fbpx
Wikipedia

Espacio euclídeo

El espacio euclídeo es un tipo de espacio geométrico donde se satisfacen los axiomas de Euclides de la geometría. La recta real, el plano euclídeo y el espacio tridimensional de la geometría euclidiana son casos especiales de espacios euclídeos de dimensiones 1, 2 y 3 respectivamente. El concepto abstracto de espacio euclídeo generaliza esas construcciones a más dimensiones. Un espacio euclídeo es un espacio vectorial completo dotado de un producto interno (lo cual lo convierte además en un espacio afín, un espacio métrico y una variedad riemanniana al mismo tiempo).

A point in three-dimensional Euclidean space can be located by three coordinates.

El término euclídeo se utiliza para distinguir estos espacios de los espacios "curvos", de las geometrías no euclidianas y del espacio de la teoría de la relatividad de Einstein. Para resaltar el hecho de que un espacio euclídeo puede poseer n dimensiones, se suele hablar de "espacio euclídeo n-dimensional" (denotado , o incluso ).

Introducción

Un espacio euclídeo de dimensión finita es un espacio vectorial normado sobre los números reales de dimensión finita, en que la norma es la asociada al producto escalar ordinario. Para cada número entero no negativo n, el espacio euclídeo n-dimensional se representa por el símbolo   y es el conjunto de todas las tuplas ordenadas

 

en donde cada   es un número real, junto con la función distancia entre dos puntos (x1, ..., xn) e (y1, ..., yn) definida por la fórmula:

 

Esta función distancia es una generalización del teorema de Pitágoras y se denomina distancia euclidiana. El hecho de que se haya definido una distancia permite definir otros conceptos métricos como el de medida de Lebesgue, lo cual permite a su vez definir la longitud de una curva (1-volumen), las nociones de área (2-volumen), volumen (3-volumen) y cuando el espacio tiene dimensión superior a 3 n-volumen (para n > 3).

Además, pueden definirse ángulos, al poder hablar de proyectar una longitud recta sobre la dirección de otra longitud recta no paralela, así el ángulo entre dos rectas r1 y r2 cuyos vectores unitarios tangentes son   y   se puede definir como:

 

Estructuras sobre el espacio euclídeo

Los espacios euclidianos y sus propiedades han servido de base para generar gran cantidad de conceptos matemáticos relacionados con la geometría analítica, la topología, el álgebra y el cálculo. Aunque el espacio euclídeo suele ser introducido, por razones didácticas, como espacio vectorial, en realidad sobre él se pueden definir muchas más estructuras. El espacio euclídeo es además de un espacio vectorial un caso de:

El espacio euclídeo como espacio métrico

Por definición,   es un espacio métrico, y es por tanto también un espacio topológico; es el ejemplo prototípico de una n-variedad, y es de hecho una n-variedad diferenciable. Para n ≠ 4, cualquier n-variedad diferenciable que sea homeomorfa a   es también difeomorfa a ella. El hecho sorprendente es que esto no es cierto también para n = 4, lo que fue probado por Simon Donaldson en el año 1982; los contraejemplos se llaman 4-espacios exóticos (o falsos).

Dado que el espacio euclídeo   es en sí mismo una variedad diferenciable, en cada punto se puede definir su espacio tangente (que es un espacio vectorial de dimensión n), y puede aprovecharse la estructura euclídea para definir una métrica sobre el fibrado tangente del espacio euclídeo, lo cual le da la estructura de variedad de Riemann, eso permite definir áreas, volúmenes y n-volúmenes para subconjuntos diferenciables de dicho espacio.

El espacio euclídeo como espacio topológico

Se puede decir mucho sobre la topología de  . Un resultado importante, la invariancia del dominio de Brouwer, es el de que cualquier subconjunto de   que sea homeomorfo a un subconjunto abierto de   es en sí mismo abierto. Como consecuencia inmediata de esto se tiene que   no es homeomorfo a   si   —un resultado intuitivamente "obvio" que, sin embargo, no es fácil de demostrar—.

El espacio euclídeo como espacio vectorial

El n-espacio euclídeo se puede considerar también como un espacio vectorial n-dimensional real, de hecho, un espacio de Hilbert, de manera natural. El producto escalar, de x = (x1,...,xn) e y = (y1,...,yn) está dado por:

 

Espacio euclídeo de dimensión infinita

Los espacios euclídeos considerados usualmente tienen una dimensión topológica finita. Eso hace que sean localmente compactos. Sin embargo, es posible concebir estructuras de dimensión infinita que tengan propiedades análogas a los espacios euclídeos, por lo que la extensión a dimensión infinita de la noción de espacio euclídeo es posible con unas pocas precauciones.[1]​ En primer lugar, se puede considerar el conjunto   definido como:

 

Es decir, este conjunto es el producto cartesiano de un número infinito numerable de copias de  . Sin embargo, el conjunto de todas esas tuplas infinitas no tiene la estructura de espacio euclídeo porque no se puede dotar de una norma euclídea adecuada. Por ejemplo, las tuplas:

 

No representan vectores cuya suma de componentes al cuadrado sea un número real finito. Por esa razón se considera el subconjunto:

 

Este espacio vectorial   comparte la mayor parte de los espacios euclídeos finitodimensionales y por tanto puede considerarse un espacio euclídeo infinitodimensional. La principal propiedad es que el espacio euclídeo infinitodimensional a diferencia de sus versiones finitodimensionales no es un espacio localmente compacto.

Véase también

Referencias

  1. Nowinski, J. L. (1981). Infinite-Dimensional Euclidean Spaces. In Applications of Functional Analysis in Engineering (pp. 45-57). Springer US.

Bibliografía

  •   Datos: Q17295

espacio, euclídeo, espacio, euclídeo, tipo, espacio, geométrico, donde, satisfacen, axiomas, euclides, geometría, recta, real, plano, euclídeo, espacio, tridimensional, geometría, euclidiana, casos, especiales, espacios, euclídeos, dimensiones, respectivamente. El espacio euclideo es un tipo de espacio geometrico donde se satisfacen los axiomas de Euclides de la geometria La recta real el plano euclideo y el espacio tridimensional de la geometria euclidiana son casos especiales de espacios euclideos de dimensiones 1 2 y 3 respectivamente El concepto abstracto de espacio euclideo generaliza esas construcciones a mas dimensiones Un espacio euclideo es un espacio vectorial completo dotado de un producto interno lo cual lo convierte ademas en un espacio afin un espacio metrico y una variedad riemanniana al mismo tiempo A point in three dimensional Euclidean space can be located by three coordinates El termino euclideo se utiliza para distinguir estos espacios de los espacios curvos de las geometrias no euclidianas y del espacio de la teoria de la relatividad de Einstein Para resaltar el hecho de que un espacio euclideo puede poseer n dimensiones se suele hablar de espacio euclideo n dimensional denotado E n E n displaystyle mathbb E n E n o incluso R n displaystyle mathbb R n Indice 1 Introduccion 2 Estructuras sobre el espacio euclideo 2 1 El espacio euclideo como espacio metrico 2 2 El espacio euclideo como espacio topologico 2 3 El espacio euclideo como espacio vectorial 3 Espacio euclideo de dimension infinita 4 Vease tambien 5 Referencias 5 1 BibliografiaIntroduccion EditarUn espacio euclideo de dimension finita es un espacio vectorial normado sobre los numeros reales de dimension finita en que la norma es la asociada al producto escalar ordinario Para cada numero entero no negativo n el espacio euclideo n dimensional se representa por el simbolo R n displaystyle mathbb R n y es el conjunto de todas las tuplas ordenadas x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 ldots x n en donde cada x i displaystyle x i es un numero real junto con la funcion distancia entre dos puntos x1 xn e y1 yn definida por la formula d x y x y i 1 n x i y i 2 displaystyle d mathbf x mathbf y mathbf x mathbf y sqrt sum i 1 n x i y i 2 Esta funcion distancia es una generalizacion del teorema de Pitagoras y se denomina distancia euclidiana El hecho de que se haya definido una distancia permite definir otros conceptos metricos como el de medida de Lebesgue lo cual permite a su vez definir la longitud de una curva 1 volumen las nociones de area 2 volumen volumen 3 volumen y cuando el espacio tiene dimension superior a 3 n volumen para n gt 3 Ademas pueden definirse angulos al poder hablar de proyectar una longitud recta sobre la direccion de otra longitud recta no paralela asi el angulo entre dos rectas r1 y r2 cuyos vectores unitarios tangentes son n 1 displaystyle mathbf n 1 y n 2 displaystyle mathbf n 2 se puede definir como 8 arccos n 1 n 2 displaystyle theta arccos left mathbf n 1 cdot mathbf n 2 right Estructuras sobre el espacio euclideo EditarLos espacios euclidianos y sus propiedades han servido de base para generar gran cantidad de conceptos matematicos relacionados con la geometria analitica la topologia el algebra y el calculo Aunque el espacio euclideo suele ser introducido por razones didacticas como espacio vectorial en realidad sobre el se pueden definir muchas mas estructuras El espacio euclideo es ademas de un espacio vectorial un caso de Un espacio de Hilbert de dimension finita con el producto escalar ordinario Un espacio de Banach de dimension finita con norma inducida por el producto escalar interior Un espacio metrico completo con distancia inducida por la norma anterior Un espacio topologico inducido por la metrica euclidea Una variedad de Riemann con la metrica euclidea Un espacio afin donde el espacio vectorial asociado es R n displaystyle mathbb R n Un grupo de Lie con la operacion de adicion Un algebra de Lie con el producto vectorial solo en el caso tridimensional El espacio euclideo como espacio metrico Editar Por definicion E n displaystyle mathbb E n es un espacio metrico y es por tanto tambien un espacio topologico es el ejemplo prototipico de una n variedad y es de hecho una n variedad diferenciable Para n 4 cualquier n variedad diferenciable que sea homeomorfa a E n displaystyle mathbb E n es tambien difeomorfa a ella El hecho sorprendente es que esto no es cierto tambien para n 4 lo que fue probado por Simon Donaldson en el ano 1982 los contraejemplos se llaman 4 espacios exoticos o falsos Dado que el espacio euclideo E n displaystyle mathbb E n es en si mismo una variedad diferenciable en cada punto se puede definir su espacio tangente que es un espacio vectorial de dimension n y puede aprovecharse la estructura euclidea para definir una metrica sobre el fibrado tangente del espacio euclideo lo cual le da la estructura de variedad de Riemann eso permite definir areas volumenes y n volumenes para subconjuntos diferenciables de dicho espacio El espacio euclideo como espacio topologico Editar Se puede decir mucho sobre la topologia de E n displaystyle mathbb E n Un resultado importante la invariancia del dominio de Brouwer es el de que cualquier subconjunto de E n displaystyle mathbb E n que sea homeomorfo a un subconjunto abierto de E n displaystyle mathbb E n es en si mismo abierto Como consecuencia inmediata de esto se tiene que E m displaystyle mathbb E m no es homeomorfo a E n displaystyle mathbb E n si m n displaystyle m neq n un resultado intuitivamente obvio que sin embargo no es facil de demostrar El espacio euclideo como espacio vectorial Editar Articulo principal Vector espacio euclideo El n espacio euclideo se puede considerar tambien como un espacio vectorial n dimensional real de hecho un espacio de Hilbert de manera natural El producto escalar de x x1 xn e y y1 yn esta dado por x y i 1 n x i y i x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n displaystyle mathbf x cdot mathbf y sum i 1 n x i y i x 1 y 1 x 2 y 2 cdots x n y n Espacio euclideo de dimension infinita EditarLos espacios euclideos considerados usualmente tienen una dimension topologica finita Eso hace que sean localmente compactos Sin embargo es posible concebir estructuras de dimension infinita que tengan propiedades analogas a los espacios euclideos por lo que la extension a dimension infinita de la nocion de espacio euclideo es posible con unas pocas precauciones 1 En primer lugar se puede considerar el conjunto R w displaystyle mathbb R omega definido como R w x 1 x 2 i x i R displaystyle mathbb R omega x 1 x 2 dots forall i x i in mathbb R Es decir este conjunto es el producto cartesiano de un numero infinito numerable de copias de R displaystyle mathbb R Sin embargo el conjunto de todas esas tuplas infinitas no tiene la estructura de espacio euclideo porque no se puede dotar de una norma euclidea adecuada Por ejemplo las tuplas x 1 1 1 o y 1 2 3 4 displaystyle mathbf x 1 1 1 dots text o mathbf y 1 2 3 4 dots No representan vectores cuya suma de componentes al cuadrado sea un numero real finito Por esa razon se considera el subconjunto E x 1 x 2 i x i R lim N n 1 N x n 2 lt R w displaystyle E infty x 1 x 2 dots forall i x i in mathbb R lim N to infty sum n 1 N x n 2 lt infty varsubsetneq mathbb R omega Este espacio vectorial E displaystyle E infty comparte la mayor parte de los espacios euclideos finitodimensionales y por tanto puede considerarse un espacio euclideo infinitodimensional La principal propiedad es que el espacio euclideo infinitodimensional a diferencia de sus versiones finitodimensionales no es un espacio localmente compacto Vease tambien EditarGeometria euclidiana Geometria analitica Medida de LebesgueReferencias Editar Nowinski J L 1981 Infinite Dimensional Euclidean Spaces In Applications of Functional Analysis in Engineering pp 45 57 Springer US Bibliografia Editar Kelley John L 1975 General Topology Springer Verlag ISBN 0 387 90125 6 Munkres James 1999 Topology Prentice Hall ISBN 0 13 181629 2 Datos Q17295Obtenido de https es wikipedia org w index php title Espacio euclideo amp oldid 137740829, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

español

, española, descargar, gratis, descargar gratis, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, imagen, música, canción, película, libro, juego, juegos