Demostración por contraposición

En lógica, la contraposición de una declaración condicional se forma negando ambos términos e invirtiendo la dirección de la inferencia. Explícitamente, la contraposición de la declaración «si A, entonces B» es «si no es B, entonces no A». Una declaración y su contrapositiva son lógicamente equivalentes: si la afirmación es cierta, entonces su contrapositivo es cierto, y viceversa.^[1]​

En matemáticas, la demostración por contraposición es una regla de inferencia utilizada en demostraciones. Esta regla se infiere una sentencia condicional a partir de su contraposición.^[2]​ En otras palabras, la conclusión «si A, entonces B» se extrae de la premisa simple «si no B, entonces no A».

Ejemplo

Sea x un número entero.

Para demostrar: Si x² es par, entonces x es par.

A pesar de que se puede dar una demostración directa, optamos por probar esta afirmación por contraposición. La contraposición de la declaración anterior es:

Si x no es par, entonces x² no es par.

Esta última afirmación se puede demostrar de la siguiente manera. Supongamos que x no es par. Entonces x es impar. El producto de dos números impares es impar, por lo tanto, x² = x · x es impar. Por lo tanto x² no es par.

Después de haber probado la contraposición, inferimos la declaración original.^[3]​

Relación con la prueba por la contradicción

Cualquier demostración por contraposición también puede formularse trivialmente en términos de una demostración por contradicción: Para demostrar la proposición ${\displaystyle P\Rightarrow Q}$ , consideramos lo contrario, ${\displaystyle \lnot (P\Rightarrow Q)\equiv \lnot (\lnot P\vee Q)\equiv P\wedge \lnot Q}$ . Puesto que tenemos una prueba de que ${\displaystyle \lnot Q\Rightarrow \lnot P}$ , tenemos ${\displaystyle P\wedge \lnot Q\Rightarrow P\wedge \lnot P\equiv \bot }$  lo que llega a la contradicción que se pretende. Así que demostración por contraposición es en cierto sentido "al menos tan difícil de formular" como demostración por contradicción.

Véase también

• Contraposición
• Modus tollendo tollens
• Reductio ad absurdum

Referencias

1. Regents Exam Prep, definición contra positiva (en inglés)
2. «Larry Cusick's (CSU-Fresno) How to write proofs tutorial» (en inglés). 
3. Franklin, J.; A. Daoud (2011). Proof in Mathematics: An Introduction (en inglés). Sydney: Kew Books. ISBN 0-646-54509-4.  (p. 50).

Enlaces externos

• Esta obra contiene una traducción total derivada de «Proof by contrapositive» de la Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.

•   Datos: Q20014476