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Movimiento de rotación

Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un punto permanece fijo.

Rotación de la Tierra.

La rotación de un cuerpo se representa mediante un operador que afecta a un conjunto de puntos o vectores. El movimiento rotatorio se representa mediante el vector velocidad angular , que es un vector de carácter deslizante y situado sobre el eje de rotación. Cuando el eje pasa por el centro de masa o de gravedad se dice que el cuerpo «gira sobre sí mismo».

La rotación también puede ser oscilatoria, como en el péndulo (izquierda). Los giros son completos solo cuando la energía es lo suficientemente alta (derecha). El gráfico superior muestra la trayectoria en el espacio fásico.

En ingeniería mecánica, se llama revolución a una rotación completa de una pieza sobre su eje (como en la unidad de revoluciones por minuto), mientras que en astronomía se usa esta misma palabra para referirse al movimiento orbital de traslación de un cuerpo alrededor de otro (como los planetas alrededor del Sol).

Rotación en física

Concepto de rotación y revolución

 
Animación de dos objetos orbitando alrededor de un centro de masas común, ejemplo de revolución.
 
Ejemplo de rotación.
 
Ejemplo de revolución.
 
El movimiento de la estructura de una noría corresponde a un movimiento de rotación. Por el contrario, las barquillas de la noria realizan un movimiento de traslación o revolución con trayectoria circular.

En astronomía es habitual distinguir entre el movimiento de rotación y el de revolución con los siguientes sentidos:

  • La rotación de un cuerpo alrededor de un eje (exterior o interior al cuerpo) corresponde a un movimiento en el que los distintos puntos del cuerpo presentan velocidades que son proporcionales a su distancia al eje. Los puntos del cuerpo situados sobre el eje (en el caso de que este sea interior al cuerpo) permanecen en reposo.
  • La revolución de una partícula o de un cuerpo extenso corresponde a un movimiento de traslación del cuerpo alrededor de otro.

La distinción entre rotación y revolución está asociada con la existente entre rotación y traslación de un cuerpo extenso. Si la velocidad de traslación es constante (v=cte), cada uno de los puntos del sólido recorrerá una trayectoria rectilínea con celeridad constante y todas esas trayectorias serán paralelas entre sí (movimiento de traslación uniforme). Pero, en general, la velocidad de traslación no tiene por qué ser constante y la trayectoria puede ser curvilínea.

Las trayectorias recorridas por los distintos puntos del cuerpo pueden ser circunferencias, todas ellas del mismo radio (congruentes) aunque de distinto centro. Esta situación se presenta en una noria de feria de eje horizontal, como se muestra en la figura: la armadura de la noria gira en torno al eje (rotación), pero las barquillas suspendidas de dicha armadura, prescindiendo de pequeñas oscilaciones pendulares, experimentan una traslación con trayectorias circulares.

Movimiento rotativo

Rotación infinitesimal

En una rotación en un ángulo infinitesimal δθ, se puede tomar cos δθ ≈ 1 y sen δθδθ, de modo que la expresión de la rotación plana pasa a ser:

 

Si se componen dos rotaciones infinitesimales y, por ello, se descartan los términos de orden superior al primero, se comprueba que poseen la propiedad conmutativa, que no tienen las rotaciones tridimensionales finitas.

Matemáticamente el conjunto de las rotaciones infinitesimales en el espacio euclideo forman el álgebra de Lie  , asociada al grupo de Lie SO(3)

Velocidad angular

Dado un sólido rígido que rota alrededor de un eje, la velocidad lineal v de una partícula se puede expresar a partir de la velocidad angular ω:

 

Mientras que la aceleración a es:

 

Si el sólido rígido además de rotar alrededor de un eje tiene un movimiento adicional de traslación con velocidad instantánea V entonces las fórmulas anteriores deben substituirse por:

 

 

Dinámica de rotación

La velocidad angular de rotación está relacionada con el momento angular. Para producir una variación en el momento angular es necesario actuar sobre el sistema con fuerzas que ejerzan un momento de fuerza. La relación entre el momento de las fuerzas que actúan sobre el sólido y la aceleración angular se conoce como momento de inercia (I) y representa la inercia o resistencia del sólido a alterar su movimiento de rotación.

La energía cinética de rotación se escribe:

 

siendo   el tensor momento de inercia. La expresión del teorema del trabajo en movimientos de rotación se puede expresar así:

 

de modo que, la variación de la energía cinética del sólido rígido es igual al producto escalar del momento de las fuerzas por el vector representativo del ángulo girado ( ).

Eje de rotación

Si bien se define la rotación como un movimiento de rotación alrededor de un eje, debe tenerse presente que dicho eje de rotación puede ir cambiando su inclinación a lo largo del tiempo. Así sucede con el eje de rotación terrestre y en general con el eje de rotación de cualquier sólido en rotación que no presente simetría esférica. Para un planeta, o en general cualquier sólido en rotación, sobre el que no actúa un par de fuerza el momento angular se mantiene constante, aunque eso no implica que su eje de rotación sea fijo. Para una peonza simétrica, es decir, un sólido tal que dos de sus momentos de inercia principales sean iguales y el tercero diferente, el eje de rotación gira alrededor de la dirección del momento angular. Los planetas con muy buena aproximación son esferoides achatados en los polos, lo cual los convierte en una peonza simétrica, por esa razón su eje de giro experimenta una rotación conocida como precesión. La velocidad angular de precesión viene dada por el cociente entre el momento angular de rotación y el menor de los momentos de inercia del planeta:

 

El caso de existencia de asimetría axial el planeta es una peonza asimétrica y además el eje de giro puede realizar un movimiento de nutación.

Rotación en matemáticas

Introducción matemática

El tratamiento detallado de las rotaciones ha sido objeto de numerosos trabajos matemáticos, que abordan el problema desde diversos puntos de vista y grados de sofisticación: cuaterniones, matrices, operadores vectoriales, teoría de grupos... Todos estos enfoques son matemáticamente equivalentes y se pueden derivar unos de otros, salvo en algunos aspectos concretos y posibles resultados redundantes, y la elección de uno u otro depende del problema concreto. Con la llegada de la robótica y los gráficos informáticos, la matemática de las rotaciones ha cobrado un nuevo impulso y ha pasado a ser una materia de estudio muy activo, con particular énfasis en el enfoque basado en cuaterniones.

En matemáticas las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las normas (es decir, son isométricas) en espacios vectoriales en los que se ha definido una operación de producto interno y cuya matriz tiene la propiedad de ser ortogonal y de determinante igual a ±1. Si el determinante es +1 se llama rotación propia y si es −1, además de una rotación propia hay una inversión o reflexión y se habla de rotación impropia.[1]

La conservación de la norma es equivalente a la conservación del producto interno, que se puede expresar como:

 

Consecuencia de ella es que las distancias y las formas también se conservan.

Como parámetro que determina la rotación se puede usar un vector (que tiene carácter deslizante) del eje de rotación y de longitud proporcional al ángulo de rotación. Sin embargo, lo normal es separar este vector en el ángulo y un vector unitario, lo que en el espacio da cuatro parámetros.[2]​ Como consecuencia hay dos formas de representar una única rotación, pues

 

Rotaciones en el plano

 
Cambio de base o rotación de un vector.

Sea un vector A en el plano cartesiano definido por sus componentes x e y, descrito vectorialmente a través de sus componentes:

 

La operación de rotación del punto señalado por este vector alrededor de un eje de giro puede siempre escribirse como la acción de un operador lineal (representado por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector:

 

Expresión matricial

En dos dimensiones la matriz de rotación para el vector dado puede escribirse de la manera siguiente:

 

Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos un nuevo vector A' que ha sido rotado en un ángulo   en sentido antihorario:

 

siendo

 
 

las componentes del nuevo vector después de la rotación.

Expresión mediante números complejos

Las rotaciones en el plano pueden tratarse igualmente mediante números complejos, ya que e es una rotación de ángulo a:

   

El grupo de rotaciones en dos dimensiones es isomorfo al grupo de Lie, ortogonal especial SO(2) que a su vez es isomorfo al grupo unitario U(1).

Teorema de rotación de Euler

En matemáticas, el teorema de rotación de Euler dice que cualquier rotación o conjunto de rotaciones sucesivas puede expresarse siempre como una rotación alrededor de una única dirección o eje de rotación principal. De este modo, toda rotación (o conjunto de rotaciones sucesivas) en el espacio tridimensional puede ser especificada a través del eje de rotación equivalente definido vectorialmente por tres parámetros y un cuarto parámetro representativo del ángulo rotado. Generalmente se denominan a estos cuatro parámetros grados de libertad de rotación.

Rotaciones en el espacio

 
Las tres rotaciones planas de los ángulos de Euler. En la primera el eje es z, que apunta hacia arriba y gira los ejes x e y; en la segunda el eje es x, que apunta hacia el frente y que inclina el eje z, y en la última de nuevo el eje es z.

Las rotaciones tridimensionales revisten especial interés práctico por corresponderse con la geometría del espacio físico en que vivimos (naturalmente siempre que se consideren regiones de escala mediana, ya que para distancias grandes la geometría no es estrictamente euclídea). En tres dimensiones conviene distinguir entre las rotaciones planas o rectangulares, que son aquellas en las que el vector rotado y el que determina el eje de giro forman un ángulo recto, y las cónicas, en las que el ángulo entre estos vectores no es recto. Las rotaciones planas son de tratamiento matemático más simple, pues se pueden reducir al caso bidimensional descrito más arriba, mientras que las cónicas son mucho más complejas y por lo general se tratan como una combinación de rotaciones planas (especialmente los ángulos de Euler y los parámetros de Euler-Rodrigues).

Expresión vectorial

La expresión vectorial de las rotaciones cónicas es:

 

donde:

  representan los vectores posición de un punto antes y después de la operación de rotación.
  es un vector unitario que coincide con la dirección de eje de giro.
  es el valor del ángulo girado.
 , denotan respectivamente el producto escalar y el producto vectorial.

Expresiones matriciales

Matricialmente este producto se puede escribir de varias maneras, bien como matriz ortogonal:

   

Donde:

 
 
 

Puede comprobarse con un poco de álgebra rutinaria que la matriz anterior tiene como autovalores:

 

La dirección principal (recta generada por un vector propio) asociaciada al autovalor 1 es precisamente el vector   que da la dirección de eje de giro.

Expresiones vectoriales

Se puede describir el movimiento de rotación cónica con operadores vectoriales que, al contrario que las expresiones matriciales, son independientes de las coordenadas. Así,[3]

 

donde la expresión entre paréntesis funciona como operador y  , de modo que  .[4]​ Hay ciertos casos especiales de este operador:

  •   es una rotación plana de (1/2)π rad. La aplicación sucesiva de este operador da  ,  ,  ,  , etc., con un comportamiento parecido a la unidad imaginaria (i).[5]​ Es un operador hemisimétrico y en coordenadas castesianas su matriz es:

 

  •   es una rotación plana de ángulo θ. Una notación alternativa es   (por similitud con los números complejos). La forma matricial de este operador en los ejes cartesianos principales es particularmente sencilla; por ejemplo, para i es:

 

  •   es una rotación cónica binaria (de π rad). Una rotación cónica arbitraria de ángulo θ se puede representar con dos rotaciones binarias, perpendiculares a   y que forman un ángulo (1/2)θ;[6]​ la manipulación de este par de rotaciones binarias (o, de modo equivalente, de dos reflexiones) se puede tomar como la base para la descripción mediante los parámetros de Euler-Rodrigues. Así, el segundo de estos ejes se obtiene mediante una rotación plana del primero con  , que da los cuatro parámetros:

 

Ángulos de Euler

Mediante los ángulos de Euler se puede representar una rotación cualquiera con una sucesión de tres rotaciones planas alrededor de tres ejes ortogonales. No hay acuerdo sobre los tres ejes concretos y en la literatura científica aparecen diversos convenios; hay, en concreto, 12 posibilidades, pero lo más habitual es que se tomen zyz y zxz. A estos 12 convenios hay que añadir posibles variaciones en el signo, orientación relativa de ejes (horario o antihorario) y punto de vista (operación en vectores o transformación de coordenadas).[7]

Los ángulos de Euler fueron el sistema más popular en los siglos XIX y XX para representar las rotaciones, pues permiten modelizar fácilmente varios sistemas mecánicos, como los trompos, los giroscopios, los barcos y los aviones. En el caso del trompo, los ejes se corresponden con la precesión, la nutación y la rotación. En los aviones se toman como ejes xyz, de modo que se correspondan con el alabeo (o balanceo en barcos), el cabeceo y la guiñada; este convenio específico de ejes se llama también ángulos de navegación o de Tait-Bryan.

Los ángulos de Euler presentan una singularidad cuando el ángulo del segundo giro es 0 o π, pues en tal caso el primer ángulo y el segundo pasan a quedar indefinidos, y solo está definida su suma, si el ángulo es 0. Con ello se pierde un grado de libertad, lo que en los dispositivos mecánicos que combinan varios ejes, como los giroscopios, puede conducir a un bloqueo del sistema, conocido como bloqueo de cardán (en inglés, gimbal lock). Matemáticamente, es posible evitar estas singularidades con sistemas de cuatro parámetros, como los parámetros de Euler-Rodrigues (o cuaterniones).

Parámetros de Euler-Rodrigues y cuaterniones

Los cuaterniones proporcionan un método para representar rotaciones que no presentan singularidades a costa de ser redundantes. Pueden introducirse axiomáticamente o derivarse a partir de rotaciones vectoriales, en especial mediante la construcción de Euler-Rodrigues.[8]

Históricamente, los cuatro parámetros que forman los cuaterniones fueron introducidos de modo independiente y con diferentes tratamientos matemáticos y geométricos por Gauss, Rodrigues y Hamilton, entre otros, aunque aparentemente Euler, a pesar del nombre, los desconocía. Rodrigues llegó a ellos mediante trigonometría esférica como una combinación de reflexiones; Hamilton, poco después, lo formuló de modo axiomático como una extensión de los números complejos. En mecánica cuántica también se llegó a ellos con las matrices de Pauli.

En tres dimensiones existe una construcción similar a la de los números complejos de módulo unidad para representar las rotaciones en el plano. La construcción clave reside en identificar los vectores tridimensionales con números cuaterniónicos con parte real nula, y usar las tres componentes como coeficientes de la parte no real. La rotación se puede representar como un producto conjugado por un cuaternión unitario obtenido por exponenciación de un cuaternión igual al producto del ángulo girado por el cuaternión que representa al eje de giro.

Dado un vector tridimensional   rerepsentable como un número cuaterniónico con parte real nula, y una rotación tridimensional dada por un giro   en torno al eje   se puede representar el vector girado resultante como:

 

Este enfoque está relacionado con el álgebra geométrica y los vectores i, j y k siguen las reglas algebraicas de los cuaterniones (i2 = −1, etc.). El producto de dos rotaciones viene dado, en términos de vectores ordinarios, por:[9]

 

donde [a, b] representa un cuaternión con parte real a y parte no real b.

Teoría de grupos

 
Una rotación de un sexto de vuelta completa (2π/6) alrededor de un eje que atraviesa la pantalla deja igual la molécula de benceno, por lo que hay una simetría rotacional (entre otras).

En teoría de grupos, la rotación es una de las posibles transformaciones que se pueden aplicar a un sistema o una figura geométrica, que permiten determinar la simetría de redes cristalográficas, orbitales atómicos y moléculas, y por tanto parte de sus propiedades físico-químicas. Otras tranformaciones son la traslación, la reflexión y la inversión.

Rotaciones frente a traslaciones

En mecánica se demuestra que el movimiento del sólido rígido se puede descomponer en una rotación y una traslación. Ambas trasformaciones son isométricas, como corresponde al hecho de que el sólido es rígido, pero en la rotación, al contrario que en la traslación, hay al menos un punto fijo. El conjunto de estas transformaciones forma un grupo llamado grupo euclidiano que es el grupo de isometría del espacio euclidiano tridimensional. Cada elemento g de este grupo euclidiano se puede representar de manera única como:[10]

 

donde R es una matriz de 3x3 que representa una rotación y d las componentes del vector de tres componentes que representa el desplazamiento. Por tanto esta manera de representar el grupo es una representación lineal sobre un espacio vectorial de dimensión cuatro.

Rotaciones frente a reflexiones e inversiones

Estas tres transformaciones se llaman tranformaciones puntales pues dejan un punto fijo, y están estrechamente relacionadas. Así, dos reflexiones según dos planos equivalen a una rotación.

La composición de dos rotaciones tridimensionales es otra rotación, por lo que estas forman un grupo, llamado O(3) y que incluye las reflexiones. Las rotaciones propias son un subgrupo, llamado SO(3), pero no las rotaciones impropias, pues dos de ellas equivalen a una rotación propia.

Percepción de las rotaciones

 
Resultado.
 
Imagen original de la composición.

La imagen muestra un artificio para crear la ilusión de una rotación en 3D a partir de una imagen en 2D. Está formada por partes restringidas una detrás de otra, de modo que nuestro cerebro interpreta como una rotación de acuerdo a los datos que sobre el objeto (la cabeza) retiene nuestra memoria.

Véase también

Referencias

  1. Simon L. Altmann, Rotations, quaternions, and double groups, New York, Dover, 2005, p. 52
  2. Altmann, p 65
  3. Donald H. Menzel, Mathematical Physics, New York, Dover, 1961, p. 90 (la notación es algo distinta)
  4. Jerrold E. Marsden, Tudor S. Ratiu, Introduction to Mechanics and Symmetry, Springer, 2010, p. 289 (la notación es algo distinta).
  5. J. Willard Gibbs, Edwin Bidwell Wilson, Vector Analysis, New Haven, Yale Univ. Press, 1947, p. 299
  6. Gibbs, Wilson, p. 343-344
  7. Granino A. Korn, Theresa M. Korn, Mathematical handbook for scientists and engineers, New York, Dover, 2000, p. 476-478
  8. Simon L. Altmann, Rotations, quaternions, and double groups, New York, Dover, 2005, p. 155-159
  9. Altamann, p. 203
  10. Marsden, Ratio, p.649

Bibliografía

  •   Datos: Q107617
  •   Multimedia: Rotation

movimiento, rotación, para, otros, usos, este, término, véanse, rotación, cultivos, rotación, estelar, para, movimiento, hace, tierra, girar, véase, rotación, tierra, para, cambio, coordenadas, implica, giro, véase, rotación, matemáticas, rotación, movimiento,. Para otros usos de este termino veanse Rotacion de cultivos y Rotacion estelar Para el movimiento que hace la Tierra al girar vease Rotacion de la Tierra Para el cambio de coordenadas que implica un giro vease Rotacion matematicas Rotacion es el movimiento de cambio de orientacion de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una linea llamada eje de rotacion o un punto permanece fijo Rotacion de la Tierra La rotacion de un cuerpo se representa mediante un operador que afecta a un conjunto de puntos o vectores El movimiento rotatorio se representa mediante el vector velocidad angular w displaystyle boldsymbol omega que es un vector de caracter deslizante y situado sobre el eje de rotacion Cuando el eje pasa por el centro de masa o de gravedad se dice que el cuerpo gira sobre si mismo La rotacion tambien puede ser oscilatoria como en el pendulo izquierda Los giros son completos solo cuando la energia es lo suficientemente alta derecha El grafico superior muestra la trayectoria en el espacio fasico En ingenieria mecanica se llama revolucion a una rotacion completa de una pieza sobre su eje como en la unidad de revoluciones por minuto mientras que en astronomia se usa esta misma palabra para referirse al movimiento orbital de traslacion de un cuerpo alrededor de otro como los planetas alrededor del Sol Indice 1 Rotacion en fisica 1 1 Concepto de rotacion y revolucion 1 2 Movimiento rotativo 1 2 1 Rotacion infinitesimal 1 2 2 Velocidad angular 1 3 Dinamica de rotacion 1 4 Eje de rotacion 2 Rotacion en matematicas 2 1 Introduccion matematica 2 2 Rotaciones en el plano 2 2 1 Expresion matricial 2 2 2 Expresion mediante numeros complejos 2 3 Teorema de rotacion de Euler 2 4 Rotaciones en el espacio 2 4 1 Expresion vectorial 2 4 2 Expresiones matriciales 2 4 3 Expresiones vectoriales 2 4 4 Angulos de Euler 2 4 5 Parametros de Euler Rodrigues y cuaterniones 2 5 Teoria de grupos 2 5 1 Rotaciones frente a traslaciones 2 5 2 Rotaciones frente a reflexiones e inversiones 3 Percepcion de las rotaciones 4 Vease tambien 5 Referencias 5 1 BibliografiaRotacion en fisica EditarConcepto de rotacion y revolucion Editar Animacion de dos objetos orbitando alrededor de un centro de masas comun ejemplo de revolucion Ejemplo de rotacion Ejemplo de revolucion El movimiento de la estructura de una noria corresponde a un movimiento de rotacion Por el contrario las barquillas de la noria realizan un movimiento de traslacion o revolucion con trayectoria circular En astronomia es habitual distinguir entre el movimiento de rotacion y el de revolucion con los siguientes sentidos La rotacion de un cuerpo alrededor de un eje exterior o interior al cuerpo corresponde a un movimiento en el que los distintos puntos del cuerpo presentan velocidades que son proporcionales a su distancia al eje Los puntos del cuerpo situados sobre el eje en el caso de que este sea interior al cuerpo permanecen en reposo La orientacion del cuerpo en el espacio cambia continuamente durante la traslacion Un ejemplo de rotacion es el de la Tierra alrededor de su propio eje de rotacion con un periodo de rotacion de un dia sidereo La revolucion de una particula o de un cuerpo extenso corresponde a un movimiento de traslacion del cuerpo alrededor de otro Un ejemplo de revolucion es el de la Tierra alrededor del Sol con un periodo de revolucion de un ano La distincion entre rotacion y revolucion esta asociada con la existente entre rotacion y traslacion de un cuerpo extenso Si la velocidad de traslacion es constante v cte cada uno de los puntos del solido recorrera una trayectoria rectilinea con celeridad constante y todas esas trayectorias seran paralelas entre si movimiento de traslacion uniforme Pero en general la velocidad de traslacion no tiene por que ser constante y la trayectoria puede ser curvilinea Las trayectorias recorridas por los distintos puntos del cuerpo pueden ser circunferencias todas ellas del mismo radio congruentes aunque de distinto centro Esta situacion se presenta en una noria de feria de eje horizontal como se muestra en la figura la armadura de la noria gira en torno al eje rotacion pero las barquillas suspendidas de dicha armadura prescindiendo de pequenas oscilaciones pendulares experimentan una traslacion con trayectorias circulares Movimiento rotativo Editar Articulo principal Movimiento rotativo Rotacion infinitesimal Editar En una rotacion en un angulo infinitesimal d8 se puede tomar cos d8 1 y sen d8 d8 de modo que la expresion de la rotacion plana pasa a ser r r d 8 u r displaystyle mathbf r mathbf r delta theta mathbf u times mathbf r Si se componen dos rotaciones infinitesimales y por ello se descartan los terminos de orden superior al primero se comprueba que poseen la propiedad conmutativa que no tienen las rotaciones tridimensionales finitas Matematicamente el conjunto de las rotaciones infinitesimales en el espacio euclideo forman el algebra de Lie s o 3 displaystyle mathfrak so 3 asociada al grupo de Lie SO 3 Velocidad angular Editar Articulo principal Cinematica del solido rigido Dado un solido rigido que rota alrededor de un eje la velocidad lineal v de una particula se puede expresar a partir de la velocidad angular w v d r d t w r displaystyle mathbf v frac d mathbf r dt boldsymbol omega times mathbf r Mientras que la aceleracion a es a d v d t a r w w r displaystyle mathbf a frac d mathbf v dt boldsymbol alpha times mathbf r boldsymbol omega times boldsymbol omega times mathbf r Si el solido rigido ademas de rotar alrededor de un eje tiene un movimiento adicional de traslacion con velocidad instantanea V entonces las formulas anteriores deben substituirse por v d r d t w r V displaystyle mathbf v frac d mathbf r dt boldsymbol omega times mathbf r mathbf V a d v d t a r w w r 2 w V d V d t displaystyle mathbf a frac d mathbf v dt boldsymbol alpha times mathbf r boldsymbol omega times boldsymbol omega times mathbf r 2 boldsymbol omega times mathbf V frac d mathbf V dt Dinamica de rotacion Editar La velocidad angular de rotacion esta relacionada con el momento angular Para producir una variacion en el momento angular es necesario actuar sobre el sistema con fuerzas que ejerzan un momento de fuerza La relacion entre el momento de las fuerzas que actuan sobre el solido y la aceleracion angular se conoce como momento de inercia I y representa la inercia o resistencia del solido a alterar su movimiento de rotacion La energia cinetica de rotacion se escribe E c 1 2 w I w displaystyle E c frac 1 2 boldsymbol omega cdot mathbf I boldsymbol omega siendo I displaystyle scriptstyle mathbf I el tensor momento de inercia La expresion del teorema del trabajo en movimientos de rotacion se puede expresar asi D E c M D 8 displaystyle Delta E c mathbf M cdot Delta boldsymbol theta de modo que la variacion de la energia cinetica del solido rigido es igual al producto escalar del momento de las fuerzas por el vector representativo del angulo girado D 8 displaystyle Delta theta Eje de rotacion Editar Si bien se define la rotacion como un movimiento de rotacion alrededor de un eje debe tenerse presente que dicho eje de rotacion puede ir cambiando su inclinacion a lo largo del tiempo Asi sucede con el eje de rotacion terrestre y en general con el eje de rotacion de cualquier solido en rotacion que no presente simetria esferica Para un planeta o en general cualquier solido en rotacion sobre el que no actua un par de fuerza el momento angular se mantiene constante aunque eso no implica que su eje de rotacion sea fijo Para una peonza simetrica es decir un solido tal que dos de sus momentos de inercia principales sean iguales y el tercero diferente el eje de rotacion gira alrededor de la direccion del momento angular Los planetas con muy buena aproximacion son esferoides achatados en los polos lo cual los convierte en una peonza simetrica por esa razon su eje de giro experimenta una rotacion conocida como precesion La velocidad angular de precesion viene dada por el cociente entre el momento angular de rotacion y el menor de los momentos de inercia del planeta ϕ p r e c L I min displaystyle dot phi prec frac L I min El caso de existencia de asimetria axial el planeta es una peonza asimetrica y ademas el eje de giro puede realizar un movimiento de nutacion Rotacion en matematicas EditarIntroduccion matematica Editar El tratamiento detallado de las rotaciones ha sido objeto de numerosos trabajos matematicos que abordan el problema desde diversos puntos de vista y grados de sofisticacion cuaterniones matrices operadores vectoriales teoria de grupos Todos estos enfoques son matematicamente equivalentes y se pueden derivar unos de otros salvo en algunos aspectos concretos y posibles resultados redundantes y la eleccion de uno u otro depende del problema concreto Con la llegada de la robotica y los graficos informaticos la matematica de las rotaciones ha cobrado un nuevo impulso y ha pasado a ser una materia de estudio muy activo con particular enfasis en el enfoque basado en cuaterniones En matematicas las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las normas es decir son isometricas en espacios vectoriales en los que se ha definido una operacion de producto interno y cuya matriz tiene la propiedad de ser ortogonal y de determinante igual a 1 Si el determinante es 1 se llama rotacion propia y si es 1 ademas de una rotacion propia hay una inversion o reflexion y se habla de rotacion impropia 1 La conservacion de la norma es equivalente a la conservacion del producto interno que se puede expresar como R a R b a b displaystyle mathcal R mathbf a cdot mathcal R mathbf b mathbf a cdot mathbf b Consecuencia de ella es que las distancias y las formas tambien se conservan Como parametro que determina la rotacion se puede usar un vector que tiene caracter deslizante del eje de rotacion y de longitud proporcional al angulo de rotacion Sin embargo lo normal es separar este vector en el angulo y un vector unitario lo que en el espacio da cuatro parametros 2 Como consecuencia hay dos formas de representar una unica rotacion pues R 8 a R 8 a displaystyle mathcal R theta mathbf a mathcal R theta mathbf a Rotaciones en el plano Editar Cambio de base o rotacion de un vector Sea un vector A en el plano cartesiano definido por sus componentes x e y descrito vectorialmente a traves de sus componentes A A x A y displaystyle mathbf A begin bmatrix A x A y end bmatrix La operacion de rotacion del punto senalado por este vector alrededor de un eje de giro puede siempre escribirse como la accion de un operador lineal representado por una matriz actuando sobre el vector multiplicando al vector R A A displaystyle mathcal R mathbf A mathbf A Expresion matricial Editar En dos dimensiones la matriz de rotacion para el vector dado puede escribirse de la manera siguiente R cos 8 sin 8 sin 8 cos 8 displaystyle mathcal R begin bmatrix cos theta amp sin theta sin theta amp cos theta end bmatrix Al hacer la aplicacion del operador es decir al multiplicar la matriz por el vector obtendremos un nuevo vector A que ha sido rotado en un angulo 8 displaystyle theta en sentido antihorario cos 8 sin 8 sin 8 cos 8 A x A y A x A y displaystyle begin bmatrix cos theta amp sin theta sin theta amp cos theta end bmatrix begin bmatrix A x A y end bmatrix begin bmatrix A x A y end bmatrix siendo A x A x cos 8 A y sin 8 displaystyle A x A x cos theta A y sin theta A y A x sin 8 A y cos 8 displaystyle A y A x sin theta A y cos theta las componentes del nuevo vector despues de la rotacion Expresion mediante numeros complejos Editar Las rotaciones en el plano pueden tratarse igualmente mediante numeros complejos ya que eia es una rotacion de angulo a x y R 2 x i y r e i ϕ C r o t z e i a r e i ϕ R e z I m z y r cos ϕ a r sin ϕ a R 2 displaystyle x y in mathbb R 2 rightarrow x iy rho e i phi in mathbb C xrightarrow mathrm rot z e i alpha rho e i phi rightarrow mathrm Re z mathrm Im z y rho cos phi alpha rho sin phi alpha in mathbb R 2 r cos ϕ a 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y gira los ejes x e y en la segunda el eje es x que apunta hacia el frente y que inclina el eje z y en la ultima de nuevo el eje es z Las rotaciones tridimensionales revisten especial interes practico por corresponderse con la geometria del espacio fisico en que vivimos naturalmente siempre que se consideren regiones de escala mediana ya que para distancias grandes la geometria no es estrictamente euclidea En tres dimensiones conviene distinguir entre las rotaciones planas o rectangulares que son aquellas en las que el vector rotado y el que determina el eje de giro forman un angulo recto y las conicas en las que el angulo entre estos vectores no es recto Las rotaciones planas son de tratamiento matematico mas simple pues se pueden reducir al caso bidimensional descrito mas arriba mientras que las conicas son mucho mas complejas y por lo general se tratan como una combinacion de rotaciones planas especialmente los angulos de Euler y los parametros de Euler Rodrigues Expresion vectorial Editar La expresion vectorial de las rotaciones conicas es r r cos 8 u r sin 8 u u r 1 cos 8 displaystyle mathbf r mathbf r cos theta mathbf u times mathbf r sin theta mathbf u mathbf u cdot mathbf r 1 cos theta donde r r displaystyle mathbf r mathbf r representan los vectores posicion de un punto antes y despues de la operacion de rotacion u displaystyle mathbf u es un vector unitario que coincide con la direccion de eje de giro 8 0 2 p displaystyle theta in 0 2 pi es el valor del angulo girado displaystyle cdot times denotan respectivamente el producto escalar y el producto vectorial Expresiones matriciales Editar Matricialmente este producto se puede escribir de varias maneras bien como matriz ortogonal r R 8 u r displaystyle mathbf r mathcal R theta mathbf u mathbf r quad Leftrightarrow quad x y z C 2 S 2 u x 2 u y 2 u z 2 2 S S u x u y C u z 2 S S u x u z C u y 2 S S u x u y C u z C 2 S 2 u y 2 u x 2 u z 2 2 S S u y u z C u x 2 S S u x u z C u y 2 S S u y u z C u x C 2 S 2 u z 2 u x 2 u y 2 x y z displaystyle begin bmatrix x y z end bmatrix begin bmatrix C 2 S 2 u x 2 u y 2 u z 2 amp 2S Su x u y Cu z amp 2S Su x u z Cu y 2S Su x u y Cu z amp C 2 S 2 u y 2 u x 2 u z 2 amp 2S Su y u z Cu x 2S Su x u z Cu y amp 2S Su y u z Cu x amp C 2 S 2 u z 2 u x 2 u y 2 end bmatrix begin bmatrix x y z end bmatrix Donde r x y z r x y z displaystyle mathbf r x y z mathbf r x y z u u x u y u z displaystyle mathbf u u x u y u z C cos 8 2 S sin 8 2 displaystyle C cos theta 2 S sin theta 2 Puede comprobarse con un poco de algebra rutinaria que la matriz anterior tiene como autovalores 1 C i S C i S 1 e i 8 e i 8 displaystyle 1 C iS C iS 1 e i theta e i theta La direccion principal recta generada por un vector propio asociaciada al autovalor 1 es precisamente el vector u displaystyle scriptstyle mathbf u que da la direccion de eje de giro Expresiones vectoriales Editar Se puede describir el movimiento de rotacion conica con operadores vectoriales que al contrario que las expresiones matriciales son independientes de las coordenadas Asi 3 r 1 cos 8 u u cos 8 s e n 8 u r displaystyle mathbf r 1 cos theta mathbf uu cos theta mathop mathrm sen theta tilde mathbf u cdot mathbf r donde la expresion entre parentesis funciona como operador y u I u displaystyle tilde mathbf u mathbf I times mathbf u de modo que u r u r displaystyle tilde mathbf u cdot mathbf r mathbf u times mathbf r 4 Hay ciertos casos especiales de este operador u displaystyle tilde mathbf u es una rotacion plana de 1 2 p rad La aplicacion sucesiva de este operador da u 2 1 displaystyle tilde mathbf u 2 1 u 3 u displaystyle tilde mathbf u 3 tilde mathbf u u 4 1 displaystyle tilde mathbf u 4 1 u 5 u displaystyle tilde mathbf u 5 tilde mathbf u etc con un comportamiento parecido a la unidad imaginaria i 5 Es un operador hemisimetrico y en coordenadas castesianas su matriz es 0 u z u y u z 0 u x u y u x 0 displaystyle begin pmatrix 0 amp u z amp u y u z amp 0 amp u x u y amp u x amp 0 end pmatrix cos 8 sin 8 u displaystyle cos theta sin theta tilde mathbf u es una rotacion plana de angulo 8 Una notacion alternativa es e u 8 displaystyle mathrm e tilde mathbf u theta por similitud con los numeros complejos La forma matricial de este operador en los ejes cartesianos principales es particularmente sencilla por ejemplo para i es R 1 0 0 0 cos 8 sin 8 0 sin 8 cos 8 displaystyle mathcal R begin bmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp cos theta amp sin theta 0 amp sin theta amp cos theta end bmatrix 2 u u 1 displaystyle 2 mathbf uu 1 es una rotacion conica binaria de p rad Una rotacion conica arbitraria de angulo 8 se puede representar con dos rotaciones binarias perpendiculares a u displaystyle mathbf u y que forman un angulo 1 2 8 6 la manipulacion de este par de rotaciones binarias o de modo equivalente de dos reflexiones se puede tomar como la base para la descripcion mediante los parametros de Euler Rodrigues Asi el segundo de estos ejes se obtiene mediante una rotacion plana del primero con cos 1 2 8 s e n 1 2 8 u displaystyle cos frac 1 2 theta mathop mathrm sen frac 1 2 theta tilde mathbf u que da los cuatro parametros l u x s e n 8 2 m u y sin 8 2 n u z sin 8 2 r cos 8 2 displaystyle lambda u x mathop mathrm sen theta 2 qquad mu u y sin theta 2 qquad nu u z sin theta 2 qquad rho cos theta 2 Angulos de Euler Editar Articulo principal Angulos de Euler Mediante los angulos de Euler se puede representar una rotacion cualquiera con una sucesion de tres rotaciones planas alrededor de tres ejes ortogonales No hay acuerdo sobre los tres ejes concretos y en la literatura cientifica aparecen diversos convenios hay en concreto 12 posibilidades pero lo mas habitual es que se tomen zyz y zxz A estos 12 convenios hay que anadir posibles variaciones en el signo orientacion relativa de ejes horario o antihorario y punto de vista operacion en vectores o transformacion de coordenadas 7 Los angulos de Euler fueron el sistema mas popular en los siglos XIX y XX para representar las rotaciones pues permiten modelizar facilmente varios sistemas mecanicos como los trompos los giroscopios los barcos y los aviones En el caso del trompo los ejes se corresponden con la precesion la nutacion y la rotacion En los aviones se toman como ejes xyz de modo que se correspondan con el alabeo o balanceo en barcos el cabeceo y la guinada este convenio especifico de ejes se llama tambien angulos de navegacion o de Tait Bryan Los angulos de Euler presentan una singularidad cuando el angulo del segundo giro es 0 o p pues en tal caso el primer angulo y el segundo pasan a quedar indefinidos y solo esta definida su suma si el angulo es 0 Con ello se pierde un grado de libertad lo que en los dispositivos mecanicos que combinan varios ejes como los giroscopios puede conducir a un bloqueo del sistema conocido como bloqueo de cardan en ingles gimbal lock Matematicamente es posible evitar estas singularidades con sistemas de cuatro parametros como los parametros de Euler Rodrigues o cuaterniones Parametros de Euler Rodrigues y cuaterniones Editar Los cuaterniones proporcionan un metodo para representar rotaciones que no presentan singularidades a costa de ser redundantes Pueden introducirse axiomaticamente o derivarse a partir de rotaciones vectoriales en especial mediante la construccion de Euler Rodrigues 8 Historicamente los cuatro parametros que forman los cuaterniones fueron introducidos de modo independiente y con diferentes tratamientos matematicos y geometricos por Gauss Rodrigues y Hamilton entre otros aunque aparentemente Euler a pesar del nombre los desconocia Rodrigues llego a ellos mediante trigonometria esferica como una combinacion de reflexiones Hamilton poco despues lo formulo de modo axiomatico como una extension de los numeros complejos En mecanica cuantica tambien se llego a ellos con las matrices de Pauli En tres dimensiones existe una construccion similar a la de los numeros complejos de modulo unidad para representar las rotaciones en el plano La construccion clave reside en identificar los vectores tridimensionales con numeros cuaternionicos con parte real nula y usar las tres componentes como coeficientes de la parte no real La rotacion se puede representar como un producto conjugado por un cuaternion unitario obtenido por exponenciacion de un cuaternion igual al producto del angulo girado por el cuaternion que representa al eje de giro Dado un vector tridimensional v displaystyle scriptstyle mathbf v rerepsentable como un numero cuaternionico con parte real nula y una rotacion tridimensional dada por un giro a displaystyle scriptstyle alpha en torno al eje n displaystyle scriptstyle mathbf n se puede representar el vector girado resultante como v R 3 v 0 v x i v y j v z k H v R n a v e a n x i n y j n z k 2 v e a n x i n y j n z k 2 displaystyle begin cases mathbf v in mathbb R 3 mapsto v 0 v x mathbf i v y mathbf j v z mathbf k in mathbb H mathbf v R mathbf n alpha mathbf v mapsto e alpha n x mathbf i n y mathbf j n z mathbf k 2 cdot v cdot e alpha n x mathbf i n y mathbf j n z mathbf k 2 end cases Este enfoque esta relacionado con el algebra geometrica y los vectores i j y k siguen las reglas algebraicas de los cuaterniones i2 1 etc El producto de dos rotaciones viene dado en terminos de vectores ordinarios por 9 0 A 0 B A B A B displaystyle 0 mathbf A 0 mathbf B mathbf A cdot mathbf B mathbf A times mathbf B donde a b representa un cuaternion con parte real a y parte no real b Teoria de grupos Editar Una rotacion de un sexto de vuelta completa 2p 6 alrededor de un eje que atraviesa la pantalla deja igual la molecula de benceno por lo que hay una simetria rotacional entre otras En teoria de grupos la rotacion es una de las posibles transformaciones que se pueden aplicar a un sistema o una figura geometrica que permiten determinar la simetria de redes cristalograficas orbitales atomicos y moleculas y por tanto parte de sus propiedades fisico quimicas Otras tranformaciones son la traslacion la reflexion y la inversion Rotaciones frente a traslaciones Editar En mecanica se demuestra que el movimiento del solido rigido se puede descomponer en una rotacion y una traslacion Ambas trasformaciones son isometricas como corresponde al hecho de que el solido es rigido pero en la rotacion al contrario que en la traslacion hay al menos un punto fijo El conjunto de estas transformaciones forma un grupo llamado grupo euclidiano que es el grupo de isometria del espacio euclidiano tridimensional Cada elemento g de este grupo euclidiano se puede representar de manera unica como 10 g R d 0 1 G L 4 R displaystyle g to begin pmatrix R amp mathbf d mathbf 0 amp 1 end pmatrix in mathrm GL 4 mathbb R donde R es una matriz de 3x3 que representa una rotacion y d las componentes del vector de tres componentes que representa el desplazamiento Por tanto esta manera de representar el grupo es una representacion lineal sobre un espacio vectorial de dimension cuatro Rotaciones frente a reflexiones e inversiones Editar Estas tres transformaciones se llaman tranformaciones puntales pues dejan un punto fijo y estan estrechamente relacionadas Asi dos reflexiones segun dos planos equivalen a una rotacion La composicion de dos rotaciones tridimensionales es otra rotacion por lo que estas forman un grupo llamado O 3 y que incluye las reflexiones Las rotaciones propias son un subgrupo llamado SO 3 pero no las rotaciones impropias pues dos de ellas equivalen a una rotacion propia Percepcion de las rotaciones Editar Resultado Imagen original de la composicion La imagen muestra un artificio para crear la ilusion de una rotacion en 3D a partir de una imagen en 2D Esta formada por partes restringidas una detras de otra de modo que nuestro cerebro interpreta como una rotacion de acuerdo a los datos que sobre el objeto la cabeza retiene nuestra memoria Vease tambien EditarTraslacion geometria Cinematica del solido rigido Movimientos de la Tierra Nutacion Precesion Traslacion de la Tierra Bamboleo de Chandler Movimiento circular Desplazamiento angular Anexo Datos de los planetas del Sistema SolarReferencias Editar Simon L Altmann Rotations quaternions and double groups New York Dover 2005 p 52 Altmann p 65 Donald H Menzel Mathematical Physics New York Dover 1961 p 90 la notacion es algo distinta Jerrold E Marsden Tudor S Ratiu Introduction to Mechanics and Symmetry Springer 2010 p 289 la notacion es algo distinta J Willard Gibbs Edwin Bidwell Wilson Vector Analysis New Haven Yale Univ Press 1947 p 299 Gibbs Wilson p 343 344 Granino A Korn Theresa M Korn Mathematical handbook for scientists and engineers New York Dover 2000 p 476 478 Simon L Altmann Rotations quaternions and double groups New York Dover 2005 p 155 159 Altamann p 203 Marsden Ratio p 649 Bibliografia Editar Hazewinkel Michiel ed 2001 Rotation Encyclopedia of Mathematics Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Datos Q107617 Multimedia RotationObtenido de https es wikipedia org w index php title Movimiento de rotacion amp oldid 137880000, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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