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Cálculo de variaciones

El cálculo de variaciones o cálculo variacional es un problema matemático consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) de funcionales continuos definidos sobre algún espacio funcional. Constituyen una generalización del cálculo elemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable.


Historia

El cálculo de variaciones se desarrolló a partir del problema de la curva braquistócrona, planteado inicialmente por Johann Bernoulli (1696). Inmediatamente este problema captó la atención de Jakob Bernoulli y el Marqués de L'Hôpital, aunque fue Leonhard Euler el primero que elaboró una teoría del cálculo variacional. Las contribuciones de Euler se iniciaron en 1733 con su Elementa Calculi Variationum ('Elementos del cálculo de variaciones') que da nombre a la disciplina.

Lagrange contribuyó extensamente a la teoría y Legendre (1786) asentó un método, no enteramente satisfactorio para distinguir entre máximos y mínimos. Isaac Newton y Gottfried Leibniz también prestaron atención a este asunto.[1]​ Otros trabajos destacados fueron los de Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Poisson (1831), Mijaíl Ostrogradski (1834) y Carl Jacobi (1837). Un trabajo general particularmente importante es el de Sarrus (1842) que fue resumido por Cauchy (1844). Otros trabajos destacados posteriores son los de Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) y Carll (1885), aunque quizá el más importante de los trabajos durante el siglo XIX es el de Weierstrass. Este importante trabajo fue una referencia estándar y es el primero que trata el cálculo de variaciones sobre una base firme y rigurosa. Los problema 20 y 23 de Hilbert planteados en 1900 estimularon algunos desarrollos posteriores.[1]​ Durante el siglo XX, David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue y Jacques Hadamard, entre otros, hicieron contribuciones notables.[1]Marston Morse aplicó el cálculo de variaciones a lo que actualmente se conoce como teoría de Morse.[2]Lev Semenovich Pontryagin, Ralph Rockafellar y Clarke desarrollaron nuevas herramientas matemáticas dentro de la teoría del control óptimo, generalizando el cálculo de variaciones.[2]

Problema Isoperimétrico

¿Cuál es el área máxima A que puede rodearse con una curva de longitud L dada? Si no existen restricciones adicionales, la solución es:

 

Que es el valor que se obtiene para un círculo de radio  .

Si se imponen restricciones adicionales la solución es diferente. Un ejemplo es si suponemos que L se considera sobre una función   y los extremos de las curva están sobre los puntos   donde la distancia entre ellos está dada. Es decir  . El problema de hallar una curva que maximice el área entre ella y el eje x sería, hallar una función   de modo que:

 

con las restricciones:

 

Braquistócrona

El problema de la curva braquistócrona se remonta a J. Bernoulli (1696). Se refiere a encontrar una curva en el plano cartesiano que vaya del punto   al origen de modo que un punto material que se desliza sin fricción sobre ella tarda el menor tiempo posible en ir de   al origen. Usando principios de mecánica clásica el problema puede formularse como,

 

donde g es la gravedad y las restricciones son,  ,  . Hay que notar que en   existe una singularidad.

Formulación general

Uno de los problemas típicos en cálculo diferencial es el de encontrar el valor de   para el cual la función   alcanza un valor extremo (máximo o mínimo). En el cálculo de variaciones el problema es encontrar una función   para la cual un funcional   alcance un valor extremo. El funcional   está compuesto por una integral que depende de  , de la función   y algunas de sus derivadas.

(1a) 

Donde la función   pertenece a algún espacio de funciones (espacio de Banach, espacio de Hilbert), y tanto ella como sus derivadas pueden tener restricciones. Esta fórmula integral puede ser más complicada permitiendo a   ser un vector, y por lo tanto incluyendo derivadas parciales para  :

(1b) 

Espacios funcionales

La fundamentación rigurosa del cálculo de variaciones requiere considerar variedades diferenciales lineales de dimensión infinita. De hecho el punto de partida del cálculo de variaciones es un teorema de análisis funcional que prueba que es posible considerar una curva en un espacio funcional (e.g. trayectoria en el espacio fásico) simplemente como una función con una variable adicional, concretamente:[3]

La categoría formada por espacios vectoriales convenientes y funciones suaves entre ellos es cerrada por el producto cartesiano, de tal manera que se tiene la siguiente biyección natural:

 

donde   son espacios vectoriales convenientes y la biyección anterior es un difeomorfismo.

El teorema anterior puede aplicarse por ejemplo al principio de mínima acción donde trata de encontrarse la trayectoria posible en el espacio de fases que hace mínima la integral de acción. Dicha trayectoria es una curva suave en el espacio de trayectorias E, considerando ahora:

 

Se tiene que el problema de minimización puede reducirse a minimizar una cierta función real f de variable real:

 

Extremos relativos débiles y fuertes

Un problema variacional requiere que el funcional   esté definido sobre un espacio de Banach   adecuado. La norma vectorial de dicho espacio es lo que permite definir rigurosamente si una solución es un mínimo o un máximo relativo. Por ejemplo una función   es un mínimo relativo si existe un cierto   tal que, para toda función   se cumpla que:

 


Véase también

Referencias

  1. van Brunt, Bruce (2004). The Calculus of Variations. Springer. ISBN 0-387-40247-0. 
  2. Ferguson, James (2004). «Brief Survey of the History of the Calculus of Variations and its Applications». arXiv:arXiv:math/0402357. 
  3. A. Kriegl y P. Michor, 1989, p. 3

Bibliografía

  • A. Kriegl y P. W. Michor: "Aspects of the theory of inifinite dimensional manifolds", Differential Geometry and its Applications, 1, 1991, pp. 159-176.
  • Leonida Tonelli: Fondamenti di calcolo delle variazioni, N. Zanichelli, 1921-23
  • Todhunter, I. A history of the calculus of variations, Chelsea, 1861
  • Carll, L. B. A Treatise On The Calculus Of Variations John Wiley & sons, 1881
  • Hancock, H. Lectures on the calculus of variations (the Weierstrassian theory) Cincinnati University Press, 1904
  • Bolza, O Lectures on the calculus of variations, Chicago University Press, 1904
  • Byerly, W. E. Introduction to the calculus of variations Harvard University Press, 1917
  • Weinstock, R. Calculus Of Variations With Applications To Physics And Engineering, McGrawHill, 1952
  • Hadamard J. e Fréchet, M. Leçons sur le calcul des variations (francese) Hermann, 1910
  • Fomin, S.V. and Gelfand, I.M.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000
  • Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1 – 98
  • Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987
  • Giuseppe Buttazzo, Gianni Dal Maso, Ennio De Giorgi. Variazioni, calcolo delle, Enciclopedia del Novecento, II Supplemento (1998), Istituto dell'Enciclopedia italiana Treccani
  • Gianni Dal Maso, Variazioni, calcolo delle, Enciclopedia della Scienza e della Tecnica, (2007), Istituto dell'Enciclopedia italiana Treccani

Enlaces externos

  • .


  •   Datos: Q216861
  •   Multimedia: Calculus of variations

cálculo, variaciones, cálculo, variaciones, cálculo, variacional, problema, matemático, consistente, buscar, máximos, mínimos, más, generalmente, extremos, relativos, funcionales, continuos, definidos, sobre, algún, espacio, funcional, constituyen, generalizac. El calculo de variaciones o calculo variacional es un problema matematico consistente en buscar maximos y minimos o mas generalmente extremos relativos de funcionales continuos definidos sobre algun espacio funcional Constituyen una generalizacion del calculo elemental de maximos y minimos de funciones reales de una variable Indice 1 Historia 1 1 Problema Isoperimetrico 1 2 Braquistocrona 2 Formulacion general 2 1 Espacios funcionales 2 2 Extremos relativos debiles y fuertes 3 Vease tambien 4 Referencias 4 1 Bibliografia 4 2 Enlaces externosHistoria EditarEl calculo de variaciones se desarrollo a partir del problema de la curva braquistocrona planteado inicialmente por Johann Bernoulli 1696 Inmediatamente este problema capto la atencion de Jakob Bernoulli y el Marques de L Hopital aunque fue Leonhard Euler el primero que elaboro una teoria del calculo variacional Las contribuciones de Euler se iniciaron en 1733 con su Elementa Calculi Variationum Elementos del calculo de variaciones que da nombre a la disciplina Lagrange contribuyo extensamente a la teoria y Legendre 1786 asento un metodo no enteramente satisfactorio para distinguir entre maximos y minimos Isaac Newton y Gottfried Leibniz tambien prestaron atencion a este asunto 1 Otros trabajos destacados fueron los de Vincenzo Brunacci 1810 Carl Friedrich Gauss 1829 Simeon Poisson 1831 Mijail Ostrogradski 1834 y Carl Jacobi 1837 Un trabajo general particularmente importante es el de Sarrus 1842 que fue resumido por Cauchy 1844 Otros trabajos destacados posteriores son los de Strauch 1849 Jellett 1850 Otto Hesse 1857 Alfred Clebsch 1858 y Carll 1885 aunque quiza el mas importante de los trabajos durante el siglo XIX es el de Weierstrass Este importante trabajo fue una referencia estandar y es el primero que trata el calculo de variaciones sobre una base firme y rigurosa Los problema 20 y 23 de Hilbert planteados en 1900 estimularon algunos desarrollos posteriores 1 Durante el siglo XX David Hilbert Emmy Noether Leonida Tonelli Henri Lebesgue y Jacques Hadamard entre otros hicieron contribuciones notables 1 Marston Morse aplico el calculo de variaciones a lo que actualmente se conoce como teoria de Morse 2 Lev Semenovich Pontryagin Ralph Rockafellar y Clarke desarrollaron nuevas herramientas matematicas dentro de la teoria del control optimo generalizando el calculo de variaciones 2 Problema Isoperimetrico Editar Articulo principal Isoperimetria Cual es el area maxima A que puede rodearse con una curva de longitud L dada Si no existen restricciones adicionales la solucion es A L 2 4 p displaystyle A frac L 2 4 pi Que es el valor que se obtiene para un circulo de radio R L 2 p displaystyle R L 2 pi Si se imponen restricciones adicionales la solucion es diferente Un ejemplo es si suponemos que L se considera sobre una funcion f x displaystyle f x y los extremos de las curva estan sobre los puntos A a 0 B b 0 displaystyle A a 0 B b 0 donde la distancia entre ellos esta dada Es decir A B L displaystyle AB L El problema de hallar una curva que maximice el area entre ella y el eje x seria hallar una funcion f x displaystyle f x de modo que max f a b R I f a b f x d x displaystyle max f a b to mathbb R I f int a b f x dx con las restricciones G f a b 1 f x 2 d x L longitud de arco f a f b 0 displaystyle begin cases G f int a b sqrt 1 f x 2 dx L amp mbox longitud de arco f a f b 0 end cases Braquistocrona Editar El problema de la curva braquistocrona se remonta a J Bernoulli 1696 Se refiere a encontrar una curva en el plano cartesiano que vaya del punto P x 0 y 0 displaystyle P x 0 y 0 al origen de modo que un punto material que se desliza sin friccion sobre ella tarda el menor tiempo posible en ir de P displaystyle P al origen Usando principios de mecanica clasica el problema puede formularse como min f T f 0 x 0 1 f x 2 2 g y 0 y d x displaystyle min f T f int 0 x 0 frac sqrt 1 f x 2 sqrt 2g y 0 y dx donde g es la gravedad y las restricciones son f 0 0 displaystyle f 0 0 f x 0 y 0 displaystyle f x 0 y 0 Hay que notar que en x x 0 displaystyle x x 0 existe una singularidad Formulacion general EditarUno de los problemas tipicos en calculo diferencial es el de encontrar el valor de x displaystyle x para el cual la funcion f x displaystyle f x alcanza un valor extremo maximo o minimo En el calculo de variaciones el problema es encontrar una funcion f x displaystyle f x para la cual un funcional J f displaystyle J f alcance un valor extremo El funcional J f displaystyle J f esta compuesto por una integral que depende de x displaystyle x de la funcion f x displaystyle f x y algunas de sus derivadas 1a max f min f I f a b L x f x f x f x f n x d x displaystyle max f min f left I f int a b mathcal L x f x f x f x dots f n x dx right Donde la funcion f x displaystyle f x pertenece a algun espacio de funciones espacio de Banach espacio de Hilbert y tanto ella como sus derivadas pueden tener restricciones Esta formula integral puede ser mas complicada permitiendo a 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un espacio de Banach V V displaystyle scriptstyle V cdot V adecuado La norma vectorial de dicho espacio es lo que permite definir rigurosamente si una solucion es un minimo o un maximo relativo Por ejemplo una funcion f 0 displaystyle scriptstyle f 0 es un minimo relativo si existe un cierto d gt 0 displaystyle scriptstyle delta gt 0 tal que para toda funcion f displaystyle scriptstyle f se cumpla que f f 0 lt d J f 0 J f displaystyle f f 0 lt delta quad Rightarrow quad J f 0 leq J f Vease tambien EditarCharles Augustin de Coulomb Ecuaciones de Euler Lagrange Derivada funcional Mecanica de suelos Teoria de Mohr Coulomb Torsion mecanicaReferencias Editar a b c van Brunt Bruce 2004 The Calculus of Variations Springer ISBN 0 387 40247 0 a b Ferguson James 2004 Brief Survey of the History of the Calculus of Variations and its Applications arXiv arXiv math 0402357 A Kriegl y P Michor 1989 p 3 Bibliografia Editar A Kriegl y P W Michor Aspects of the theory of inifinite dimensional manifolds Differential Geometry and its Applications 1 1991 pp 159 176 Leonida Tonelli Fondamenti di calcolo delle variazioni N Zanichelli 1921 23 Todhunter I A history of the calculus of variations Chelsea 1861 Carll L B A Treatise On The Calculus Of Variations John Wiley amp sons 1881 Hancock H Lectures on the calculus of variations the Weierstrassian theory Cincinnati University Press 1904 Bolza O Lectures on the calculus of variations Chicago University Press 1904 Byerly W E Introduction to the calculus of variations Harvard University Press 1917 Weinstock R Calculus Of Variations With Applications To Physics And Engineering McGrawHill 1952 Hadamard J e Frechet M Lecons sur le calcul des variations francese Hermann 1910 Fomin S V and Gelfand I M Calculus of Variations Dover Publ 2000 Lebedev L P and Cloud M J The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics World Scientific 2003 pages 1 98 Charles Fox An Introduction to the Calculus of Variations Dover Publ 1987 Giuseppe Buttazzo Gianni Dal Maso Ennio De Giorgi Variazioni calcolo delle Enciclopedia del Novecento II Supplemento 1998 Istituto dell Enciclopedia italiana Treccani Gianni Dal Maso Variazioni calcolo delle Enciclopedia della Scienza e della Tecnica 2007 Istituto dell Enciclopedia italiana TreccaniEnlaces externos Editar Cambios acumulados de esfuerzos de Coulomb Datos Q216861 Multimedia Calculus of variationsObtenido de https es wikipedia org w index php title Calculo de variaciones amp oldid 129992421, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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