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Equilibrio mecánico

El equilibrio mecánico es un estado estacionario en el que se cumple alguna de estas dos condiciones:

  • Un sistema está en total o parcial equilibrio mecánico cuando la suma de fuerzas y momentos sobre cada partícula del sistema es cero.
  • Un sistema está en equilibrio mecánico si su posición en el espacio de configuración es un punto en el que el gradiente de energía potencial es cero (0).

La segunda definición es más general y útil, especialmente en mecánica de medios continuos.

Definición basada en equilibrio de fuerzas

Como consecuencia de las leyes de la mecánica, una partícula en equilibrio no sufre aceleración lineal ni de rotación, pero puede estar moviéndose a velocidad uniforme o rotar a velocidad angular uniforme. Esto es ampliable a un sólido rígido.

Condición necesaria de equilibrio

Las ecuaciones necesarias de equilibrio mecánico son:

 

En el espacio se tienen tres ecuaciones de fuerzas, una por dimensión; descomponiendo cada fuerza en sus coordenadas resulta:

 

Y como un vector es cero cuando cada una de sus componentes es cero, se tiene:
  1.  
  2.  
  3.  
Un sólido rígido está en equilibrio de traslación cuando la suma de las componentes de las fuerzas que actúan sobre él es cero.
  • Un sólido rígido está en equilibrio de rotación, si la suma de momentos sobre el cuerpo es cero.
 
En el espacio tiene las tres ecuaciones una por dimensión; por un razonamiento similar al de las fuerzas:
 
Resultando:
  1.  
  2.  
  3.  
Un sólido rígido está en equilibrio de rotación cuando la suma de las componentes de los momentos que actúan sobre él es cero.

Un sólido rígido está en equilibrio si está en equilibrio de traslación y de rotación.

Se distingue un tipo particular de equilibrio mecánico llamado equilibrio estático que correspondería a una situación en que el cuerpo está en reposo, con velocidad cero: una hoja de papel sobre un escritorio estará en equilibrio mecánico y estático, un paracaidista cayendo a velocidad constante, dada por la velocidad límite estaría en equilibrio mecánico pero no estático.

Condiciones suficientes

Tal como se ha expuesto en la sección anterior, dado un sólido una condición necesaria para que este sólido esté en equilibrio mecánico es que la suma de reacciones y el momento resultante de estas reacciones sea cero. Si el sólido es indeformable la condición además de necesaria es suficiente, sin embargo, para ciertos sólidos deformables la condición de que la suma de fuerzas y momentos se anule puede no ser suficiente. En ese último caso además deben satisfacerse localmente las ecuaciones diferenciales de equilibrio:

 

Donde:

  denotan las componentes del tensor de tensiones.
  es la fuerza por unidad de volumen actuante en cada punto del sólido.

Las condiciones anteriores también son aplicables a un fluido y para la mayoría de fluidos admiten las ecuaciones anteriores son equivalentes a una forma más simple.

Definición basada en la energía potencial

La definición anterior, basada en fuerzas, no es fácilmente generalizable a los medios continuos, ni proporciona información sobre uno de los aspectos más importantes del estado de equilibrio: la estabilidad. Para este tipo de sistemas lo más cómodo es usar la segunda definición, basada en la energía potencial; debido a la relación fundamental entre fuerza y energía, ambas son equivalentes. Además, resulta más natural definir el equilibrio estable. Si la función de energía potencial es diferenciable, entonces los puntos de equilibrio coincidirán con los puntos donde ocurra un máximo o un mínimo locales de la energía potencial.

Estabilidad del equilibrio

El análisis de la estabilidad del equilibrio puede llevarse a cabo estudiando los mínimos y máximos locales (extremos locales) de la función de energía potencial.

 
Equilibrio metaestable (1), inestable (2) y estable (3)

Un resultado elemental del análisis matemático dice una condición necesaria para la existencia de un extremo local de una función diferenciable es que todas las derivadas primeras se anulen en algún punto. Para determinar problemas unidimensionales, comprobar si un punto de equilibrio es estable, inestable o indiferente implica verificar las derivadas segundas de la energía potencial:

  • Un punto es de equilibrio inestable, si la segunda derivada de la energía potencial < 0 y por tanto la energía potencial tiene un máximo local. Si el sistema sufre un desplazamiento de su posición de equilibrio, por pequeño que este sea, entonces se alejará más y más de él (de ahí el nombre inestabilidad para esa situación).
  • Un punto es de equilibrio indiferente o neutral, si la segunda derivada = 0, entonces se encuentra una región donde la energía no varía. Así, si el sistema es desplazado de la posición de equilibrio una cantidad suficientemente pequeña, posiblemente no volverá a acercarse al equilibrio pero tampoco divergirá mucho de la posición anterior de equilibrio.
  • Un punto es de equilibrio estable si la segunda derivada > 0 y por tanto la energía potencial tiene un mínimo local. La respuesta del sistema frente a pequeñas perturbaciones o un alejamiento arbitrariamente pequeño del punto de equilibrio es volver u oscilar alrededor del punto de equilibrio. Si existe más de un punto de equilibrio estable para un sistema, entonces se dice que cualquiera de ellos cuya energía potencia es mayor que el mínimo absoluto representa un estado metaestable.

Para problemas bidimensionales y tridimensionales (o más generalmente n-dimensionales) la discusión anterior de la estabilidad se hace más complicada y requiere examinar la forma cuadrática Q(x1,...,xn) definida por la matriz hessiana de la energía potencial:

  • Equilibrio estable, se da cuando la forma cuadrática Q(x1,...,xn) es definida positiva y, por tanto, todos sus autovalores son números positivos.
  • Equilibrio totalmente inestable, se da cuando la forma cuadrática Q(x1,...,xn) es definida negativa, por tanto, todos sus autovalores son negativos.
  • Equilibrio mixto inestable, se da cuando la forma cuadrática Q(x1,...,xn) es no es definida positiva y alguno de sus autovalores es negativo. Esto implica que según ciertas direcciones puede haber estabilidad unidimensional pero según otras habrá inestabilidad unidimensional

Véase también

Referencias

  • Marion & Thornton, Classical Dynamics of Particles and Systems. Fourth Edition, Harcourt Brace & Company (1995). (en inglés)
  • Resnick, R. and D. Halliday (1966) Physics, Part 1, John Wiley & Sons, New York, 646 pp + Appendices. (en inglés)
  •   Datos: Q716915
  •   Multimedia: Statics

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El equilibrio mecanico es un estado estacionario en el que se cumple alguna de estas dos condiciones Un sistema esta en total o parcial equilibrio mecanico cuando la suma de fuerzas y momentos sobre cada particula del sistema es cero Un sistema esta en equilibrio mecanico si su posicion en el espacio de configuracion es un punto en el que el gradiente de energia potencial es cero 0 La segunda definicion es mas general y util especialmente en mecanica de medios continuos Indice 1 Definicion basada en equilibrio de fuerzas 1 1 Condicion necesaria de equilibrio 1 2 Condiciones suficientes 2 Definicion basada en la energia potencial 2 1 Estabilidad del equilibrio 3 Vease tambien 4 ReferenciasDefinicion basada en equilibrio de fuerzas EditarComo consecuencia de las leyes de la mecanica una particula en equilibrio no sufre aceleracion lineal ni de rotacion pero puede estar moviendose a velocidad uniforme o rotar a velocidad angular uniforme Esto es ampliable a un solido rigido Condicion necesaria de equilibrio Editar Las ecuaciones necesarias de equilibrio mecanico son Una particula o un solido rigido esta en equilibrio de traslacion cuando la suma de todas las fuerzas que actuan sobre el cuerpo es cero i 1 n F i 0 displaystyle sum i 1 n vec F i 0 En el espacio se tienen tres ecuaciones de fuerzas una por dimension descomponiendo cada fuerza en sus coordenadas resulta F i F i x u x F i y u y F i z u z displaystyle vec F i F i x vec u x F i y vec u y F i z vec u z Y como un vector es cero cuando cada una de sus componentes es cero se tiene i 1 n F i x 0 displaystyle sum i 1 n F i x 0 i 1 n F i y 0 displaystyle sum i 1 n F i y 0 i 1 n F i z 0 displaystyle sum i 1 n F i z 0 Un solido rigido esta en equilibrio de traslacion cuando la suma de las componentes de las fuerzas que actuan sobre el es cero Un solido rigido esta en equilibrio de rotacion si la suma de momentos sobre el cuerpo es cero i 1 n M i 0 displaystyle sum i 1 n vec M i 0 dd En el espacio tiene las tres ecuaciones una por dimension por un razonamiento similar al de las fuerzas M i M i x u x M i y u y M i z u z displaystyle vec M i M i x vec u x M i y vec u y M i z vec u z dd Resultando i 1 n M i x 0 displaystyle sum i 1 n M i x 0 i 1 n M i y 0 displaystyle sum i 1 n M i y 0 i 1 n M i z 0 displaystyle sum i 1 n M i z 0 Un solido rigido esta en equilibrio de rotacion cuando la suma de las componentes de los momentos que actuan sobre el es cero Un solido rigido esta en equilibrio si esta en equilibrio de traslacion y de rotacion Se distingue un tipo particular de equilibrio mecanico llamado equilibrio estatico que corresponderia a una situacion en que el cuerpo esta en reposo con velocidad cero una hoja de papel sobre un escritorio estara en equilibrio mecanico y estatico un paracaidista cayendo a velocidad constante dada por la velocidad limite estaria en equilibrio mecanico pero no estatico Condiciones suficientes Editar Tal como se ha expuesto en la seccion anterior dado un solido una condicion necesaria para que este solido este en equilibrio mecanico es que la suma de reacciones y el momento resultante de estas reacciones sea cero Si el solido es indeformable la condicion ademas de necesaria es suficiente sin embargo para ciertos solidos deformables la condicion de que la suma de fuerzas y momentos se anule puede no ser suficiente En ese ultimo caso ademas deben satisfacerse localmente las ecuaciones diferenciales de equilibrio s x x x s x y y s x z z b x 0 s y x x s y y y s y z z b y 0 s z x x s z y y s z z z b z 0 displaystyle begin cases cfrac partial sigma xx partial x cfrac partial sigma xy partial y cfrac partial sigma xz partial z b x 0 cfrac partial sigma yx partial x cfrac partial sigma yy partial y cfrac partial sigma yz partial z b y 0 cfrac partial sigma zx partial x cfrac partial sigma zy partial y cfrac partial sigma zz partial z b z 0 end cases Donde s i j displaystyle sigma ij denotan las componentes del tensor de tensiones b i displaystyle b i es la fuerza por unidad de volumen actuante en cada punto del solido Las condiciones anteriores tambien son aplicables a un fluido y para la mayoria de fluidos admiten las ecuaciones anteriores son equivalentes a una forma mas simple Definicion basada en la energia potencial EditarLa definicion anterior basada en fuerzas no es facilmente generalizable a los medios continuos ni proporciona informacion sobre uno de los aspectos mas importantes del estado de equilibrio la estabilidad Para este tipo de sistemas lo mas comodo es usar la segunda definicion basada en la energia potencial debido a la relacion fundamental entre fuerza y energia ambas son equivalentes Ademas resulta mas natural definir el equilibrio estable Si la funcion de energia potencial es diferenciable entonces los puntos de equilibrio coincidiran con los puntos donde ocurra un maximo o un minimo locales de la energia potencial Estabilidad del equilibrio Editar El analisis de la estabilidad del equilibrio puede llevarse a cabo estudiando los minimos y maximos locales extremos locales de la funcion de energia potencial Equilibrio metaestable 1 inestable 2 y estable 3 Un resultado elemental del analisis matematico dice una condicion necesaria para la existencia de un extremo local de una funcion diferenciable es que todas las derivadas primeras se anulen en algun punto Para determinar problemas unidimensionales comprobar si un punto de equilibrio es estable inestable o indiferente implica verificar las derivadas segundas de la energia potencial Un punto es de equilibrio inestable si la segunda derivada de la energia potencial lt 0 y por tanto la energia potencial tiene un maximo local Si el sistema sufre un desplazamiento de su posicion de equilibrio por pequeno que este sea entonces se alejara mas y mas de el de ahi el nombre inestabilidad para esa situacion Un punto es de equilibrio indiferente o neutral si la segunda derivada 0 entonces se encuentra una region donde la energia no varia Asi si el sistema es desplazado de la posicion de equilibrio una cantidad suficientemente pequena posiblemente no volvera a acercarse al equilibrio pero tampoco divergira mucho de la posicion anterior de equilibrio Un punto es de equilibrio estable si la segunda derivada gt 0 y por tanto la energia potencial tiene un minimo local La respuesta del sistema frente a pequenas perturbaciones o un alejamiento arbitrariamente pequeno del punto de equilibrio es volver u oscilar alrededor del punto de equilibrio Si existe mas de un punto de equilibrio estable para un sistema entonces se dice que cualquiera de ellos cuya energia potencia es mayor que el minimo absoluto representa un estado metaestable Para problemas bidimensionales y tridimensionales o mas generalmente n dimensionales la discusion anterior de la estabilidad se hace mas complicada y requiere examinar la forma cuadratica Q x1 xn definida por la matriz hessiana de la energia potencial Equilibrio estable se da cuando la forma cuadratica Q x1 xn es definida positiva y por tanto todos sus autovalores son numeros positivos Equilibrio totalmente inestable se da cuando la forma cuadratica Q x1 xn es definida negativa por tanto todos sus autovalores son negativos Equilibrio mixto inestable se da cuando la forma cuadratica Q x1 xn es no es definida positiva y alguno de sus autovalores es negativo Esto implica que segun ciertas direcciones puede haber estabilidad unidimensional pero segun otras habra inestabilidad unidimensionalVease tambien EditarEstatica Dinamica Cinematica Momento de fuerza respecto a un centro o polo Metaestabilidad Principio de d Alembert Ingenieria mecanica Ingenieria quimicaReferencias EditarMarion amp Thornton Classical Dynamics of Particles and Systems Fourth Edition Harcourt Brace amp Company 1995 en ingles Resnick R and D Halliday 1966 Physics Part 1 John Wiley amp Sons New York 646 pp Appendices en ingles Datos Q716915 Multimedia StaticsObtenido de https es wikipedia org w index php title Equilibrio 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