Esta es una prueba por contradicción. Inicialmente se supone que e es un número racional de la forma a/b.
Se define el número
Notar que x es un entero, se sustituye e = a/b en esta definición para obtener
El primer término es un entero, y cada fracción en la suma es un entero ya que n≤b para cada término. Por lo tanto, x es un entero.
Ahora probaremos que 0 < x < 1. Primero, insertamos la serie que representa al número e esto es , en la definición de x para obtener
Para todos los términos con n ≥ b + 1 tenemos el estimado superior
el cual es estricto aun para cada n ≥ b + 2. Cambiando el índice de la sumatoria a k = n – b y usando la fórmula para la serie geométrica infinita, obtenemos
Como no hay un entero entre 0 y 1, hemos llegado a una contradicción, y por lo tanto, e debe ser irracional.
demostración, irracionalidad, artículo, principal, número, matemáticas, identidad, como, serie, número, displaystyle, infty, frac, puede, usado, para, probar, número, irracional, tantas, representaciones, posibles, esta, serie, taylor, para, función, exponenci. Articulo principal Numero e En matematicas la identidad como serie del numero e e n 0 1 n displaystyle e sum n 0 infty frac 1 n puede ser usado para probar que e es un numero irracional De las tantas representaciones posibles de e esta es la serie de Taylor para la funcion exponencial ey evaluada en y 1 Demostracion EditarEsta es una prueba por contradiccion Inicialmente se supone que e es un numero racional de la forma a b e a b displaystyle e frac a b Se define el numero x b e n 0 b 1 n displaystyle x b biggl e sum n 0 b frac 1 n biggr Notar que x es un entero se sustituye e a b en esta definicion para obtener x b a b n 0 b 1 n a b 1 n 0 b b n displaystyle x b biggl frac a b sum n 0 b frac 1 n biggr a b 1 sum n 0 b frac b n El primer termino es un entero y cada fraccion en la suma es un entero ya que n b para cada termino Por lo tanto x es un entero Ahora probaremos que 0 lt x lt 1 Primero insertamos la serie que representa al numero e esto es e n 0 1 n displaystyle e sum n 0 infty frac 1 n en la definicion de x para obtener x n b 1 b n gt 0 displaystyle x sum n b 1 infty frac b n gt 0 Para todos los terminos con n b 1 tenemos el estimado superior b n 1 b 1 b 2 b n b 1 b 1 n b displaystyle frac b n frac 1 b 1 b 2 cdots b n b leq frac 1 b 1 n b el cual es estricto aun para cada n b 2 Cambiando el indice de la sumatoria a k n b y usando la formula para la serie geometrica infinita obtenemos x n b 1 b n lt k 1 1 b 1 k 1 b 1 1 1 1 b 1 1 b lt 1 displaystyle x sum n b 1 infty frac b n lt sum k 1 infty frac 1 b 1 k frac 1 b 1 biggl frac 1 1 frac 1 b 1 biggr frac 1 b lt 1 Como no hay un entero entre 0 y 1 hemos llegado a una contradiccion y por lo tanto e debe ser irracional Vease tambien EditarNumero e Funcion exponencial Numero trascendente Datos Q852586 Multimedia E mathematical constant Obtenido de https es wikipedia org w index php title Demostracion de la irracionalidad de e amp oldid 129457625, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,