Ecuaciones de Euler (fluidos)

Esta página trata sobre el flujo de fluidos compresibles. Mas ecuaciones de Euler en la Wikipedia en Ecuaciones de Euler.

En dinámica de fluidos, las ecuaciones de Euler son las que describen el movimiento de un fluido compresible no viscoso. Su expresión corresponde a las ecuaciones de Navier-Stokes cuando las componentes disipativas son despreciables frente a las convectivas, esto nos lleva a las siguientes condiciones que se pueden deducir a través del análisis de magnitudes de las Navier-Stokes:

${\displaystyle Re={\frac {\rho _{0}U_{0}L_{0}}{\mu }}\gg 1}$

Aunque habitualmente se expresan en la forma mostrada en este artículo dado que de este modo se enfatiza el hecho de que representan directamente la conservación de masa, momento y energía. Estas ecuaciones se llaman así en honor de Leonhard Euler quien las dedujo directamente de las leyes de Newton (para el caso no-relativista).

Mecánica clásica

Este sección contempla las connotaciones aplicables a la mecánica clásica; para fluidos compresibles con velocidades próximas a la velocidad de la luz se debe consultar ecuaciones relativistas de Euler.

Aunque formalmente las ecuaciones de Euler se reducen a flujo irrotacional en el límite de desaparición del número de Mach (es decir para números de Mach muy pequeños), esto no es útil en la práctica, debido esencialmente a que la aproximación de incompresibilidad no resta exactitud a los cálculos. La expresión diferencial de estas ecuaciones es la siguiente:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$ 

${\displaystyle {\partial (\rho {\mathbf {u} }) \over \partial t}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )(\rho \mathbf {u} )+\nabla p=0}$ 

${\displaystyle {\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0}$ 

donde ${\displaystyle E=\rho e+\rho (u^{2}+v^{2}+w^{2})/2}$  es la energía total por unidad de volumen (${\displaystyle e}$  es la energía interna por unidad de masa para el fluido), ${\displaystyle p}$  es la presión, ${\displaystyle u}$  la velocidad del fluido y ${\displaystyle \rho }$  la densidad del fluido. La segunda ecuación incluye la divergencia de un tensor diádico y puede quedar más clara de acuerdo a la siguiente notación:

${\displaystyle {\partial (\rho u_{j}) \over \partial t}+\sum _{i}u_{i}{\partial \rho u_{j} \over \partial x_{i}}+{\partial p \over \partial x_{j}}=0}$ 

Nótese que las ecuaciones anteriores están expresadas en forma de conservación o equilibrio, dado que con esta forma se enfatiza su origen físico (y es además en gran medida la más conveniente para la simulación computacional de la dinámica de fluidos). El componente del momento de las ecuaciones de Euler se expresa del siguiente modo:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \right){\mathbf {u} }+\nabla p=0}$ 

aunque esta forma oculta la conexión directa existente entre las ecuaciones de Euler y la segunda ley de Newton (en particular, no es claramente intuitivo por qué esta ecuación es correcta y ${\displaystyle \left(\partial /{\partial t}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \right)(\rho {\mathbf {u} })+\nabla p=0}$  no lo es). En formato vectorial las ecuaciones de Euler quedan expresadas del siguiente modo:

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}+{\frac {\partial H}{\partial z}}=0}$ 

donde

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}\rho \\\rho u\\\rho v\\\rho w\\E\end{pmatrix}}\qquad F={\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^{2}\\\rho uv\\\rho uw\\u(E+p)\end{pmatrix}}\qquad G={\begin{pmatrix}\rho v\\\rho uv\\p+\rho v^{2}\\\rho vw\\v(E+p)\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}\rho w\\\rho uw\\\rho vw\\p+\rho w^{2}\\w(E+p)\end{pmatrix}}.\qquad }$ 

Esta forma deja más claro que ${\displaystyle F,G,H}$  son caudales.

Las ecuaciones anteriores representan por tanto la conservación de la masa, los tres componentes del momento y la energía. Hay por tanto cinco ecuaciones y seis incógnitas ${\displaystyle (\rho ,u,v,w,E,p)}$ . Para cerrar el sistema se necesita una ecuación de estado; la ecuación de estado más comúnmente utilizada es la ley de los gases ideales ( p.e. ${\displaystyle p=\rho (\gamma -1)e}$  ).

Una característica muy importante de las Ecuaciones de Euler es que debido a que proceden de una reducción de las Ecuaciones de Navier-Stokes despreciando los términos provenientes de los términos disipativos como hemos dicho al principio, estamos eliminando en las ecuaciones los términos en derivadas parciales de mayor grado: ${\displaystyle \nabla {\overline {\tau }}}$  en la Ecuación de la Cantidad de movimiento así como ${\displaystyle \nabla (K\nabla T)}$  y ${\displaystyle \tau ':\nabla v}$  de la Ecuación de la Energía, estas ecuaciones no podrán cumplir con todas las condiciones de contorno naturales. En particular no cumplen con la condición de no deslizamiento en las superficies de contacto con sólidos o la condición de continuidad de la temperatura, estas discontinuidades carecen de importancia para muchas aplicaciones pero no para otras lo que conlleva a tratar en esas discontinuidades con otras ecuaciones que finalmente conllevarían a temas muy profusos dentro de esta disciplina como es la Teoría de la Capa Límite. Por último hay que decir que en flujos supersónicos se producen otras discontinuidades en estas ecuaciones como son las Ondas de Choque o las Ondas de Mach.

Nótese la desigual forma para la ecuación de la energía; ver la ecuación de Rankine-Hugoniot. Los términos adicionales que contienen la expresión p (presión) pueden ser interpretados como el trabajo mecánico realizado por el fluido en un elemento de fluido por los elementos fluidos próximos que se mueven alrededor. Estos términos suman cero en un fluido incompresible.

La más conocida ecuación de Bernoulli puede ser obtenida integrando la ecuación de Euler a través de una línea de corriente (líneas a las que la velocidad del fluido es tangente en cada punto) asumiendo que la densidad es constante y con una ecuación de estado adecuada.

Mecánica relativista

La generalización al caso relativista de las ecuaciones de Euler parte de la ley de conservación del tensor energía-impulso. Usando el convenio de sumación de Einstein dicha ley de conservación viene dada por:

(*)${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0}$ 

Donde:

${\displaystyle \nabla _{\mu }\,}$ , es la derivada covariante.

${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$ , es el tensor dos veces contravariante de energía-impulso del fluido.

En el caso de un fluido sensible al campo electromagnético entonces el segundo miembro de la anterior ecuación. Para el caso convencional de un fluido perfecto que no es influido por el campo electromagnético el tensor de energía-impulso viene dado por:^[1]​

(**)${\displaystyle T_{\mu \nu }=\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right)u_{\mu }u_{\nu }+pg_{\mu \nu }}$ 

Donde:

${\displaystyle \rho \,}$ , es la densidad másica del fluido en cada punto.

${\displaystyle p\,}$ , es la presión hidrostática en cada punto.

${\displaystyle u^{\alpha }\,}$ , son las componentes de la cuadrivelocidad.

${\displaystyle c\,}$ , es la velocidad de la luz.

${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$ , es el tensor métrico que describe la geometría del espacio-tiempo.

Si particularizamos las dos ecuaciones anteriores al caso de un fluido moviéndose en el espacio-tiempo plano, como en la teoría de la relatividad especial, las ecuaciones anteriores pueden escribirse más explícitamente. La componente temporal ${\displaystyle \scriptstyle \nu =0}$  de (*) se reduce a una ecuación de continuidad:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}{\frac {v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}\right)+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right)\mathbf {v} }{1-v^{2}/c^{2}}}\right)=0}$ 

Véase también

• Hidrodinámica

Referencias

1. Brandon Carter, 1987, p. 20

Bibliografía

• Carter, Brandon (1987). «1. Covariant theory of conductivity in ideal fluid or solid media». En A. Anile, Y. Choquet-Bruhat, ed. Relativistic Fluid Dynamics. Springer-Verlag. pp. 20. ISBN 0-387-51466-X. (requiere registro). 

•   Datos: Q375175