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Energía orbital específica

En el problema gravitatorio de dos cuerpos, la energía orbital específica (O energía vis-viva) de dos cuerpos en órbita es la suma constante de su energía potencial mutua () y su energía cinética total (), dividida por la masa reducida. De acuerdo con la ecuación de conservación de energía orbital (también conocida como ecuación de vis-viva), no varía con el tiempo:

dónde

Se expresa en J/kg = m²·s−2 o MJ/kg = km²·s−2. Para una órbita elíptica, la energía orbital específica es el negativo de la energía adicional requerida para acelerar una masa de un kilogramo a la velocidad de escape (órbita parabólica). Para una órbita hiperbólica, es igual al exceso de energía en comparación con la de una órbita parabólica. En este caso, la energía orbital específica también se denomina energía característica.

Forma de ecuación para diferentes órbitas

Para una órbita elíptica, la ecuación de energía orbital específica, cuando se combina con la conservación del momento angular específico en uno de los ábsides de la órbita, se simplifica a:[1]

 

donde

Prueba:

Para una órbita elíptica con momento angular específico h dada por
 
usamos la forma general de la ecuación de energía orbital específica,
 
con la relación de que la velocidad relativa en periapsis es
 
Por lo tanto, nuestra ecuación de energía orbital específica se convierte
 
y finalmente con la última simplificación obtenemos:
 

Para una órbita parabólica, esta ecuación se simplifica a

 

Para una trayectoria hiperbólica, esta energía orbital específica está dada por

 

o lo mismo que para una elipse, dependiendo de la convención para el signo de a.

En este caso, la energía orbital específica también se denomina energía característica (o  ) y es igual al exceso de energía específica en comparación con la de una órbita parabólica.

Está relacionado con la hiperbólica velocidad de exceso  (la velocidad orbital en el infinito) por

 

Es relevante para misiones interplanetarias.

Por lo tanto, si el vector de posición orbital ( ) y el vector de velocidad orbital ( ) se conocen en una posición, y   es conocido, entonces se puede calcular la energía y, a partir de eso, para cualquier otra posición, la velocidad orbital.

Tasa de cambio

Para una órbita elíptica, la velocidad de cambio de la energía orbital específica con respecto a un cambio en el eje semieje mayor es

 

donde

En el caso de las órbitas circulares, esta velocidad es la mitad de la gravedad en la órbita. Esto corresponde al hecho de que para tales órbitas la energía total es la mitad de la energía potencial, porque la energía cinética es menos la mitad de la energía potencial.

Energía adicional

Si el cuerpo central tiene un radio R, entonces la energía adicional de una órbita elíptica en comparación con estar estacionario en la superficie es

 
  • Para la Tierra y un poco más que   esto es   ; la cantidad   es la altura en que la elipse se extiende por encima de la superficie, más la distancia de periapsis (la distancia que la elipse se extiende más allá del centro de la Tierra); los últimos tiempos g es la energía cinética de la componente horizontal de la velocidad.

Ejemplos

ISS

La Estación Espacial Internacional (ISS) tiene un período orbital de 91,74 minutos, por lo que el eje semi-mayor es de 6.738 km.

La energía es −29,6 MJ/kg: la energía potencial es −59,2 MJ/kg, y la energía cinética es de 29,6 MJ/kg. Compare con la energía potencial en la superficie, que es -62,6 MJ/kg. La energía potencial extra es 3,4 MJ/kg, la energía extra total es 33,0 MJ/kg. La velocidad promedio es de 7,7 km/s, la red Delta-v para alcanzar esta órbita es de 8,1 km/s (el Delta-v real es típicamente de 1,5-2 km/s más para el arrastre atmosférico y el arrastre gravitacional).

El aumento por metro sería de 4,4 J/kg; esta tasa corresponde a la mitad de la gravedad local de 8,8 m/s².

Para una altitud de 100 km (radio es 6.471 km):

La energía es -30,8 MJ/kg: la energía potencial es -61,6 MJ/kg, y la energía cinética es 30,8 MJ/kg. Compare con la energía potencial en la superficie, que es -62,6 MJ/kg. La energía potencial extra es 1,0 MJ/kg, la energía extra total es 31,8 MJ/kg.

El aumento por metro sería de 4,8 J/kg; esta tasa corresponde a la mitad de la gravedad local de 9,5 m/s². La velocidad es de 7,8 km/s, la red Delta-v neta para alcanzar esta órbita es de 8,0 km/s.

Teniendo en cuenta la rotación de la Tierra, el delta-v es de hasta 0.46 km / s menos (comenzando en el ecuador e yendo hacia el este) o más (si va hacia el oeste).

Voyager 1

Para Voyager 1, con respecto al Sol:

Por lo tanto:

  •   146 km²s−2 − 8 km²s−2 = 138 km²s−2

Por lo tanto, la velocidad excesiva hiperbólica (la velocidad orbital teórica en el infinito) está dada por

  16,6 km/s

Sin embargo, el Voyager 1 no tiene la velocidad suficiente para abandonar la Vía Láctea. La velocidad calculada se aplica muy lejos del Sol, pero en una posición tal que la energía potencial con respecto a la Vía Láctea como un todo ha cambiado de manera insignificante, y solo si no hay una interacción fuerte con cuerpos celestes distintos del Sol.

Aplicando empuje

Asumir:

  • a es la aceleración debida al empuje (la tasa de tiempo a la que se gasta delta-v)
  • g es la fuerza del campo gravitacional
  • v es la velocidad del cohete

Entonces, la tasa de cambio de tiempo de la energía específica del cohete es  :una cantidad   para la energía cinética y una cantidad   para la energía potencial.

El cambio de la energía específica del cohete por unidad de cambio de Delta-v es

 

que es |v| veces el coseno del ángulo entre v y a.

Por lo tanto, cuando se aplica delta-v para aumentar la energía orbital específica, esto se hace de manera más eficiente si a e aplica en la dirección de v, y cuando |v| es largo. Si el ángulo entre v y g es obtuso, por ejemplo en un lanzamiento y en una transferencia a una órbita más alta, esto significa aplicar el delta-v tan pronto como sea posible y a plena capacidad. Al pasar por un cuerpo celeste significa aplicar empuje cuando está más cerca del cuerpo. Cuando aumenta gradualmente la órbita elíptica, significa aplicar empuje cada vez que está cerca de la periapsis.

Al aplicar delta-v para disminuir la energía orbital específica, esto se hace de manera más eficiente si a se aplica en la dirección opuesta a la de v, y de nuevo cuando |v| es largo. Si el ángulo entre v y g es agudo, por ejemplo en un aterrizaje (en un cuerpo celeste sin atmósfera) y en una transferencia a una órbita circular alrededor de un cuerpo celeste cuando se llega desde el exterior, esto significa aplicar el Delta-v tan tarde como posible. Al pasar por un planeta significa aplicar empuje cuando está más cerca del planeta. Cuando se hace gradualmente una órbita elíptica más pequeña, significa aplicar empuje cada vez que está cerca de la periapsis.

Si a va en la dirección de v:

 

Velocidades tangenciales en altitud

Orbita Distancia de centro a centro Altitud sobre la superficie de la Tierra Velocidad Periodo orbital Energía orbital específica
La propia rotación de la Tierra en la superficie (para comparación, no una órbita) 6.378 km 0 km 465,1 m/s (1.674 km/h) 23h 56min −62,6 MJ/kg
Orbitando en la superficie de la Tierra (ecuador) 6.378 km 0 km 7,9 km/s (28.440 km/h) 1h 24min 18sec −31,2 MJ/kg
Orbita terrestre baja 6.600–8.400 km 200–2.000 km
  • Órbita circular: 7,8–6,9 km/s (28.080–24.840 km/h) respectivamente
  • Órbita elíptica: 6,5–8,2 km/s respectivamente
1h 29min – 2h 8min −29,8 MJ/kg
Rayo de las órbitas 6.900–46.300 km 500–39.900 km 1,5–10,0 km/s (5.400–36.000 km/h) respectivamente 11h 58min −4,7 MJ/kg
Geoestacionario 42.000 km 35.786 km 3,1 km/s (11.600 km/h) 23h 56min −4,6 MJ/kg
Órbita de la luna 363.000–406.000 km 357.000–399.000 km 0,97–1,08 km/s (3.492–3.888 km/h) respectivamente 27,3 days −0,5 MJ/kg

Véase también

Referencias

  1. Wie, Bong (1998). «Dinámica orbital». Dinámica y control del vehículo espacial. AIAA series educativas. Reston, Virginia: Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica. p. 220. ISBN 1-56347-261-9. 
  •   Datos: Q3725293

energía, orbital, específica, problema, gravitatorio, cuerpos, energía, orbital, específica, displaystyle, epsilon, energía, viva, cuerpos, órbita, suma, constante, energía, potencial, mutua, displaystyle, epsilon, energía, cinética, total, displaystyle, epsil. En el problema gravitatorio de dos cuerpos la energia orbital especifica ϵ displaystyle epsilon O energia vis viva de dos cuerpos en orbita es la suma constante de su energia potencial mutua ϵ p displaystyle epsilon p y su energia cinetica total ϵ k displaystyle epsilon k dividida por la masa reducida De acuerdo con la ecuacion de conservacion de energia orbital tambien conocida como ecuacion de vis viva no varia con el tiempo ϵ ϵ k ϵ p v 2 2 m r 1 2 m 2 h 2 1 e 2 m 2 a displaystyle begin aligned epsilon amp epsilon k epsilon p amp frac v 2 2 frac mu r frac 1 2 frac mu 2 h 2 left 1 e 2 right frac mu 2a end aligned donde v displaystyle v es la velocidad orbital relativa r displaystyle r es la distancia orbital entre los cuerpos m G m 1 m 2 displaystyle mu G m 1 m 2 es la suma de los parametros gravitacionales estandar de los cuerpos h displaystyle h es el momento angular relativo especifico en el sentido de momento angular relativo dividido por la masa reducida e displaystyle e es la excentricidad orbital a displaystyle a es el semi eje mayor Se expresa en J kg m s 2 o MJ kg km s 2 Para una orbita eliptica la energia orbital especifica es el negativo de la energia adicional requerida para acelerar una masa de un kilogramo a la velocidad de escape orbita parabolica Para una orbita hiperbolica es igual al exceso de energia en comparacion con la de una orbita parabolica En este caso la energia orbital especifica tambien se denomina energia caracteristica Indice 1 Forma de ecuacion para diferentes orbitas 2 Tasa de cambio 3 Energia adicional 4 Ejemplos 4 1 ISS 4 2 Voyager 1 5 Aplicando empuje 6 Velocidades tangenciales en altitud 7 Vease tambien 8 ReferenciasForma de ecuacion para diferentes orbitas EditarPara una orbita eliptica la ecuacion de energia orbital especifica cuando se combina con la conservacion del momento angular especifico en uno de los absides de la orbita se simplifica a 1 ϵ m 2 a displaystyle epsilon frac mu 2a donde m G m 1 m 2 displaystyle mu G m 1 m 2 es el parametro gravitacional estandar a displaystyle a es el semi eje mayor de la orbita Prueba Para una orbita eliptica con momento angular especifico h dada por dd h 2 m p m a 1 e 2 displaystyle h 2 mu p mu a left 1 e 2 right dd usamos la forma general de la ecuacion de energia orbital especifica dd ϵ v 2 2 m r displaystyle epsilon frac v 2 2 frac mu r dd con la relacion de que la velocidad relativa en periapsis es dd v p 2 h 2 r p 2 h 2 a 2 1 e 2 m a 1 e 2 a 2 1 e 2 m 1 e 2 a 1 e 2 displaystyle v p 2 h 2 over r p 2 h 2 over a 2 1 e 2 mu a 1 e 2 over a 2 1 e 2 mu 1 e 2 over a 1 e 2 dd Por lo tanto nuestra ecuacion de energia orbital especifica se convierte dd ϵ m a 1 e 2 2 1 e 2 1 1 e m a 1 e 1 e 2 1 e 2 1 1 e m a 1 e 2 1 e 2 2 1 e m a e 1 2 1 e displaystyle epsilon mu over a left 1 e 2 over 2 1 e 2 1 over 1 e right mu over a left 1 e 1 e over 2 1 e 2 1 over 1 e right mu over a left 1 e over 2 1 e 2 over 2 1 e right mu over a left e 1 over 2 1 e right dd y finalmente con la ultima simplificacion obtenemos dd ϵ m 2 a displaystyle epsilon mu over 2a dd Para una orbita parabolica esta ecuacion se simplifica a ϵ 0 displaystyle epsilon 0 Para una trayectoria hiperbolica esta energia orbital especifica esta dada por ϵ m 2 a displaystyle epsilon mu over 2a o lo mismo que para una elipse dependiendo de la convencion para el signo de a En este caso la energia orbital especifica tambien se denomina energia caracteristica o C 3 displaystyle C 3 y es igual al exceso de energia especifica en comparacion con la de una orbita parabolica Esta relacionado con la hiperbolica velocidad de exceso v displaystyle v infty la velocidad orbital en el infinito por 2 ϵ C 3 v 2 displaystyle 2 epsilon C 3 v infty 2 Es relevante para misiones interplanetarias Por lo tanto si el vector de posicion orbital r displaystyle mathbf r y el vector de velocidad orbital v displaystyle mathbf v se conocen en una posicion y m displaystyle mu es conocido entonces se puede calcular la energia y a partir de eso para cualquier otra posicion la velocidad orbital Tasa de cambio EditarPara una orbita eliptica la velocidad de cambio de la energia orbital especifica con respecto a un cambio en el eje semieje mayor es m 2 a 2 displaystyle frac mu 2a 2 donde m G m 1 m 2 displaystyle mu G m 1 m 2 es el parametro gravitacional estandar a displaystyle a es el semi eje mayor de la orbita En el caso de las orbitas circulares esta velocidad es la mitad de la gravedad en la orbita Esto corresponde al hecho de que para tales orbitas la energia total es la mitad de la energia potencial porque la energia cinetica es menos la mitad de la energia potencial Energia adicional EditarSi el cuerpo central tiene un radio R entonces la energia adicional de una orbita eliptica en comparacion con estar estacionario en la superficie es m 2 a m R m 2 a R 2 a R displaystyle frac mu 2a frac mu R frac mu 2a R 2aR Para la Tierra y un poco mas que R 2 displaystyle R 2 esto es 2 a R g displaystyle 2a R g la cantidad 2 a R displaystyle 2a R es la altura en que la elipse se extiende por encima de la superficie mas la distancia de periapsis la distancia que la elipse se extiende mas alla del centro de la Tierra los ultimos tiempos g es la energia cinetica de la componente horizontal de la velocidad Ejemplos EditarISS Editar La Estacion Espacial Internacional ISS tiene un periodo orbital de 91 74 minutos por lo que el eje semi mayor es de 6 738 km La energia es 29 6 MJ kg la energia potencial es 59 2 MJ kg y la energia cinetica es de 29 6 MJ kg Compare con la energia potencial en la superficie que es 62 6 MJ kg La energia potencial extra es 3 4 MJ kg la energia extra total es 33 0 MJ kg La velocidad promedio es de 7 7 km s la red Delta v para alcanzar esta orbita es de 8 1 km s el Delta v real es tipicamente de 1 5 2 km s mas para el arrastre atmosferico y el arrastre gravitacional El aumento por metro seria de 4 4 J kg esta tasa corresponde a la mitad de la gravedad local de 8 8 m s Para una altitud de 100 km radio es 6 471 km La energia es 30 8 MJ kg la energia potencial es 61 6 MJ kg y la energia cinetica es 30 8 MJ kg Compare con la energia potencial en la superficie que es 62 6 MJ kg La energia potencial extra es 1 0 MJ kg la energia extra total es 31 8 MJ kg El aumento por metro seria de 4 8 J kg esta tasa corresponde a la mitad de la gravedad local de 9 5 m s La velocidad es de 7 8 km s la red Delta v neta para alcanzar esta orbita es de 8 0 km s Teniendo en cuenta la rotacion de la Tierra el delta v es de hasta 0 46 km s menos comenzando en el ecuador e yendo hacia el este o mas si va hacia el oeste Voyager 1 Editar Para Voyager 1 con respecto al Sol m G M displaystyle mu GM 132 712 440 018 km s 2 es el parametro gravitacional estandar del Sol r 17 mil millones de kilometros v 17 1 km sPor lo tanto ϵ ϵ k ϵ p v 2 2 m r displaystyle epsilon epsilon k epsilon p frac v 2 2 frac mu r 146 km s 2 8 km s 2 138 km s 2Por lo tanto la velocidad excesiva hiperbolica la velocidad orbital teorica en el infinito esta dada por v displaystyle v infty 16 6 km sSin embargo el Voyager 1 no tiene la velocidad suficiente para abandonar la Via Lactea La velocidad calculada se aplica muy lejos del Sol pero en una posicion tal que la energia potencial con respecto a la Via Lactea como un todo ha cambiado de manera insignificante y solo si no hay una interaccion fuerte con cuerpos celestes distintos del Sol Aplicando empuje EditarAsumir a es la aceleracion debida al empuje la tasa de tiempo a la que se gasta delta v g es la fuerza del campo gravitacional v es la velocidad del coheteEntonces la tasa de cambio de tiempo de la energia especifica del cohete es v a displaystyle mathbf v cdot mathbf a una cantidad v a g displaystyle mathbf v cdot mathbf a mathbf g para la energia cinetica y una cantidad v g displaystyle mathbf v cdot mathbf g para la energia potencial El cambio de la energia especifica del cohete por unidad de cambio de Delta v es v a a displaystyle frac mathbf v cdot a mathbf a que es v veces el coseno del angulo entre v y a Por lo tanto cuando se aplica delta v para aumentar la energia orbital especifica esto se hace de manera mas eficiente si a e aplica en la direccion de v y cuando v es largo Si el angulo entre v y g es obtuso por ejemplo en un lanzamiento y en una transferencia a una orbita mas alta esto significa aplicar el delta v tan pronto como sea posible y a plena capacidad Al pasar por un cuerpo celeste significa aplicar empuje cuando esta mas cerca del cuerpo Cuando aumenta gradualmente la orbita eliptica significa aplicar empuje cada vez que esta cerca de la periapsis Al aplicar delta v para disminuir la energia orbital especifica esto se hace de manera mas eficiente si a se aplica en la direccion opuesta a la de v y de nuevo cuando v es largo Si el angulo entre v y g es agudo por ejemplo en un aterrizaje en un cuerpo celeste sin atmosfera y en una transferencia a una orbita circular alrededor de un cuerpo celeste cuando se llega desde el exterior esto significa aplicar el Delta v tan tarde como posible Al pasar por un planeta significa aplicar empuje cuando esta mas cerca del planeta Cuando se hace gradualmente una orbita eliptica mas pequena significa aplicar empuje cada vez que esta cerca de la periapsis Si a va en la direccion de v D ϵ v d D v v a d t displaystyle Delta epsilon int v d Delta v int v adt Velocidades tangenciales en altitud EditarOrbita Distancia de centro a centro Altitud sobre la superficie de la Tierra Velocidad Periodo orbital Energia orbital especificaLa propia rotacion de la Tierra en la superficie para comparacion no una orbita 6 378 km 0 km 465 1 m s 1 674 km h 23h 56min 62 6 MJ kgOrbitando en la superficie de la Tierra ecuador 6 378 km 0 km 7 9 km s 28 440 km h 1h 24min 18sec 31 2 MJ kgOrbita terrestre baja 6 600 8 400 km 200 2 000 km orbita circular 7 8 6 9 km s 28 080 24 840 km h respectivamente orbita eliptica 6 5 8 2 km s respectivamente 1h 29min 2h 8min 29 8 MJ kgRayo de las orbitas 6 900 46 300 km 500 39 900 km 1 5 10 0 km s 5 400 36 000 km h respectivamente 11h 58min 4 7 MJ kgGeoestacionario 42 000 km 35 786 km 3 1 km s 11 600 km h 23h 56min 4 6 MJ kgorbita de la luna 363 000 406 000 km 357 000 399 000 km 0 97 1 08 km s 3 492 3 888 km h respectivamente 27 3 days 0 5 MJ kgVease tambien EditarCambio de energia especifico de los cohetesReferencias Editar Wie Bong 1998 Dinamica orbital Dinamica y control del vehiculo espacial AIAA series educativas Reston Virginia Instituto Americano de Aeronautica y Astronautica p 220 ISBN 1 56347 261 9 Datos Q3725293Obtenido de https es wikipedia org w index php title Energia orbital especifica amp oldid 130831140, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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