Diferenciación logarítmica

Para la derivada, véase derivada logarítmica.

En cálculo diferencial, la diferenciación logarítmica^[1]​ es un método usado para diferenciar funciones matemáticas compuestas por productos, cocientes y potencias empleando la derivada logarítmica de una función ${\displaystyle f}$.^[2]​

${\displaystyle [\ln(f)]'={\frac {f'}{f}}\quad \rightarrow \quad f'=f\cdot [\ln(f)]'.}$

La técnica se realiza a menudo en los casos en que es más fácil diferenciar el logaritmo de una función que la propia función en sí. Esto suele ocurrir en los casos en que la función de interés está compuesta por un producto de varias variables, por lo que una transformación logarítmica se basa en transformarla en una suma de variables separadas, lo cual resulta mucho más fácil de diferenciar.^[3]​^[4]​

Descripción

Para una función

${\displaystyle y=f(x)\,\!}$ 

la función logarítmica suele empezarse tomando el logaritmo natural o el logaritmo a la base e en ambos lados de la ecuación; recordando tomar valores absolutos:^[5]​

${\displaystyle \ln |y|=\ln |f(x)|.\,\!}$ 

después de derivar mediante el método de derivación implícita:^[6]​

${\displaystyle {\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}.}$ 

entonces se multiplica por ${\displaystyle y}$  para eliminar el ${\displaystyle {\dfrac {1}{y}}}$  y dejar solo el ${\displaystyle {\dfrac {dy}{dx}}}$  en el lado izquierdo de la ecuación:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y\times {\frac {f'(x)}{f(x)}}=f'(x).}$ 

Véase también

• Grupo de Lie

Referencias

1. Krantz, Steven G. (2003). Calculus demystified (en inglés). McGraw-Hill Professional. pp. 170. ISBN 0-07-139308-0. 
2. Williamson, Benjamin (2008). An Elementary Treatise on the Differential Calculus (en inglés). BiblioBazaar, LLC. pp. 25-26. ISBN 0-559-47577-2. 
3. N.P. Bali (2005). Golden Differential Calculus (en inglés). Firewall Media. p. 282. ISBN 81-7008-152-1. 
4. Bird, John (2006). Higher Engineering Mathematics (en inglés). Newnes. pp. 324. ISBN 0-7506-8152-7. 
5. Dowling, Edward T. (1990). Schaum's Outline of Theory and Problems of Calculus for Business, Economics, and the Social Sciences (en inglés). McGraw-Hill Professional. pp. 160. ISBN 0-07-017673-6. (requiere registro). 
6. Hirst, Keith (2006). Calculus of One Variable (en inglés). Birkhäuser. p. 97. ISBN 1-85233-940-3. 

•   Datos: Q2289425