Demostración de que 22/7 es mayor que π
Las demostraciones matemáticas que indican el famoso resultado de que el número racional 22⁄7 es superior a π se remontan a la Antigüedad. Stephen Lucas califica esta proposición de
El objetivo de esta demostración no es en esencia convencer al lector de que 22⁄7 es, efectivamente, más grande qué π. Existen métodos de cálculo sistemático que obtienen el valor de π. Lo que sigue es una demostración matemática moderna que demuestra que 22/7 > π, utilizando solamente las técnicas elementales del cálculo. Su sencillez y su elegancia resultan vínculos con la teoría de las aproximaciones diofánticas.
Antecedentes
22⁄7 es una aproximación diofántica ampliamente utilizada de π. En efecto, se puede ver fácilmente, al expandir decimalmente qué :
Esta aproximación era conocida desde la antigüedad. Arquímedes fue el primero que escribió que había demostrado que 22⁄7 sobrepasaba a π durante el Siglo III a. C[1].. pero utilizaba esta aproximación.
Su prueba consistía en demostrar que 22⁄7 es mayor que la razón entre el perímetro de un polígono regular con 96 lados y el diámetro del círculo que lo circunscribe.
Una mejor aproximación racional de π es dado por la fracción 355⁄113.
Demostración
Una demostración moderna de esta desigualdad puede hacerse por el cálculo de la integral.
Por lo tanto, 22⁄7 < π.
El número es estrictamente positivo porque la función es continua y estrictamente positiva sobre el intervalo ]0 ; 1[.
Queda por demostrar que la integral se evalúa para valor la cantidad deseada:
Dalzell da un resultado más preciso al limitar la diferencia con el estudio del denominador.[2] Así, tenemos
Luego, al calcular:
Véase también
Notas y referencias
- aces
- xter
Enlaces externos
- Esta obra contiene una traducción derivada de «Proof that 22/7 exceeds π» de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.
- Esta obra contiene una traducción derivada de «22_/_7_dépasse_π» de Wikipedia en francés, concretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.