Deducción del módulo de la suma

Este artículo presenta una deducción para la expresión del módulo resultante de dos vectores (véase vector (física) y módulo (vector)) de un espacio vectorial (sobre los números reales).

Deducción

Sean dos vectores ${\displaystyle {\vec {a}}}$  y ${\displaystyle {\vec {b}}}$  que forman un ángulo ${\displaystyle \theta }$  entre sí:

 

La fórmula para calcular ${\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|}$  se deduce observando los triángulos rectángulos que se forman, OCB y ACB, y aplicando el Teorema de Pitágoras. En el triángulo OCB:

${\displaystyle {\overline {\text{OB}}}^{2}={\overline {\text{OC}}}^{2}+{\overline {\text{CB}}}^{2}}$ 

${\displaystyle {\overline {\text{OB}}}=|{\vec {a}}+{\vec {b}}|}$ 

${\displaystyle {\overline {\text{OC}}}=\left|{\vec {a}}\left|+AC\right.\right.}$ 

Resultando:

${\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=\left(|{\vec {a}}|+{\overline {\text{AC}}}\right)^{2}+{\overline {\text{CB}}}^{2}}$ 

En el triángulo ACB :

${\displaystyle {\overline {\text{AC}}}=|{\vec {b}}|\cos \theta }$ 

${\displaystyle {\overline {\text{CB}}}=|{\vec {b}}|\sin \theta }$ 

Sustituyendo esto en la igualdad de antes resulta:

${\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=\left(|{\vec {a}}|+|{\vec {b}}|\cos \theta \right)^{2}+\left(|{\vec {b}}|\sin \theta \right)^{2}}$ 

${\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta +|{\vec {b}}|^{2}\cos ^{2}\theta +|{\vec {b}}|^{2}\sin ^{2}\theta }$ 

${\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta +|{\vec {b}}|^{2}\left(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta \right)}$ 

${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\quad \Rightarrow \quad \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta +|{\vec {b}}|^{2}}$ 

${\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|={\sqrt {|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta +|{\vec {b}}|^{2}}}}$ 

${\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|={\sqrt {|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta }}}$ 

•   Datos: Q5679055