La figura cuyos vértices son puntos de coordenadas se llama (-1)-símplex. El 2-símplex es el triángulo y el 3-símplex es el tetraedro. Hay una fórmula que da el volumen del -símplex en términos de las longitudes de sus lados. La parte principal de dicha fórmula es el determinante de Cayley-Menger, así llamado por Blumenthal en 1953[1] en honor a Arthur Cayley y Karl Menger. Si denotamos por la distancia entre los vértices y , etc.., entonces los determinantes de Cayley-Menger para 2, 3 y 4 dimensiones son, respectivamente,
La forma de los determinantes en más dimensiones sigue este patrón. Si denotamos con al determinante de Cayley-Menger, entonces el -volumen del -símplex es
Una fórmula parecida para el caso bidimensional fue descubierta por Herón. El caso tridimensional lo descubrió Tartaglia.
Referencias
Wirth, Karl; Dreiding, André S. (2009). «Edge lengths determining tetrahedrons». Elemente der Mathematik (Swiss Mathematical Society,) 64: 160-170.|fechaacceso= requiere |url= (ayuda)
determinantes, cayley, menger, figura, cuyos, vértices, displaystyle, puntos, coordenadas, displaystyle, cdots, cdots, cdots, llama, displaystyle, símplex, símplex, triángulo, símplex, tetraedro, fórmula, volumen, displaystyle, símplex, términos, longitudes, l. La figura cuyos vertices son n displaystyle n puntos de coordenadas x 1 1 x n 1 x 1 n x n n displaystyle x 1 1 cdots x n 1 cdots x 1 n cdots x n n se llama n displaystyle n 1 simplex El 2 simplex es el triangulo y el 3 simplex es el tetraedro Hay una formula que da el volumen del n displaystyle n simplex en terminos de las longitudes de sus lados La parte principal de dicha formula es el determinante de Cayley Menger asi llamado por Blumenthal en 1953 1 en honor a Arthur Cayley y Karl Menger Si denotamos por d A B displaystyle d AB la distancia entre los vertices A displaystyle A y B displaystyle B etc entonces los determinantes de Cayley Menger para 2 3 y 4 dimensiones son respectivamente det 0 d A B 2 d A C 2 1 d A B 2 0 d B C 2 1 d A C 2 d B C 2 0 1 1 1 1 0 displaystyle det begin bmatrix 0 amp d AB 2 amp d AC 2 amp 1 d AB 2 amp 0 amp d BC 2 amp 1 d AC 2 amp d BC 2 amp 0 amp 1 1 amp 1 amp 1 amp 0 end bmatrix dd det 0 d A B 2 d A C 2 d A D 2 1 d A B 2 0 d B C 2 d B D 2 1 d A C 2 d B C 2 0 d C D 2 1 d A D 2 d B D 2 d C D 2 0 1 1 1 1 1 0 displaystyle det begin bmatrix 0 amp d AB 2 amp d AC 2 amp d AD 2 amp 1 d AB 2 amp 0 amp d BC 2 amp d BD 2 amp 1 d AC 2 amp d BC 2 amp 0 amp d CD 2 amp 1 d AD 2 amp d BD 2 amp d CD 2 amp 0 amp 1 1 amp 1 amp 1 amp 1 amp 0 end bmatrix dd det 0 d A B 2 d A C 2 d A D 2 d A E 2 1 d A B 2 0 d B C 2 d B D 2 d B E 2 1 d A C 2 d B C 2 0 d C D 2 d C E 2 1 d A D 2 d B D 2 d C D 2 0 d D E 2 1 d A E 2 d B E 2 d C E 2 d D E 2 0 1 1 1 1 1 1 0 displaystyle det begin bmatrix 0 amp d AB 2 amp d AC 2 amp d AD 2 amp d AE 2 amp 1 d AB 2 amp 0 amp d BC 2 amp d BD 2 amp d BE 2 amp 1 d AC 2 amp d BC 2 amp 0 amp d CD 2 amp d CE 2 amp 1 d AD 2 amp d BD 2 amp d CD 2 amp 0 amp d DE 2 amp 1 d AE 2 amp d BE 2 amp d CE 2 amp d DE 2 amp 0 amp 1 1 amp 1 amp 1 amp 1 amp 1 amp 0 end bmatrix dd La forma de los determinantes en mas dimensiones sigue este patron Si denotamos con C M displaystyle CM al determinante de Cayley Menger entonces el n displaystyle n volumen del n displaystyle n simplex es 1 n 1 2 n n 2 C M displaystyle sqrt 1 n 1 over 2 n n 2 CM dd Una formula parecida para el caso bidimensional fue descubierta por Heron El caso tridimensional lo descubrio Tartaglia Referencias Editar Wirth Karl Dreiding Andre S 2009 Edge lengths determining tetrahedrons Elemente der Mathematik Swiss Mathematical Society 64 160 170 fechaacceso requiere url ayuda Enlaces externos EditarWeisstein Eric W Cayley MengerDeterminant En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Datos Q2088417Obtenido de https es wikipedia org w index php title Determinantes de Cayley Menger amp oldid 127215143, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,