Densidad tensorial

Una densidad tensorial es una generalización del concepto de campo tensorial ordinario.

Ciertas magnitudes pueden ser modelizadas como campos tensoriales, con leyes de transformación tensorial convencionales. Pero también es útil definir magnitudes llamadas "densidades tensoriales" con transformaciones un poco más generales que las de los tensores ordinarios.

Así un tensor de densidad r y rango n o densidad tensorial se transforma como un tensor ordinario bajo transformaciones de coordenadas, excepto que también es multiplicado por el determinante del Jacobiano a la potencia r-ésima:

${\displaystyle {\bar {A}}^{i_{1}\dots i_{n}}={\frac {\partial {\bar {x}}^{i_{1}}}{\partial x^{k_{1}}}}\dots {\frac {\partial {\bar {x}}^{i_{n}}}{\partial x^{k_{n}}}}A^{k_{1}\dots k_{n}}\left|{\frac {\partial ({\bar {x}}^{i_{1}}\dots {\bar {x}}^{i_{n}})}{\partial (x^{k_{1}}\dots x^{k_{n}})}}\right|^{r}}$

Aunque en este último ejemplo hemos supuesto que la densidad tensorial era del tipo ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {T}}_{0}^{n}}$, la definición anterior se generaliza fácilmente a densidades tensoriales de tipo ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {T}}_{r}^{s}}$ con ${\displaystyle \scriptstyle r+s=n}$.

El concepto de densidad tensorial puede explicarse también considerando fibrados vectoriales donde el fibrado determinante del fibrado tangente es un fibrado de línea que se puede utilizar para torcer otros fibrados r veces.

• Datos: Q5802765