Espiral dorada

La Espiral dorada (denominada también espiral áurea) es una espiral logarítmica asociada a las propiedades geométricas del rectángulo dorado.^[1]​ La razón de crecimiento es Φ, es decir la razón dorada o número áureo.^[2]​ Aparece esta espiral representada en diversas figuras de la naturaleza (planta, galaxias espirales, ), así como en el arte.

Espiral áurea construido a partir de la evolución de un rectángulo dorado.

Las espirales áureas son auto similares. La forma se repite indefinidamente cuando la ampliamos. Ver Fractales

Desarrollo matemático

La ecuación polar que describe la espiral dorada es la misma que cualquier otra espiral logarítmica, pero con el factor de crecimiento (b) igual Φ, esto es:^[3]​

${\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}$ 

o, de la misma forma

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}$ 

Siendo e la base del logaritmo natural, a es una constante real positiva y b es tal que cuando el ángulo θ es un ángulo recto:

${\displaystyle e^{b\theta _{\mathrm {recto} }}\,=\phi }$ 

Por lo tanto, b se encuentra determinado por

${\displaystyle b={\ln {\phi } \over \theta _{\mathrm {recto} }}.}$ 

El valor numérico de b depende de si el ángulo θ es medido en grados o radianes; como b puede tomar valores positivos o negativos según el signo de θ lo más sencillo es indicar su valor absoluto:

 

Una espiral de Fibonacci se aproxima a la espiral dorada; cuando se inscribe en cuadrados cuyos lados responden a la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34.

${\displaystyle |b|={\ln {\phi } \over 90}=0.0053468\,}$  para θ en grados;

${\displaystyle |b|={\ln {\phi } \over \pi /2}=0.306349\,}$  para θ en radianes.

Una fórmula alternativa para la espiral dorada se obtiene en:^[4]​

${\displaystyle r=ac^{\theta }\,}$ 

donde la constante c está determinada por:

${\displaystyle c=e^{b}\,}$ 

para la espiral dorada los valores de c son:

${\displaystyle c=\phi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611}$ 

si θ se mide en grados sexagesimales, y

${\displaystyle c=\phi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456.}$ 

si θ se mide en radianes.

Aproximaciones a la espiral dorada

 

Existen aproximaciones a la espiral dorada, que no son iguales.^[5]​ Este tipo de espirales, a menudo se confunden con la espiral dorada. Un ejemplo es la espiral de Fibonacci que resulta ser una aproximación a la espiral dorada.

Generación

Espirales doradas

Mediante convolución de rectas     La cáscara de un Nautilus     Espiral en el triángulo y su serie de Fibonacci

Referencias

1. Steven L. Griffing, (2007), The Golden Section: An Ancient Egyptian and Grecian Proportion, Elsevier, New York, pág. 121-124
2. Chang, Yu-sung, "Golden Spiral el 28 de julio de 2019 en Wayback Machine.", The Wolfram Demonstrations Project.
3. Priya Hemenway (2005). Divine Proportion: θ Phi in Art, Nature, and Science. Sterling Publishing Co. pp. 127–129. ISBN 1402735227. 
4. Klaus Mainzer (1996). Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science. Walter de Gruyter. pp. 45, 199-200. ISBN 3110129906. 
5. Charles B. Madden (1999). Fractals in Music: introductory mathematics for musical analysis. High Art Press. pp. 14-16. ISBN 0967172764. 

Enlaces externos

•   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Espiral dorada.

•   Datos: Q775226