Distribución gamma

En teoría de probabilidad y Estadística, la distribución gamma es una distribución con dos parámetros que pertenece a las distribuciones de probabilidad continuas. La distribución exponencial, distribución de Erlang y la distribución χ² son casos particulares de la distribución gamma. Hay dos diferentes parametrizaciones que suelen usarse

1. Con parámetro de forma ${\displaystyle k}$ y parámetro de escala ${\displaystyle \theta }$.
2. Con parámetro de forma ${\displaystyle \alpha =k}$ y parámetro inverso de escala ${\displaystyle \lambda =1/\theta }$.

Gamma
Parámetros	${\displaystyle \alpha >0}$ forma (real) ${\displaystyle \lambda >0}$ forma (real)
Dominio	${\displaystyle x\in (0,\infty )}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle {\frac {\lambda (\lambda x)^{\alpha -1}e^{-\lambda x}}{\Gamma (\alpha )}}}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\;\gamma (\alpha ,\lambda x)}$
Media	${\displaystyle {\frac {\alpha }{\lambda }}}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}}$
Entropía	${\displaystyle \alpha -\ln \lambda +\ln \Gamma (\alpha )+(1-\alpha )\psi (\alpha )}$
Función generadora de momentos (mgf)	${\displaystyle \left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{\alpha }\quad t<\lambda }$
Función característica	${\displaystyle \left({\frac {\lambda }{\lambda -it}}\right)^{\alpha }}$
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Función de Densidad de una Gamma.

Definición

Notación

Si una variable aleatoria continua ${\displaystyle X}$  tiene distribución gamma con parámetros ${\displaystyle \alpha >0}$  y ${\displaystyle \lambda >0}$  entonces escribiremos ${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}$ .

Función de Densidad

Si ${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}$  entonces su función de densidad es

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\lambda (\lambda x)^{\alpha -1}e^{-\lambda x}}{\Gamma (\alpha )}}}$ 

para ${\displaystyle x>0}$  donde

${\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}dt}$ 

es la función gamma y satisface

1. ${\displaystyle \Gamma (2)=\Gamma (1)=1}$ 
2. Para cualquier ${\displaystyle \alpha >0}$  se cumple que ${\displaystyle \Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )}$ 
3. Si ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$  entonces ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$ 
4. ${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$ 
5. Si ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$  entonces ${\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)={\frac {{\sqrt {\pi }}(n-1)!}{2^{n-1}\left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}}$ 

Función de Densidad Acumulada

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria ${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}$  está dada por

${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\lambda (\lambda y)^{\alpha -1}e^{-\lambda y}}{\Gamma (\alpha )}}\;dy}$ 

Si ${\displaystyle X}$  es una variable aleatoria tal que ${\displaystyle X\sim \Gamma (n,\lambda )}$  donde ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$  (es decir, ${\displaystyle X}$  tiene una distribución de Erlang) entonces su función de distribución acumulada está dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{X}(x)&=1-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(\lambda x)^{k}}{k!}}e^{-\lambda x}\\&=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {(\lambda x)^{k}}{k!}}e^{-\lambda x}\end{aligned}}}$ 

Propiedades

Si ${\displaystyle X}$  es una variable aleatoria tal que ${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}$  entonces ${\displaystyle X}$  satisface algunas propiedades.

Media

La media de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle {\text{E}}[X]={\frac {\alpha }{\lambda }}}$ 

Varianza

La varianza de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle {\text{Var}}[X]={\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}}$ 

Momentos

El ${\displaystyle n}$ -ésimo momento de la variable aleatoria ${\displaystyle X}$  es

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]={\frac {\alpha (\alpha +1)\cdots (\alpha +n-1)}{\lambda ^{n}}}}$ 

para ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ .

Función generadora de momentos

La función generadora de momentos está dada por

${\displaystyle M_{X}(t)=\left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{\alpha }}$ 

para ${\displaystyle \lambda >t}$ .

Suma de Gammas

Si ${\displaystyle X_{i}\sim \Gamma (\alpha _{i},\lambda )}$  para ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$  son variables aleatorias independientes entonces

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i},\lambda \right)}$ 

Escalar

Si ${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}$  entonces para cualquier ${\displaystyle c>0}$ 

${\displaystyle cX\sim \Gamma \left(\alpha ,\lambda /c\right)}$ 

Media Logarítmica

Puede demostrarse que

${\displaystyle \operatorname {E} [\ln(X)]=\psi (\alpha )-\ln(\lambda )}$ 

donde ${\displaystyle \psi }$  es la función digamma.

Cálculo de Probabilidades con R

Se puede utilizar el paquete estadístico ${\displaystyle {\mathclose {R}}}$  para hallar los valores de la función de densidad ${\displaystyle f(x)}$  y la función de distribución ${\displaystyle F(x)}$  de una variable aleatoria continua ${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}$ .

Función de densidad

Para ${\displaystyle x>0}$ , la función de densidad de la distribución Gamma está dada por

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\lambda (\lambda x)^{\alpha -1}e^{-\lambda x}}{\Gamma (\alpha )}}}$ 

entonces para evaluar la función de densidad ${\displaystyle f(x)}$  utilizamos el siguiente código

# d=density function dgamma(x,α,λ) 

Función de Distribución

La función de distribución acumulada de la distribución Gamma está dada por

${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\lambda (\lambda y)^{\alpha -1}e^{-\lambda y}}{\Gamma (\alpha )}}\;dy}$ 

para ${\displaystyle x>0}$ , se puede utilizar el siguiente código para evaluar al función de distribución acumulada ${\displaystyle F(x)}$ 

# p=probability distribution function pgamma(x,α,λ) 

Distribuciones Relacionadas

• Si ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$  son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tales que ${\displaystyle X_{i}\sim {\text{Exp}}(\lambda )}$  entonces ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(n,\lambda \right)}$ , a esta distribución se le conoce como distribución de Erlang y es un caso particular de la distribución gamma cuando el parámetro ${\displaystyle \alpha =n\in \mathbb {N} }$ .

• Si ${\displaystyle X\sim \Gamma \left(1,\lambda \right)}$  entonces ${\displaystyle X\sim {\text{Exp}}(\lambda )}$ .
• Si ${\displaystyle X\sim \Gamma \left({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$  con ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  entonces ${\displaystyle X\sim \chi _{n}^{2}}$ .

Véase también

• Distribución Exponencial
• Distribución Beta
• Distribución de Erlang
• Distribución χ²

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «GammaDistribution». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• [1] el 13 de abril de 2020 en Wayback Machine. Calcular la probabilidad de una distribución Gamma con R (lenguaje de programación)

•   Datos: Q117806
•   Multimedia: Gamma distribution