminucion de esta cuando la temperatura se acerca al cero absoluto Difusion atomica en la superficie de un cristal La agitacion de los atomos es un ejemplo de fluctuaciones termicas Asi mismo las fluctuaciones termicas proporcionan la energia necesaria para que los atomos puedan saltar ocasionalmente de un lugar vecino a otro Para simplicidad las fluctuaciones termicas de los atomos azules no son mostrados Las fluctuaciones termicas son una manifestacion basica de la temperatura de sistemas Un sistema de temperatura distinto de cero la temperatura no se queda en su equilibrio estado microscopico pero en cambio aleatoriamente muestras todos los estados posibles con las probabilidades dadas por la Distribucion Boltzmann Las fluctuaciones termicas generalmente afectan todos los grados de libertad de un sistema puede haber vibraciones aleatorias fonon rotaciones aleatorias roton excitaciones electronicas aleatorias y asi sucesivamente Variables termodinamicas como presion temperatura o entropia asi mismo experimentan fluctuaciones termicas Por ejemplo para un sistema que tiene una presion de equilibrio la presion del sistema fluctua hasta cierto punto sobre el valor de equilibrio Solo las variables de control de conjuntos estadisticos como N V y E en la colectividad microcanica no varian Las fluctuaciones termicas son una fuente de ruido en muchos sistemas Las fuerzas aleatorias que da el aumento a fluctuaciones termicas es una fuente de ambas difusion y disipacion incluyendo amortiguamiento y viscosidad Los efectos competitivos de la deriva aleatoria y la resistencia a la deriva estan relacionados por el teorema de fluctuacion disipacion Las fluctuaciones termicas juegan una funcion importante en transiciones de fase y cinetica quimica Indice 1 Teorema de Limite central para Fluctuaciones Termicas 2 Distribucion de fluctuaciones aproximadamente al equilibrio 2 1 Variable sola 2 2 Variables multiples 2 3 Fluctuaciones de las cantidades termodinamicas fundamentales 3 Vease tambien 4 ReferenciasTeorema de Limite central para Fluctuaciones Termicas EditarEl volumen en del espacio de fase V displaystyle mathcal V ocupado por un sistema de 2 m displaystyle 2m Los grados de libertad es el producto del volumen de configuracion V displaystyle V Y el momento volumen espacial Desde que la energia es una forma cuadratica de los momentos para un sistema no relativista el radio de espacio de momento sera E displaystyle sqrt E de modo que el volumen de una hiperesfera variara tanto como E 2 m displaystyle sqrt E 2m dando un volumen de fase de V C E m G m 1 displaystyle mathcal V frac C cdot E m Gamma m 1 Donde C displaystyle C es un constante que depende de las propiedades especificas del sistema y G displaystyle Gamma es la funcion de Gama En el caso que esta hiperesfera tenga una dimensionalidad muy alta 2 m displaystyle 2m El cual es el caso habitual en termodinamica esencialmente todo el volumen se encontrara cerca a la superficie W E V E C m E m 1 G m displaystyle Omega E frac partial mathcal V partial E frac C m cdot E m 1 Gamma m Donde usamos la formula de recursion m G m G m 1 displaystyle m Gamma m Gamma m 1 El area de superficie W E displaystyle Omega E se extiende a lo largo de dos mundos i el macroscopico en el que esta considerado una funcion de la energia y las otras variables extensas como el volumen que se ha mantenido constante a diferencia del volumen de fase y ii el mundo microscopico donde representa el numero de complexiones que es compatible con un estado macroscopico dado Es esta cantidad a la que Planck se refirio como la probabilidad termodinamica Difiere de la probabilidad clasica en la medida en que cuando no pueda ser normalizado aquello es su integral encima todas las energias diverge pero diverge como poder de la energia y no mas rapido Desde su integral encima todas las energias es infinitas podriamos intentar considerar su transformada de Laplace Z b 0 e b E W E d E displaystyle mathcal Z beta int 0 infty e beta E Omega E dE A la que se le puede dar una interpretacion fisica El factor de decrecimiento exponencial donde b displaystyle beta es un parametro positivo superara el area de superficie que aumenta rapidamente de modo que alcanzara un pico enormemente agudo que desarrollara una energia dada E displaystyle E star La mayoria de la contribucion a la integral provendra un vecino inmediato sobre este valor de la energia Esto permite la definicion de una densidad de probabilidad de acuerdo con f E b e b E Z b W E displaystyle f E beta frac e beta E mathcal Z beta Omega E Cuya integral sobre todas las energias es la unidad en la fuerza de la definicion de Z b displaystyle mathcal Z beta el cual esta definido como la funcion de particion o la funcion de generacion Este ultimo nombre se debe a el hecho que los derivados de su logaritmo genera los momentos centrales concretamente E ln Z b E E 2 D E 2 2 ln Z b 2 displaystyle langle E rangle frac partial ln mathcal Z partial beta qquad langle E langle E rangle 2 rangle langle Delta E 2 rangle frac partial 2 ln mathcal Z partial beta 2 Y asi sucesivamente donde el primer termino es la energia media y el segundo es la dispersion en energia El hecho de que W E displaystyle Omega E No aumenta mas rapido que la potencia de la energia asegura que estos momentos seran finitos 1 Por tanto podemos ampliar el factor e b E W E displaystyle e beta E Omega E Sobre el valor medio E displaystyle langle E rangle El cual coincidira con E displaystyle E star Para fluctuaciones Gaussianas es decir valores medianos y mas probables coinciden y la retencion de los terminos de orden mas bajo da como resultado f E b e b E Z b W E exp E E 2 2 D E 2 2 p D E 2 displaystyle f E beta frac e beta E mathcal Z beta Omega E approx frac exp E langle E rangle 2 2 langle Delta E 2 rangle sqrt 2 pi langle Delta E 2 rangle Esto es la distribucion Gaussiana o normal el cual esta definido por sus primeros dos momentos En general se necesitarian todos los momentos para especificar la densidad de probabilidad f E b displaystyle f E beta El cual esta referido como la densidad canonica o posterior en contraste a la densidad previa W displaystyle Omega El cual esta referido a como la funcion estructura 1 Este es el teorema del limite central que se aplica a los sistemas termodinamicos 2 Si el volumen de la fase aumenta a medida que E m displaystyle E m su transformacion de Laplace la funcion de particion variara como b m displaystyle beta m Reorganizar la distribucion normal de modo que se convierta en una expresion para la funcion de estructura y evaluarla en E E displaystyle E langle E rangle give W E e b E E Z b E 2 p D E 2 displaystyle Omega langle E rangle frac e beta langle E rangle langle E rangle mathcal Z beta langle E rangle sqrt 2 pi langle Delta E 2 rangle De la expresion del primer momento se deduce que b E m E displaystyle beta langle E rangle m langle E rangle mientras que el segundo momento central D E 2 E 2 m displaystyle langle Delta E 2 rangle langle E rangle 2 m Introduciendo estas dos expresiones a la expresion de la funcion de estructura evaluada en el valor medio de la energia conduce a W E E m 1 m 2 p m m m e m displaystyle Omega langle E rangle frac langle E rangle m 1 m sqrt 2 pi m m m e m El denominador es exactamente la aproximacion de Stirling para m G m 1 displaystyle m Gamma m 1 y si la funcion de estructura conserva la misma dependencia funcional para todos los valores de la energia la densidad de probabilidad canonica f E b b b E m 1 G m e b E displaystyle f E beta beta frac beta E m 1 Gamma m e beta E Pertenecera a la familia de las distribuciones exponenciales conocidas como densidades gamma Consiguientemente las caidas de densidad de probabilidad canonicas cae bajo la jurisdiccion de la ley local de grande numera cual afirma que una secuencia de variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas tiende a la ley normal como los aumentos de secuencia sin limite Distribucion de fluctuaciones aproximadamente al equilibrio EditarLas expresiones dadas abajo son para sistemas que estan cercanos al equilibrio y tienen efectos cuanticos insignificantes Variable sola Editar Supone x displaystyle x Es una variable termodinamica De la distribucion de probabilidad w x d x displaystyle w x dx por x displaystyle x Esta determinado por la entropia S displaystyle S w x exp S x displaystyle w x propto exp left S x right Si la entropia es una expansion de Taylor sobre su maximo correspondiente al estado de equilibrio el plazo de orden mas bajo es una distribucion Gaussiana w x 1 2 p x 2 exp x 2 2 x 2 displaystyle w x frac 1 sqrt 2 pi langle x 2 rangle exp left frac x 2 2 langle x 2 rangle right La cantidad x 2 displaystyle langle x 2 rangle Es la fluctuacion media cuadrada 3 Variables multiples Editar La expresion anterior tiene una generalizacion directa a la distribucion de probabilidad de distribucion w x 1 x 2 x n d x 1 d x 2 d x n displaystyle w x 1 x 2 ldots x n dx 1 dx 2 ldots dx n w i j 1 n 1 2 p n 2 x i x j exp x i x j 2 x i x j displaystyle w prod i j 1 ldots n frac 1 left 2 pi right n 2 sqrt langle x i x j rangle exp left frac x i x j 2 langle x i x j rangle right Donde x i x j displaystyle langle x i x j rangle esta evaluado en x i x j displaystyle x i x j 3 Fluctuaciones de las cantidades termodinamicas fundamentales Editar En la siguiente tabla se indican las fluctuaciones cuadradas medias de las variables termodinamicas T V P displaystyle T V P En cualquier parte pequena de un cuerpo Sin embargo la parte pequena todavia tiene que ser bastante grande para tener efectos cuanticos insignificantes Promedio x i x j displaystyle langle x i x j rangle De fluctuaciones termodinamicas La temperatura es en unidades de energia divide por la constante de Boltzmann k B displaystyle k B Para conseguir grados C P displaystyle C P Es la capacidad termica a presion constante C V displaystyle C V Es la capacidad termica en volumen constante 3 D T displaystyle Delta T D V displaystyle Delta V D S displaystyle Delta S D P displaystyle Delta P D T displaystyle Delta T T 2 C V displaystyle frac T 2 C V 0 displaystyle 0 T displaystyle T T 2 C V P T V displaystyle frac T 2 C V left frac partial P partial T right V D V displaystyle Delta V 0 displaystyle 0 T V P T displaystyle T left frac partial V partial P right T T V T P displaystyle T left frac partial V partial T right P T displaystyle T D S displaystyle Delta S T displaystyle T T V T P displaystyle T left frac partial V partial T right P C P displaystyle C P 0 displaystyle 0 D P displaystyle Delta P T 2 C V P T V displaystyle frac T 2 C V left frac partial P partial T right V T displaystyle T 0 displaystyle 0 T P V S displaystyle T left frac partial P partial V right S Vease tambien EditarFluctuaciones cuanticasReferencias Editar a b Khinchin 1949 Lavenda 1991 a b c Landau 1985 Datos Q402478Obtenido de https es wikipedia org w index php title Fluctuaciones termicas amp oldid 136649478, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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