En análisis funcional y áreas relacionadas de matemáticas un espacio vectorial topológico completo es un espacio vectori

En análisis funcional y áreas relacionadas de matemáticas, un espacio vectorial topológico completo es un (espacio vectorial topológico) (EVT) con la propiedad de que cada vez que los puntos se acercan progresivamente entre sí, existe algún punto ${\displaystyle x}$ hacia el cual todos se acercan. La noción de "puntos que se acercan progresivamente" se define rigurosamnete en las entradas dedicadas a (redes) o a los (espacios uniformes), que son generalizaciones de las (sucesiones de Cauchy), mientras que el concepto de "punto ${\displaystyle x}$ hacia el cual se acercan todos" significa que esta (red) de Cauchy o converge a ${\displaystyle x.}$

La noción de completitud para un EVT utiliza la teoría de (espacios uniformes) como marco para generalizar la noción de (completitud para espacios métricos). Pero a diferencia de la completitud de la métrica, la completitud de un EVT no depende de ninguna métrica y se define para todos los EVT, incluidos aquellos que no son (metrizables) o de Hausdorff.

La completitud es una propiedad extremadamente importante que debe poseer un espacio vectorial topológico. Las nociones de completitud para los (espacios vectoriales normados) y los (metrizables), que comúnmente se definen en términos de (completitud) de una norma o métrica particular, pueden reducirse a esta noción de completitud para los EVTs, una noción que es independiente de cualquier norma o métrica particular. Un (espacio vectorial topológico metrizable) ${\displaystyle X}$ con una métrica invariante a la traslación^{[nota 1]}​ ${\displaystyle d}$ está completo como EVT si y solo si ${\displaystyle (X,d)}$ es un (espacio métrico completo), lo que por definición significa que cada ${\displaystyle d}$-(sucesión de Cauchy) converge a algún punto en ${\displaystyle X.}$ Ejemplos destacados de EVTs completos que también son (metrizables) incluyen todos los (espacios F) y, en consucesión, también todos los (espacios de Fréchet), los (espacios de Banach) y los (espacios de Hilbert). Ejemplos destacados de EVTs completos que (típicamente) no son metrizables incluyen los (espacios LF) estrictos como el ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ con su topología LF canónica, el (espacio dual fuerte) de cualquier (espacio de Fréchet) no normable, así como muchas otras en (espacios duales) u otras (topologías en espacios de aplicaciones lineales).

Explícitamente, un (espacio vectorial topológico) (EVT) es completo si cada (red), o equivalentemente, cada (filtro) de (Cauchy) con respecto a la (uniformidad) canónica del espacio necesariamente converge en algún punto. Dicho de otra manera, un EVT está completo si su uniformidad canónica es (uniforme). La uniformidad canónica en un EVT ${\displaystyle (X,\tau )}$ es la única^{[nota 2]}​ (uniformidad) invariante a la traslación que induce en ${\displaystyle X}$ la topología ${\displaystyle \tau .}$ Esta noción de "completitud del EVT" depende solo de la resta de vectores y de la topología del EVT. En consucesión, se puede aplicar a todos los EVTs, incluidos aquellos cuyas topologías no se pueden definir en términos métricos o (pseudométricos).

Un EVT que cumple el (primer axioma de numerabilidad) está completo si y solo si cada sucesión de Cauchy (o equivalentemente, cada filtro de Cauchy ) converge en algún punto.

Todo espacio vectorial topológico ${\displaystyle X,}$ incluso si no es (metrizable) o no es de Hausdorff, tiene una (completación), que por definición es un EVT ${\displaystyle C}$ completo en el que ${\displaystyle X}$ puede ser (EVT-embebido) como (subespacio vectorial) (denso). Además, cada EVT de Hausdorff tiene una completación de Hausdorff, que es necesariamente (salvo) (EVTs) única. Sin embargo, como se analiza a continuación, todos los EVT tienen infinitas completaciones que no son de Hausdorff y que no son EVT-isomorfas entre sí.

Esta sección resume la definición de un (espacio vectorial topológico) (EVT) completo en términos de (redes) y . Puede encontrar información sobre la convergencia de redes y filtros, como definiciones y propiedades, en el artículo sobre (filtros en topología).

Cada espacio vectorial topológico (EVT) es un (grupo topológico) conmutativo con identidad bajo la suma, y la uniformidad canónica de un EVT se define enteramente en términos de la resta (y por tanto, de la suma). La multiplicación escalar no está involucrada y no se necesita estructura adicional.

La diagonal de ${\displaystyle X}$ es el conjunto^[1]​

${\displaystyle \Delta _{X}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,x):x\in X\}}$

y para cualquier ${\displaystyle N\subseteq X,}$ el acompañamiento canónico /entorno alrededor de ${\displaystyle N}$ es el conjunto

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Delta _{X}(N)~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,y)\in X\times X~:~x-y\in N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]\\&=\Delta _{X}+(N\times \{0\})\end{alignedat}}}$

donde si ${\displaystyle 0\in N}$, entonces ${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$ contiene la diagonal ${\displaystyle \Delta _{X}(\{0\})=\Delta _{X}.}$

Si ${\displaystyle N}$ es un (conjunto simétrico) (es decir, si ${\displaystyle -N=N}$), entonces ${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$ es simétrico , lo que por definición significa que ${\displaystyle \Delta _{X}(N)=\left(\Delta _{X}(N)\right)^{\operatorname {op} }}$ se cumple donde ${\displaystyle \left(\Delta _{X}(N)\right)^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(y,x):(x,y)\in \Delta _{X}(N)\right\},}$ y además, la composición de este conjunto simétrico consigo mismo es:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Delta _{X}(N)\circ \Delta _{X}(N)~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(x,z)\in X\times X~:~{\text{ existe }}y\in X{\text{ tal que }}x,z\in y+N\right\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]\\&=\Delta _{X}+(N\times N).\end{alignedat}}}$

Si ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ es cualquier base de entornos en el origen de ${\displaystyle (X,\tau )}$, entonces la (familia de subconjuntos) de ${\displaystyle X\times X:}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathcal {L}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\Delta _{X}(N):N\in {\mathcal {L}}\right\}}$

es un en ${\displaystyle X\times X.}$ Si ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }(0)}$ es la (base de entornos) en el origen en ${\displaystyle (X,\tau )}$, entonces ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}}$ forma un (espacio uniforme) para una (estructura uniforme) en ${\displaystyle X}$ que se considera (canónica).^[2]​ Explícitamente, por definición, la uniformidad canónica en ${\displaystyle X}$ inducida por ${\displaystyle (X,\tau )}$^[2]​ es el (filtro) ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }}$ en ${\displaystyle X\times X}$ generado por el (prefiltro) anterior:

${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{S\subseteq X\times X~:~N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(0){\text{ y }}\Delta _{X}(N)\subseteq S\right\}}$

donde ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }}$ denota la (sección final) de ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}}$ en ${\displaystyle X\times X.}$ La misma uniformidad canónica resultaría si se utilizara una base de entorno del origen en lugar del filtro de todos los entornos del origen. Si ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ es cualquier base de entornos en el origen en ${\displaystyle (X,\tau )}$, entonces el filtro en ${\displaystyle X\times X}$ generado por el prefiltro ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathcal {L}}}$ es igual a la uniformidad canónica ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }}$ inducida por ${\displaystyle (X,\tau ).}$

La teoría general de (espacios uniformes) tiene su propia definición de "prefiltro de Cauchy" y de "red de Cauchy". Para la uniformidad canónica en ${\displaystyle X,}$ estas definiciones se reducen a las que se indican a continuación.

Supóngase que ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ es una red en ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}}$ es una red en ${\displaystyle Y.}$ El producto ${\displaystyle I\times J}$ se convierte en un (conjunto dirigido) al declarar ${\displaystyle (i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)}$ si y solo si ${\displaystyle i\leq i_{2}}$ y ${\displaystyle j\leq j_{2}.}$ Entonces

${\displaystyle x_{\bullet }\times y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$

denota el producto red (cartesiano), donde en particular ${\textstyle x_{\bullet }\times x_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i},x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}.}$ Si ${\displaystyle X=Y}$, entonces la imagen de esta red bajo la aplicación suma de vectores ${\displaystyle X\times X\to X}$ denota la suma de estas dos redes:^[3]​

${\displaystyle x_{\bullet }+y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}+y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$

y de manera similar, su diferencia se define como la imagen del producto de redes bajo la aplicación resta vectorial ${\displaystyle (x,y)\mapsto x-y}$:

${\displaystyle x_{\bullet }-y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}-y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}.}$

En particular, la notación ${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}-\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ denota la red indexada ${\displaystyle I^{2}}$ por ${\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}}$ y no la red indexada ${\displaystyle I}$ por ${\displaystyle \left(x_{i}-x_{i}\right)_{i\in I}=(0)_{i\in I}}$, ya que usar este último como definición haría que la notación fuera inútil.

Una (red) ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ en un EVT ${\displaystyle X}$ se llama red de Cauchy^[4]​ si:

${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0\quad {\text{ en }}X.}$

Explícitamente, esto significa que para cada entorno ${\displaystyle N}$ de ${\displaystyle 0}$ en ${\displaystyle X,}$ existe algún índice ${\displaystyle i_{0}\in I}$ tal que ${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in N}$ para todos los índices ${\displaystyle i,j\in I}$ que satisfacen ${\displaystyle i\geq i_{0}}$ y ${\displaystyle j\geq i_{0}.}$ Es suficiente verificar cualquiera de estas condiciones definitorias para cualquier (base de entornos) de ${\displaystyle 0}$ en ${\displaystyle X.}$ Una (sucesión de Cauchy) es una sucesión que también es una red de Cauchy.

Si ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$, entonces ${\displaystyle x_{\bullet }\times x_{\bullet }\to (x,x)}$ en ${\displaystyle X\times X}$, y en consucesión, la continuidad de la aplicación resta vectorial ${\displaystyle S:X\times X\to X,}$ que está definido por ${\displaystyle S(x,y)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~x-y,}$ garantiza que ${\displaystyle S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)\to S(x,x)}$ en ${\displaystyle X,}$ donde ${\displaystyle S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)=\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}=x_{\bullet }-x_{\bullet }}$ y ${\displaystyle S(x,x)=x-x=0.}$ Esto demuestra que toda red convergente es una red de Cauchy. Por definición, un espacio se llama completo si lo contrario también es siempre cierto. Es decir, ${\displaystyle X}$ está completo si y solo si se cumple lo siguiente:

Siempre que ${\displaystyle x_{\bullet }}$ sea una red en ${\displaystyle X,}$ entonces ${\displaystyle x_{\bullet }}$ converge (hasta algún punto) en ${\displaystyle X}$ si y solo si ${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }\to 0}$ en ${\displaystyle X.}$

Una caracterización similar de completitud se cumple si se utilizan filtros y prefiltros en lugar de redes.

Una serie ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$ se denomina serie de Cauchy (respectivamente, una serie convergente ) si la sucesión de (series) ${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }}$ es una (sucesión de Cauchy) (respectivamente, un (límite de una sucesión)).^[5]​ Toda serie convergente es necesariamente una serie de Cauchy. En un EVT completo, cada serie de Cauchy es necesariamente una serie convergente.

Un ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ en un (espacio vectorial topológico) ${\displaystyle X}$ se denomina prefiltro de Cauchy^[6]​ si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$ en ${\displaystyle X.}$
   • La familia ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{B-C:B,C\in {\mathcal {B}}\}}$ es un prefiltro.
   • Explícitamente, ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$ significa que para cada entorno ${\displaystyle N}$ del origen en ${\displaystyle X,}$ existe ${\displaystyle B,C\in {\mathcal {B}}}$ tal que ${\displaystyle B-C\subseteq N.}$
2. ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$ en ${\displaystyle X.}$
   • La familia ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}}$ es un prefiltro equivalente a ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}}$ ("equivalencia" significa que estos prefiltros generan el mismo filtro en ${\displaystyle X}$).
   • Explícitamente, ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$ significa que para cada entorno ${\displaystyle N}$ del origen en ${\displaystyle X,}$ existe algún ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ tal que ${\displaystyle B-B\subseteq N.}$
3. Para cada entorno ${\displaystyle N}$ del origen en ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ contiene algún conjunto pequeño ${\displaystyle N}$ (es decir, existe algún ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ tal que ${\displaystyle B-B\subseteq N}$).^[7]​
   • Un subconjunto ${\displaystyle B\subseteq X}$ se llama ${\displaystyle N}$-pequeño o de pequeño orden
   ${\displaystyle N}$^[6]​ si ${\displaystyle B-B\subseteq N.}$
4. Para cada entorno ${\displaystyle N}$ del origen en ${\displaystyle X,}$ existe un ${\displaystyle x\in X}$ y un ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ tal que ${\displaystyle B\subseteq x+N.}$^[6]​
   • Esta afirmación sigue siendo cierta si "${\displaystyle B\subseteq x+N}$" se reemplaza por "${\displaystyle x+B\subseteq N.}$"
5. Cada entorno del origen en ${\displaystyle X}$ contiene algún subconjunto de la forma ${\displaystyle x+B}$ donde ${\displaystyle x\in X}$ y ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$

Es suficiente verificar cualquiera de las condiciones anteriores para cualquier (base de entornos) de ${\displaystyle 0}$ en ${\displaystyle X.}$ Un (filtro de Cauchy) es un prefiltro de Cauchy que también es un (filtro) en ${\displaystyle X.}$

Si ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es un prefiltro en un espacio vectorial topológico ${\displaystyle X}$ y si ${\displaystyle x\in X,}$ entonces ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ en ${\displaystyle X}$ si y solo si ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} {\mathcal {B}}}$ y ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es de Cauchy.^[3]​

Para cualquier ${\displaystyle S\subseteq X,}$ un prefiltro ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ en ${\displaystyle S}$ es necesariamente un subconjunto de ${\displaystyle \wp (S)}$; es decir, ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).}$

Un subconjunto ${\displaystyle S}$ de un EVT ${\displaystyle (X,\tau )}$ se denomina subconjunto completo si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Cada prefiltro de Cauchy ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)}$ en ${\displaystyle S}$ a al menos un punto de ${\displaystyle S.}$
   • Si ${\displaystyle X}$ es de Hausdorff, entonces cada prefiltro en ${\displaystyle S}$ convergerá como máximo a un punto de ${\displaystyle X.}$ Pero si ${\displaystyle X}$ no es de Hausdorff, entonces un prefiltro puede converger a múltiples puntos en ${\displaystyle X.}$ Lo mismo ocurre con las redes.
2. Cada red de Cauchy en ${\displaystyle S}$ (converge) hasta al menos un punto de ${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle S}$ es un (espacio uniforme completo) (según la definición de la topología de conjuntos de puntos de "(espacio uniforme completo)") cuando ${\displaystyle S}$ está dotado de la uniformidad inducida en él por la uniformidad canónica de ${\displaystyle X.}$

El subconjunto ${\displaystyle S}$ se denomina subconjunto secuencialmente completo si cada sucesión de Cauchy en ${\displaystyle S}$ (o equivalentemente, cada filtro/prefiltro elemental de Cauchy en ${\displaystyle S}$) converge al menos a un punto de ${\displaystyle S.}$

Es importante destacar que la convergencia de a puntos fuera de ${\displaystyle S}$ no impide que un conjunto esté completo en: si ${\displaystyle X}$ no es de Hausdorff y si cada prefiltro de Cauchy en ${\displaystyle S}$ converge a algún punto de ${\displaystyle S,}$ entonces ${\displaystyle S}$ estará completo incluso si algunos o todos los prefiltros de Cauchy en ${\displaystyle S}$ también convergen a puntos en ${\displaystyle X\setminus S.}$ En resumen, no existe ningún requisito de que estos prefiltros de Cauchy en ${\displaystyle S}$ converjan solo a puntos en ${\displaystyle S.}$ Lo mismo puede decirse de la convergencia de redes de Cauchy en ${\displaystyle S.}$

Como consucesión, si un EVT ${\displaystyle X}$ no es de Hausdorff, entonces cada subconjunto del cierre de ${\displaystyle \{0\}}$ en ${\displaystyle X}$ está completo porque es compacto y cada conjunto compacto es necesariamente completo.

En particular, si ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ es un subconjunto adecuado, como ${\displaystyle S=\{0\}}$, por ejemplo, entonces ${\displaystyle S}$ estaría completo aunque cada red de Cauchy en ${\displaystyle S}$ (y también cada prefiltro de Cauchy en ${\displaystyle S}$) converja a cada punto en ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\},}$ incluidos esos puntos en ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ que no pertenecen a ${\displaystyle S.}$ Este ejemplo también muestra que los subconjuntos completos (y de hecho, incluso los subconjuntos compactos) de un EVT que no es de Hausdorff, pueden no cerrarse. Por ejemplo, si ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$, entonces ${\displaystyle S=\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ si y solo si ${\displaystyle S}$ está cerrado en ${\displaystyle X.}$

Un (espacio vectorial topológico) ${\displaystyle X}$ se denomina espacio vectorial topológico completo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$ es un (espacio uniforme) cuando está dotado de su uniformidad canónica.
   • En la teoría general de (espacio uniforme), un espacio uniforme se llama (espacio uniforme) si cada (Espacio uniforme) en ${\displaystyle X}$ converge a algún punto de ${\displaystyle X}$ en la topología inducida por la uniformidad. Cuando ${\displaystyle X}$ es un EVT, la topología inducida por la uniformidad canónica es igual a la topología dada de ${\displaystyle X}$ (por lo que la convergencia en esta topología inducida es simplemente la convergencia habitual en ${\displaystyle X}$).
2. ${\displaystyle X}$ es un subconjunto completo de sí mismo.
3. Existe un entorno del origen en ${\displaystyle X}$ que también es un subconjunto completo de ${\displaystyle X.}$^[6]​
   • Esto implica que cada EVT (locally compact) está completo (incluso si el EVT no es Hausdorff).
4. Cada prefiltro de Cauchy ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (X)}$ en ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle X}$ hasta al menos un punto de ${\displaystyle X.}$
   • Si ${\displaystyle X}$ es de Hausdorff, entonces cada prefiltro en ${\displaystyle X}$ convergerá como máximo a un punto de ${\displaystyle X.}$ Pero si ${\displaystyle X}$ no es de Hausdorff, entonces un prefiltro puede converger a múltiples puntos en ${\displaystyle X.}$ Lo mismo ocurre con las redes.
5. Cada (filtro) de Cauchy en ${\displaystyle X}$ converge en ${\displaystyle X}$ a al menos un punto de ${\displaystyle X.}$
6. Cada red Cauchy en ${\displaystyle X}$ (converge) en ${\displaystyle X}$ hasta al menos un punto de ${\displaystyle X.}$

donde, si además ${\displaystyle X}$ es (pseudometrizable) o metrizable (por ejemplo, un (espacio vectorial normado)), esta lista se puede ampliar para incluir:

7. ${\displaystyle X}$ se completa secuencialmente.

Un espacio vectorial topológico ${\displaystyle X}$ es secuencialmente completo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$ es un subconjunto secuencialmente completo de sí mismo.
2. Cada sucesión de Cauchy en ${\displaystyle X}$ converge en ${\displaystyle X}$ en al menos un punto de ${\displaystyle X.}$
3. Cada prefiltro elemental de Cauchy en ${\displaystyle X}$ converge en ${\displaystyle X}$ en al menos un punto de ${\displaystyle X.}$
4. Cada filtro de Cauchy elemental en ${\displaystyle X}$ converge en ${\displaystyle X}$ en al menos un punto de ${\displaystyle X.}$

La existencia de la uniformidad canónica quedó demostrada anteriormente al definirla. El siguiente teorema establece que la uniformidad canónica de cualquier EVT ${\displaystyle (X,\tau )}$ es la única uniformidad en ${\displaystyle X}$ que es (1) invariante a la traslación y (2) genera en ${\displaystyle X}$ la topología ${\displaystyle \tau .}$

Teorema[8]​ La topología de cualquier EVT se puede derivar de una uniformidad única invariante a la traslación. Si ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0)}$ es cualquier (base de entornos) del origen, entonces la familia ${\displaystyle \left\{\Delta (N):N\in {\mathcal {N}}(0)\right\}}$ es una base para esta uniformidad.

Esta sección está dedicada a explicar los significados precisos de los términos involucrados en esta declaración de unicidad.

Para cualquier subconjunto ${\displaystyle \Phi ,\Psi \subseteq X\times X,}$ let^[1]​

${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(y,x)~:~(x,y)\in \Phi \}}$

y sea

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi \circ \Psi ~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(x,z):{\text{ existe }}y\in X{\text{ tal que }}(x,y)\in \Psi {\text{ y }}(y,z)\in \Phi \right\}\\&=~\bigcup _{y\in X}\{(x,z)~:~(x,y)\in \Psi {\text{ y }}(y,z)\in \Phi \}\end{alignedat}}}$

Una familia ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)}$ no vacía se denomina base de acompañamiento o sistema fundamental de acompañamientos si ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es un en ${\displaystyle X\times X}$ que satisface todas las condiciones siguientes:

1. Cada conjunto en ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ contiene la diagonal de ${\displaystyle X}$ como subconjunto; es decir, ${\displaystyle \Delta _{X}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,x):x\in X\}\subseteq \Phi }$ por cada ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}.}$ Dicho de otra manera, el prefiltro ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es fijo en ${\displaystyle \Delta _{X}.}$
2. Para cada ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$ existe algún ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$ tal que ${\displaystyle \Phi \circ \Phi \subseteq \Omega .}$
3. Por cada ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$ existe algún ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$ tal que ${\displaystyle \Phi \subseteq \Omega ^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(y,x):(x,y)\in \Omega \}.}$

Una uniformidad o estructura uniforme en ${\displaystyle X}$ es un (filtro) ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ en ${\displaystyle X\times X}$ que es generado por alguna base de acompañamientos ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ en cuyo caso se dice que ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es una base de acompañamientos para ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

Para un grupo aditivo conmutativo ${\displaystyle X,}$ un sistema fundamental de acompañamientos invariante a la traslación ^[8]​ es un sistema fundamental de acompañamientos ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ tal que para cada ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle (x,y)\in \Phi }$ si y solo si ${\displaystyle (x+z,y+z)\in \Phi }$ para todos los ${\displaystyle x,y,z\in X.}$ Una uniformidad ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ se llama uniformidad invariante a la traslación ^[8]​ si tiene una base de acompañamientos que es invariante a la traslación. La uniformidad canónica en cualquier EVT es invariante a la traslación.^[8]​

El operador binario ${\displaystyle \;\circ \;}$ satisface todo lo siguiente:

• ${\displaystyle (\Phi \circ \Psi )^{\operatorname {op} }=\Psi ^{\operatorname {op} }\circ \Phi ^{\operatorname {op} }.}$
• Si ${\displaystyle \Phi \subseteq \Phi _{2}}$ y ${\displaystyle \Psi \subseteq \Psi _{2}}$, entonces ${\displaystyle \Phi \circ \Psi \subseteq \Phi _{2}\circ \Psi _{2}.}$
Asociatividad
• : ${\displaystyle \Phi \circ (\Psi \circ \Omega )=(\Phi \circ \Psi )\circ \Omega .}$
• Identidad: ${\displaystyle \Phi \circ \Delta _{X}=\Phi =\Delta _{X}\circ \Phi .}$
• Cero: ${\displaystyle \Phi \circ \varnothing =\varnothing =\varnothing \circ \Phi }$

Acompañamientos simétricos

Llámese a un subconjunto ${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X}$ simétrico si ${\displaystyle \Phi =\Phi ^{\operatorname {op} },}$ lo que es equivalente a que ${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\subseteq \Phi .}$ Esta equivalencia se deriva de la identidad ${\displaystyle \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)^{\operatorname {op} }=\Phi }$ y del hecho de que si ${\displaystyle \Psi \subseteq X\times X,}$ entonces ${\displaystyle \Phi \subseteq \Psi }$ si y solo si ${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\subseteq \Psi ^{\operatorname {op} }.}$ Por ejemplo, el conjunto ${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\cap \Phi }$ siempre es simétrico para cada ${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X.}$ Y debido a que ${\displaystyle (\Phi \cap \Psi )^{\operatorname {op} }=\Phi ^{\operatorname {op} }\cap \Psi ^{\operatorname {op} },}$ si ${\displaystyle \Phi }$ y ${\displaystyle \Psi }$ son simétricos, ${\displaystyle \Phi \cap \Psi }$ también lo es.

Relativos

Sea ${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X}$ arbitrario y ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{1},\operatorname {Pr} _{2}:X\times X\to X}$ las proyecciones canónicas sobre la primera y segunda coordenadas, respectivamente.

Para cualquier ${\displaystyle S\subseteq X,}$ se define

${\displaystyle S\cdot \Phi ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{y\in X:\Phi \cap (S\times \{x\})\neq \varnothing \}~=~\operatorname {Pr} _{2}(\Phi \cap (S\times X))}$

${\displaystyle \Phi \cdot S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:\Phi \cap (\{x\}\times S)\neq \varnothing \}~=~\operatorname {Pr} _{1}(\Phi \cap (X\times S))=S\cdot \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)}$

donde ${\displaystyle \Phi \cdot S}$ (respectivamente, ${\displaystyle S\cdot \Phi }$) se llama el conjunto de izquierda (respectivamente, derecha) ${\displaystyle \Phi }$-relativos de (puntos en) ${\displaystyle S.}$ Denótese el caso especial en el que ${\displaystyle S=\{p\}}$ es un elemento unitario establecido para algún ${\displaystyle p\in X}$ mediante:

${\displaystyle p\cdot \Phi ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{p\}\cdot \Phi ~=~\{y\in X:(p,y)\in \Phi \}}$

${\displaystyle \Phi \cdot p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\Phi \cdot \{p\}~=~\{x\in X:(x,p)\in \Phi \}~=~p\cdot \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)}$

Si ${\displaystyle \Phi ,\Psi \subseteq X\times X}$ entonces ${\textstyle (\Phi \circ \Psi )\cdot S=\Phi \cdot (\Psi \cdot S).}$ Además, ${\displaystyle \,\cdot \,}$ es (distributiva a la derecha) sobre tanto uniones como intersecciones, lo que significa que si ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ entonces ${\displaystyle (R\cup S)\cdot \Phi ~=~(R\cdot \Phi )\cup (S\cdot \Phi )}$ y ${\displaystyle (R\cap S)\cdot \Phi ~\subseteq ~(R\cdot \Phi )\cap (S\cdot \Phi ).}$

Entornos y conjuntos abiertos

Dos puntos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ son ${\displaystyle \Phi }$-cerrados si ${\displaystyle (x,y)\in \Phi }$ y un subconjunto ${\displaystyle S\subseteq X}$ se llama ${\displaystyle \Phi }$-pequeño si ${\displaystyle S\times S\subseteq \Phi .}$

Sea ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)}$ una base de acompañamientos en ${\displaystyle X.}$ El prefiltro de entorno en un punto ${\displaystyle p\in X}$ y, respectivamente, en un subconjunto ${\displaystyle S\subseteq X}$ son las (familias de conjuntos):

${\displaystyle {\mathcal {B}}\cdot p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {B}}\cdot \{p\}=\{\Phi \cdot p:\Phi \in {\mathcal {B}}\}\qquad {\text{ y }}\qquad {\mathcal {B}}\cdot S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\Phi \cdot S:\Phi \in {\mathcal {B}}\}}$

y los filtros en ${\displaystyle X}$ que cada uno genera se conocen como filtro de entorno de ${\displaystyle p}$ (respectivamente, de ${\displaystyle S}$). Ahora, se asigna a cada ${\displaystyle x\in X}$ el prefiltro de entorno

${\displaystyle {\mathcal {B}}\cdot x~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\Phi \cdot x:\Phi \in {\mathcal {B}}\}}$

y se utiliza la (definición de entorno de "conjunto abierto") para obtener una (topología) en ${\displaystyle X}$ llamada topología inducida por ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ o 'topología inducida . Explícitamente, un subconjunto ${\displaystyle U\subseteq X}$ está abierto en esta topología si y solo si para cada ${\displaystyle u\in U}$ existe algún ${\displaystyle N\in {\mathcal {B}}\cdot u}$ tal que ${\displaystyle N\subseteq U}$, es decir, ${\displaystyle U}$ está abierto si y solo si para cada ${\displaystyle u\in U}$ existe algún ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$ tal que ${\displaystyle \Phi \cdot u~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:(x,u)\in \Phi \}\subseteq U.}$

El cierre de un subconjunto ${\displaystyle S\subseteq X}$ en esta topología es:

${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(\Phi \cdot S)=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(S\cdot \Phi ).}$

Prefiltros de Cauchy y uniformidades completas

Un prefiltro ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)}$ en un espacio uniforme ${\displaystyle X}$ con uniformidad ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ se llama prefiltro de Cauchy si para cada entorno ${\displaystyle N\in {\mathcal {U}},}$ existe algún ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ tal que ${\displaystyle F\times F\subseteq N.}$

Un espacio uniforme ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$ se llama espacio uniforme completo (respectivamente, espacio uniforme secuencialmente completo ) si cada prefiltro de Cauchy (respectivamente, cada prefiltro de Cauchy elemental) en ${\displaystyle X}$ converge al menos a un punto de ${\displaystyle X}$ cuando ${\displaystyle X}$ está dotado de la topología inducida por ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

Caso de un espacio vectorial topológico

Si ${\displaystyle (X,\tau )}$ es un (espacio vectorial topológico), entonces para cualquier ${\displaystyle S\subseteq X}$ y ${\displaystyle x\in X,}$

${\displaystyle \Delta _{X}(N)\cdot S=S+N\qquad {\text{ y }}\qquad \Delta _{X}(N)\cdot x=x+N,}$

y la topología inducida en ${\displaystyle X}$ por la uniformidad canónica es la misma que la topología con la que comenzó ${\displaystyle X}$ (es decir, es ${\displaystyle \tau }$).

Sean ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ EVTs, y sean ${\displaystyle D\subseteq X,}$ y ${\displaystyle f:D\to Y}$ dos aplicaciones. Entonces, ${\displaystyle f:D\to Y}$ es (continua uniformemente) si para cada entorno ${\displaystyle U}$ del origen en ${\displaystyle X,}$ existe un entorno ${\displaystyle V}$ del origen en ${\displaystyle Y}$ tal que para todo ${\displaystyle x,y\in D,}$ si ${\displaystyle y-x\in U}$, entonces ${\displaystyle f(y)-f(x)\in V.}$

Supóngase que ${\displaystyle f:D\to Y}$ es continua uniformemente. Si ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ es una red de Cauchy en ${\displaystyle D}$, entonces ${\displaystyle f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$ es una red de Cauchy en ${\displaystyle Y.}$ Si ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es un prefiltro de Cauchy en ${\displaystyle D}$ (lo que significa que ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es una familia de subconjuntos de ${\displaystyle D}$ que es de Cauchy en ${\displaystyle X}$), entonces ${\displaystyle f\left({\mathcal {B}}\right)}$ es un prefiltro de Cauchy en ${\displaystyle Y.}$ Sin embargo, si ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ es un filtro de Cauchy en ${\displaystyle D}$, aunque ${\displaystyle f\left({\mathcal {B}}\right)}$ será un filtro de Cauchy previo al filtro, será un filtro Cauchy en ${\displaystyle Y}$ si y solo si ${\displaystyle f:D\to Y}$ es sobreyectiva.

En este apartado se revisan las nociones básicas relacionadas con la teoría general de espacios pseudométricos completos. Recuérdese que toda métrica es una (pseudométrica) y que una pseudométrica ${\displaystyle p}$ es una métrica si y solo si ${\displaystyle p(x,y)=0}$ implica que ${\displaystyle x=y.}$ Por lo tanto, cada espacio métrico es un (espacio pseudométrico) y un espacio pseudométrico ${\displaystyle (X,p)}$ es un espacio métrico si y solo si ${\displaystyle p}$ es una métrica.

Si ${\displaystyle S}$ es un subconjunto de un (espacio pseudométrico) ${\displaystyle (X,d)}$, entonces el (diámetro) de ${\displaystyle S}$ se define como

${\displaystyle \operatorname {diam} (S)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup _{}\{d(s,t):s,t\in S\}.}$

Un prefiltro ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ en un espacio pseudométrico ${\displaystyle (X,d)}$ se denomina prefiltro ${\displaystyle d}$-Cauchy o simplemente prefiltro de Cauchy si para cada número real ${\displaystyle r>0,}$ hay algún ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ tal que el diámetro de ${\displaystyle B}$ sea menor que ${\displaystyle r.}$

Supóngase que ${\displaystyle (X,d)}$ es un espacio pseudométrico. Una (red) ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ en ${\displaystyle X}$ se denomina red ${\displaystyle d}$-Cauchy o simplemente red de Cauchy si ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ es un prefiltro de Cauchy, lo que ocurre si y solo si:

Para cada ${\displaystyle r>0}$ hay algún ${\displaystyle i\in I}$ tal que si ${\displaystyle j,k\in I}$ con ${\displaystyle j\geq i}$ y ${\displaystyle k\geq i}$ entonces ${\displaystyle d\left(x_{j},x_{k}\right)<r}$

o de manera equivalente, si y solo si ${\displaystyle \left(d\left(x_{j},x_{k}\right)\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Esto es análogo a la siguiente caracterización de la convergencia de ${\displaystyle x_{\bullet }}$ en un punto: si ${\displaystyle x\in X,}$ entonces ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ en ${\displaystyle (X,d)}$ si y solo si ${\displaystyle \left(x_{i},x\right)_{i\in I}\to 0}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Una (sucesión de Cauchy) es aquella que también es una red de Cauchy.^{[nota 3]}​

Cada ${\displaystyle p}$ pseudométrica en un conjunto ${\displaystyle X}$ induce la topología canónica habitual en ${\displaystyle X,}$ que se denota por ${\displaystyle \tau _{p}}$. También induce una (uniformidad) canónica en ${\displaystyle X,}$ que se denota por ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}.}$ La topología en ${\displaystyle X}$ inducida por la uniformidad ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}}$ es igual a ${\displaystyle \tau _{p}.}$ Un ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$o 728) en ${\displaystyle X}$ es de Cauchy con respecto a ${\displaystyle p}$ si y solo si es de Cauchy con respecto a la uniformidad ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}.}$ El espacio pseudométrico ${\displaystyle (X,p)}$ es un espacio pseudométrico (completo) (respectivamente, secuencialmente completo) si y solo si ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {U}}_{p}\right)}$ es un espacio uniforme (completo) (respectivamente, secuencialmente completo). Además, el espacio pseudométrico ${\displaystyle (X,p)}$ (respectivamente, el espacio uniforme ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {U}}_{p}\right)}$) está completo si y solo si está secuencialmente completo.

Un espacio pseudométrico ${\displaystyle (X,d)}$ (por ejemplo, un espacio métrico) se denomina completo y ${\displaystyle d}$ se denomina pseudométrico completo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Cada prefiltro de Cauchy en ${\displaystyle X}$ converge al menos a un punto de ${\displaystyle X.}$
2. La misma declaración anterior, pero con la palabra "prefiltro" reemplazada por "filtro".
3. Cada red de Cauchy en ${\displaystyle X}$ converge al menos a un punto de ${\displaystyle X.}$
   • Si ${\displaystyle d}$ es una métrica en ${\displaystyle X}$, entonces cualquier punto límite es necesariamente único y lo mismo ocurre con los límites de los prefiltros de Cauchy en ${\displaystyle X.}$
4. Cada sucesión de Cauchy en ${\displaystyle X}$ converge al menos a un punto de ${\displaystyle X.}$
   • Por tanto, para demostrar que ${\displaystyle (X,d)}$ es completo, basta con considerar únicamente las sucesións de Cauchy en ${\displaystyle X}$ (y no es necesario considerar las redes de Cauchy más generales).
5. La uniformidad canónica en ${\displaystyle X}$ inducida por el ${\displaystyle d}$ pseudométrico es una uniformidad completa.

Y si la adición ${\displaystyle d}$ es una métrica, entonces se puede agregar a esta lista:

6. Cada sucesión decreciente de bolas cerradas cuyos diámetros se reducen a ${\displaystyle 0}$ tiene una intersección no vacía.^[9]​

Cada y, por tanto, también cada (espacio de Fréchet), (espacio de Banach) y (espacio de Hilbert) es un EVT completo. Téngase en cuenta que cada espacio F es un (espacio de Baire), pero hay espacios normados que son de Baire pero no son de Banach.^[10]​

Un ${\displaystyle d}$ pseudométrico en un espacio vectorial ${\displaystyle X}$ se dice que es una pseudométrica invariante a la traslación si ${\displaystyle d(x,y)=d(x+z,y+z)}$ para todos los vectores ${\displaystyle x,y,z\in X.}$

Supóngase que ${\displaystyle (X,\tau )}$ es un (EVT pseudometrizable) (por ejemplo, un EVT metrizable) y que ${\displaystyle p}$ es cualquier pseudométrica en ${\displaystyle X}$ tal que la topología en ${\displaystyle X}$ inducida por ${\displaystyle p}$ sea igual a ${\displaystyle \tau .}$ Si ${\displaystyle p}$ es invariante a la traslación, entonces ${\displaystyle (X,\tau )}$ es un EVT completo si y solo si ${\displaystyle (X,p)}$ es un espacio pseudométrico completo.^[11]​ Si ${\displaystyle p}$ no es invariante a la traslación, entonces es posible que ${\displaystyle (X,\tau )}$ sea un EVT completo, pero que ${\displaystyle (X,p)}$ no sea un espacio pseudométrico completo^[11]​ (consúltese esta nota a pie de página^{[nota 4]}​ para ver un ejemplo).^[11]​

Teorema[12]​[13]​ Sea ${\displaystyle d}$ cualquier métrica[nota 5]​ en un espacio vectorial ${\displaystyle X}$ tal que la topología ${\displaystyle \tau }$ inducida por ${\displaystyle d}$ en ${\displaystyle X}$ convierte a ${\displaystyle (X,\tau )}$ en un espacio vectorial topológico. Si ${\displaystyle (X,d)}$ es un espacio métrico completo, entonces ${\displaystyle (X,\tau )}$ es un EVT completo.

Dos normas en un espacio vectorial se denominan equivalentes si y solo si inducen la misma topología.^[14]​ Si ${\displaystyle p}$ y ${\displaystyle q}$ son dos normas equivalentes en un espacio vectorial ${\displaystyle X}$, entonces el (espacio vectorial normado) ${\displaystyle (X,p)}$ es un (espacio de Banach) si y solo si ${\displaystyle (X,q)}$ es un espacio de Banach. Consúltese esta nota al pie para ver un ejemplo de una norma continua en un espacio de Banach que no es equivalente a la norma dada de ese espacio de Banach.^{[nota 6]}​^[14]​ Todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes y cada espacio normado de dimensión finita es un espacio de Banach.^[15]​ Cada espacio de Banach es un EVT completo. Un espacio normado es un espacio de Banach (es decir, su métrica canónica inducida por normas está completa) si y solo si está completo como espacio vectorial topológico.

Una completación^[16]​ de un EVT ${\displaystyle X}$ es un EVT completo que contiene un subespacio vectorial denso que es EVT-isomorfo a ${\displaystyle X.}$ En otras palabras, es un EVT ${\displaystyle C}$