Energía cinética rotacional

En el campo de la física, la energía cinética de rotación o energía rotacional es la energía cinética de un cuerpo rígido, que gira en torno a un eje fijo. Esta energía depende del momento de inercia y de la velocidad angular del cuerpo. Mientras más alejada esté la masa del cuerpo respecto al eje de rotación, se necesitará más energía para que el cuerpo adquiera una velocidad angular.

Esto puede ser ilustrado por el siguiente experimento: dos esferas de idéntica masa y radio se colocan sobre un plano inclinado. Una de las esferas esta hecha de un material ligero, como el plástico. Esta esfera es maciza y sólida. La otra esfera, en cambio, es hueca y esta hecha de un material más denso que el plástico. La esfera hueca rodará más lentamente, ya que toda su masa se acumula en una delgada capa, que está a una cierta distancia del eje de rotación. La esfera maciza se moverá más rápidamente, ya que porcentualmente sus partículas se encuentran más cerca del eje de rotación y por lo tanto se moverán más lentamente, puesto que éstas describen una trayectoria más corta que las partículas de la superficie de la esfera.

La energía rotacional es, entre otras cosas, de gran importancia para: turbinas, motores, generadores, neumáticos y ruedas, ejes, hélices.

Momento de inercia

Un cuerpo que rota en torno al eje x con velocidad angular ${\displaystyle \omega }$  posee la energía rotacional:

${\displaystyle E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}I_{x}\omega ^{2}}$ 

Donde:

• ${\displaystyle I_{x}}$ : Momento de inercia del cuerpo en torno al eje x.
• ${\displaystyle \omega }$ : Velocidad angular

En general, esto se puede expresar como:

${\displaystyle E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}^{T}I{\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}I_{\alpha \beta }\omega _{\alpha }\omega _{\beta }}$ 

Donde:

• ${\displaystyle I}$ : Tensor de inercia
• ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ : Velocidad angular

Para calcular la energía de un cuerpo que rota en torno a un eje arbitrario (vector unitario${\displaystyle {\hat {n}}}$ ), la velocidad angular se expresará por sus componentes vectoriales:

${\displaystyle {\vec {\omega }}=\omega {\hat {n}}=\omega \cdot {\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}}$    donde   ${\displaystyle \left|{\hat {n}}\right|=1}$ 

en el cual los componentes de n que representa los componentes de la dirección del eje de x,y y z. La energía de rotación es ahora:

${\displaystyle E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}I_{\alpha \beta }n_{\alpha }n_{\beta }\omega ^{2}={\frac {1}{2}}\theta _{n}\omega ^{2}}$ 

Aquí es ${\displaystyle \theta _{n}}$  el momento de inercia respecto a un eje arbitrario ${\displaystyle {\hat {n}}}$ 

${\displaystyle \theta _{n}=\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}I_{\alpha \beta }n_{\alpha }n_{\beta }}$ 

Ejemplo

Un cuerpo que gira alrededor de la diagonal formada por su superficie xy tiene la siguiente velocidad angular:

${\displaystyle {\vec {\omega }}=\omega {\hat {n}}}$    donde   ${\displaystyle {\hat {n}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}}$ 

En consecuencia, el momento de inercia respecto a este eje:

${\displaystyle \theta _{n}={\hat {n}}^{T}I{\hat {n}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(1,1,0\right)\left({\begin{matrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{12}&I_{22}&I_{23}\\I_{13}&I_{23}&I_{33}\\\end{matrix}}\right){\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{matrix}1\\1\\0\\\end{matrix}}\right)={\frac {1}{2}}I_{11}+I_{12}+{\frac {1}{2}}I_{22}}$ 

Ahora uno obtiene la energía rotacional:

${\displaystyle E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}\theta _{n}\omega ^{2}=\left({\frac {1}{4}}I_{11}+{\frac {1}{2}}I_{12}+{\frac {1}{4}}I_{22}\right)\omega ^{2}}$ 

Momento angular

La energía rotacional se puede expresar a través del momento angular:

${\displaystyle E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {L}}={\frac {{\vec {L}}^{2}}{2I}}}$    donde   ${\displaystyle {\vec {L}}=I\cdot {\vec {\omega }}}$ 

Cabe señalar que, en general, el momento angular y la velocidad angular no son paralelas entre sí (excepto en la rotación alrededor de un eje principal de inercia).

•   Datos: Q2140940