Para cualquier , se tiene que donde () es el espacio de funciones p-integrables en . En particular, cualquier función de es una función acotada.[1]
Referencia
Reed & Simon, 1980.
L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, (Distribution theory and Fourier Analysis), 2nd ed, Springer-Verlag, 1990.
M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis I, Revised and enlarged edition, Academic Press, 1980.
Datos:Q1369621
Agosto 04, 2021
espacio, schwartz, matemáticas, espacio, schwartz, espacio, funcional, funciones, decrecimiento, rápido, este, tipo, espacio, tiene, propiedad, interesante, transformada, fourier, automorfismo, este, espacio, esta, propiedad, permite, dualidad, extender, defin. En matematicas un espacio de Schwartz es un espacio funcional de funciones de decrecimiento rapido Este tipo de espacio tiene la propiedad interesante de que la transformada de Fourier es un automorfismo de este espacio Esta propiedad permite por dualidad extender la definicion de la transformada de Fourier a funciones generalizadas pertenecientes al espacio dual del espacio de Schwartz Este tipo de espacios se nombra asi en honor a Laurent Schwartz Una funcion del espacio de Schwartz se llama a veces funcion de Schwartz Una funcion gausiana bidimensional es un ejemplo de funcion de decrecimiento rapido y por tanto un elemento del espacio de Schwartz Indice 1 Definicion 2 Ejemplos de funciones en S R n displaystyle mathcal S mathbb R n 3 Propiedades 4 ReferenciaDefinicion EditarEl espacio de Schwartz o espacio de funciones de decrecimiento rapido S R n displaystyle mathcal S mathbb R n definido sobre el espacio euclideo R n displaystyle mathbb R n es el conjunto de funciones S R n f C R n a b f a b lt displaystyle mathcal S left mathbb R n right f in C infty mathbb R n mid forall alpha beta f alpha beta lt infty Donde a b displaystyle alpha beta son multindices conjuntos ordenados de indices C R n displaystyle C infty mathbb R n es el conjunto de funciones reales suaves sobre R n displaystyle mathbb R n displaystyle cdot es una norma definida a partir de la norma del supremo como f a b x a D b f sup x R n x i 1 a 1 x i m a m b f x j 1 b 1 x j k b k displaystyle f alpha beta x alpha D beta f infty sup mathbf x in mathbb R n left x i 1 alpha 1 ldots x i m alpha m frac partial beta f partial x j 1 beta 1 ldots x j k beta k right Donde los numeros a i b j displaystyle alpha i beta j son enteros positivos que satisfacen i 1 m a i a j 1 k b j b displaystyle sum i 1 m alpha i alpha qquad sum j 1 k beta j beta Ejemplos de funciones en S R n displaystyle mathcal S mathbb R n EditarSi a n gt 0 displaystyle a n gt 0 entonces x n e a x 2 S R n displaystyle x n e ax 2 in mathcal S mathbb R n Cualquier funcion suave de soporte compacto esta en S R n displaystyle mathcal S mathbb R n Propiedades EditarS displaystyle mathcal S es un espacio de Frechet sobre los numeros complejos C displaystyle mathbb C Por la regla de Leibniz se sigue que S R n displaystyle mathcal S mathbb R n es cerrado bajo la multiplicacion punto a punto es decir f g S R n h x f x g x S R n displaystyle f g in mathcal S mathbb R n Rightarrow h x f x g x in mathcal S mathbb R n La transformada de Fourier es un automorfismo lineal acotado de S R n displaystyle mathcal S mathbb R n en si mismo Para cualquier 1 p displaystyle 1 leq p leq infty se tiene que S L p displaystyle mathcal S subset L p donde L p displaystyle L p R n displaystyle mathbb R n es el espacio de funciones p integrables en R n displaystyle mathbb R n En particular cualquier funcion de S displaystyle mathcal S es una funcion acotada 1 Referencia Editar Reed amp Simon 1980 L Hormander The Analysis of Linear Partial Differential Operators I Distribution theory and Fourier Analysis 2nd ed Springer Verlag 1990 M Reed B Simon Methods of Modern Mathematical Physics Functional Analysis I Revised and enlarged edition Academic Press 1980 Datos Q1369621Obtenido de https es wikipedia org w index php title Espacio de Schwartz amp oldid 121258943, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,