Desplazamiento cuadrático medio

En mecánicas estadísticas, el desplazamiento cuadrático medio (MSD, por sus siglas en inglés) es la medida más común de la difusión de partículas con movimiento aleatorio; de alguna manera es común pensar en el MSD como la cantidad del sistema "explorado" por un caminante aleatorio. Aparece prominentemente en el factor de Debye-Waller, que describe vibraciones dentro del estado sólido, y en la ecuación de Langevin para caracterizar la difusión de una partícula Browniana.

Derivación del MSD para una partícula Browniana en 1D

La función de densidad de la probabilidad (PDF) para una partícula en una dimensión se encuentra usando la solución de la ecuación de difusión uno-dimensional. (Esta ecuación afirma que la densidad de probabilidad de la posición difunde hacia fuera con el tiempo - este fue el método utilizado por Einstein para describir una partícula Browniana. Otro método para describir el movimiento de una partícula Browniana fue descrito por Langevin, ahora conocida como la ecuación de Langevin.)

${\displaystyle {\frac {\partial p(x,t\mid x_{0})}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}p(x,t\mid x_{0})}{\partial x^{2}}},}$ 

dado la condición inicial ${\displaystyle p(x_{0},t={0}\mid x_{0})=\delta (x-x_{0})}$  ; dónde ${\displaystyle x(t)}$  es la posición de la partícula a un tiempo dado, ${\displaystyle x_{0}}$  es la posición inicial de la partícula, y ${\displaystyle D}$  es el coeficiente de difusión con unidades en el S.I ${\displaystyle m^{2}s^{-1}}$  (una medida indirecta de la velocidad de la partícula). La barra en el argumento de la probabilidad instantánea refiere a la probabilidad condicional. La ecuación de difusión afirma que la rapidez de la probabilidad de encontrar la partícula en ${\displaystyle x(t)}$  es dependiente de la posición.

Se puede mostrar que la función de densidad de probabilidad en 1 dimensión es

${\displaystyle P(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{4Dt}}\right).}$ 

Esto quiere decir que la probabilidad de encontrar la partícula en ${\displaystyle x(t)}$  sigue una distribución Gaussiana, con ancho dependiente del tiempo.Más específicamente la anchura a media altura (FWHM, ancho Lleno en máximo medio ) se escala como

${\displaystyle {\rm {{FWHM}\sim {\sqrt {t}}.}}}$ 

Utilizando la función de densidad de probabilidad, es posible derivar la media de una función dada,${\displaystyle L}$  , en tiempo :${\displaystyle t}$ 

${\displaystyle \langle L(t)\rangle \equiv \int _{-\infty }^{\infty }L(x,t)P(x,t)dx,}$ 

donde la media está tomada sobre todo el espacio.

El desplazamiendo cuadrático medio está definido como

${\displaystyle {\rm {{MSD}\equiv \langle \left(x(t)-x_{0}\right)^{2}\rangle ,}}}$ 

expandiendo el promedio tenemos:

${\displaystyle \langle \left(x-x_{0}\right)^{2}\rangle =\langle x^{2}\rangle +x_{0}^{2}-2x_{0}\langle x\rangle ,}$ 

quitando la notación de dependencia de tiempo explícitapor simplicidad. Para encontrar el MSD, uno puede tomar uno de dos caminos: uno puede calcular explícitamente ${\displaystyle \langle x^{2}\rangle }$  y ${\displaystyle \langle x\rangle }$  , entonces usar la definición del MSD; o uno podría encontrar la función generadora de momentos, una función extremadamente útil y general tratándose de densidades de probabilidad. La función generadora de momentos describe el ${\displaystyle k}$  - ésimo momento de la función de densidad de probabilidad. El primer momento del desplazamiento de la densidad de probabilidad mostrado arriba es sencillamente el promedio: ${\displaystyle \langle x\rangle }$ . El segundo momento está dado por ${\displaystyle \langle x^{2}\rangle }$ .

Entonces, para encontrar la función que genera momento es conveniente de introducir la función característica:

${\displaystyle G(k)=\langle e^{ikx}\rangle \equiv \int _{I}e^{ikx}P(x,t|x_{0})dx,}$ 

Uno puede expandir la exponencial en la ecuación de arriba para obtener:

${\displaystyle G(k)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(ik)^{m}}{m!}}\mu _{m}.}$ 

Tomando el logaritmo natural de la función característica, una función nueva está producida:

${\displaystyle \ln(G(k))=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(ik)^{m}}{m!}}\kappa _{m},}$ 

dónde ${\displaystyle \kappa _{m}}$  es el ${\displaystyle m}$  - ésimo acumulante de ${\displaystyle x}$ . Los primeros dos acumulantes están relacionado con los primeros dos momentos, ${\displaystyle \mu }$  , vía ${\displaystyle \kappa _{1}=\mu _{1};}$  y ${\displaystyle \kappa _{2}=\mu _{2}-\mu _{1}^{2},}$ donde el segundo acumulante es la varianza, ${\displaystyle \sigma ^{2}}$  . Con estas definiciones uno puede investigar los momentos de la función de densidad de probabilidad de una partícula Browniana,

${\displaystyle G(k)={\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\int _{I}\exp(ikx)\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{4Dt}}\right)dx;}$ 

completando el cuadrado y conociendo el área total bajo una Gaussiana se obtiene:

${\displaystyle G(k)=\exp(ikx_{0}-k^{2}Dt).}$ 

Tomando el logaritmo natural, y comparando los exponentes del ${\displaystyle ik}$  con la función generadora de acumulantes, el primer acumulante es

${\displaystyle \kappa _{1}=x_{0},}$ 

el cual es el esperado, concretamente que la posición promedio es el centro Gaussiano . El segundo acumulante es

${\displaystyle \kappa _{2}=2Dt,}$ 

El factor 2 proviene del factor factorial en el denominador de función generadora de acumulantes. De este, el segundo momento está calculado,

${\displaystyle \mu _{2}=\kappa _{2}+\mu _{1}^{2}=2Dt+x_{0}^{2}.}$ 

Juntando los resultados del primer y el segundo momento, uno encuentra el MSD,

${\displaystyle \langle \left(x(t)-x_{0}\right)^{2}\rangle =2Dt.}$ 

Desplazamiento cuadrático medio en Experimentos

Métodos experimentales para determinar MSDs incluyen el neutrón que esparci y espectroscopia de correlación del fotón.

•   Datos: Q1565055