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Cumulante

En teoría de la probabilidad y estadística, los cumulantes κn de una distribución de probabilidad son un conjunto de cantidades que proporcionan una alternativa a los momentos de una distribución.

Los momentos determinan los cumulantes en el sentido de que dadas dos distribuciones de probabilidad cuyos momentos sean idénticos, también tendrán cumulantes idénticos, y de manera similar, los cumulantes determinan los momentos.   El primer cumulante es la media, el segundo cumulante es la varianza, y el tercer cumulante es el mismo que el tercer momento central. Pero los cumulantes de cuarto orden o superiores no son iguales a los momentos centrales. En algunos casos, los tratamientos teóricos de los problemas en términos de cumulantes son más simples que los que usan momentos. En particular, cuando dos o más variables aleatorias son independientes, el cumulante de orden nésimo de su suma es igual a la suma de sus cumulantes de orden nésimo. Además, los cumulantes de tercer y mayor orden de una distribución normal son cero, siendo la única distribución con esta propiedad.

Al igual que para los momentos, donde se utilizan momentos conjuntos cuando se trabaja con múltiples variables aleatorias, es posible definir cumulantes conjuntos.

Definición

Los cumulantes de una variable aleatoria X se definen utilizando la función de generación de cumulantes K(t), que es el logaritmo natural de la función generadora de momentos:

 

Los cumulantes κn se obtienen de una expansión en serie de potencias de la función de generación del cumulante:

 

Esta expansión es una serie de Taylor, por lo que el n-ésimo cumulante se puede obtener al diferenciar n veces la expansión anterior e igualar el resultado a cero:[1]

 

Si la función que genera el momento no existe, los cumulantes se pueden definir en términos de una relación con los propios momentos, que se analiza más adelante.

Definición alternativa de la función de generación de cumulantes

Algunos autores[2][3]​ prefieren definir la función de generación de cumulantes como el logaritmo natural de la función característica, que a veces también se denomina la función característica segunda:[4][5]

 

Una ventaja de H(t) (en cierto sentido, la función K(t) evaluada para argumentos puramente imaginarios), es que E(eitX) está bien definida para todos los valores reales de t, incluso cuando E(etX) no está bien definido para todos los valores reales de t, como puede ocurrir cuando hay demasiada probabilidad de que X tenga una gran magnitud. Aunque la función H(t) estará bien definida, no obstante, se asemejará a K(t) en términos de la longitud de su serie de Taylor, que puede no extenderse más allá (o, rara vez, incluso a) el orden lineal en el argumento t, y en particular el número de Los cumulantes que están bien definidos no cambiará. Sin embargo, incluso cuando H(t) no tiene una serie larga de Maclaurin, puede usarse directamente para analizar y, particularmente, para agregar variables aleatorias. Tanto la distribución de Cauchy (también llamada Lorentziana) como, en general, las distribuciones estables (relacionadas con la distribución de Lévy) son ejemplos de distribuciones para las cuales las expansiones de las funciones de generación de la serie de potencias tienen solo finamente muchos términos bien definidos.

Usos en estadística

Trabajar con cumulantes puede tener una ventaja sobre el uso de momentos, porque para las variables aleatorias estadísticamente independientes X y Y,

 

de modo que cada cumulante de una suma de variables aleatorias independientes, es la suma de los correspondientes cumulantes de los sumandos. Es decir, cuando los sumandos son estadísticamente independientes, la media de la suma es la suma de las medias, la varianza de la suma es la suma de las varianzas, el tercer cumulante (que es el tercer momento central) de la suma es la suma de los terceros cumulantes, y así sucesivamente para cada orden de cumulante.

Una distribución con los κn cumulantes dados se puede aproximar a través de una expansión de Edgeworth.

Cumulantes de algunas distribuciones de probabilidad discretas

  • Las variables aleatorias constantes X = μ. La función de generación acumulada es K(t) =μt. El primer cumulante es κ1 = K '(0) = μ y los otros cumulantes son cero, κ2 = κ3 = κ4 = ... = 0.
  • Las distribuciones de Bernouilli, (número de éxitos en una prueba con probabilidad p de éxito). La función de generación acumulada es K(t) = log(1 − p + pet). Los primeros cumulantes son κ1 = K '(0) = p y κ2 = K′′(0) = p·(1 − p). Los cumulantes satisfacen una fórmula de recursión.
 
  • Las distribuciones geométricas, (número de fallos antes de un éxito con probabilidad p de éxito en cada prueba). La función de generación acumulada es K(t) = log(p / (1 + (p − 1)et)). Los primeros cumulantes son κ1 = K′(0) = p−1 − 1 y κ2 = K′′(0) = κ1p−1. Sustituyendo p = (μ + 1)−1 resulta K(t) = −log(1 + μ(1−et)) y κ1 = μ.
  • Las distribuciones de Poisson. La función de generación acumulada es K(t) = μ(et − 1). Todos los cumulantes son iguales al parámetro: κ1 = κ2 = κ3 = ... = μ.
  • Las distribuciones binomiales, (número de éxitos en n pruebas independientes, con probabilidad p de éxito en cada prueba). El caso especial n = 1 es una distribución de Bernoulli. Cada cumulante es exactamente n veces el correspondiente cumulante de la distribución de Bernoulli considerada. La función de generación acumulada es K(t) = n log(1 − p + pet). Los primeros cumulantes son κ1 = K′(0) = np y κ2 = K′′(0) = κ1(1 − p). Sustituyendo p = μ·n−1 da K '(t) = ((μ−1n−1)·et + n−1)−1 y κ1 = μ. El caso límite n−1 = 0 es una distribución de Poisson.
  • Las distribuciones binomiales negativas, (número de fallos antes de n éxitos, con probabilidad p de éxito en cada prueba). El caso especial n = 1 es una distribución geométrica. Cada cumulante es exactamente n veces el correspondiente cumulante de la distribución geométrica considerada. La derivada de la función de generación acumulativa es K '(t) =  n· ((1 - p)−1· et −1) −1. Los primeros cumulantes son κ1 = K  '(0) = n· (p−1 − 1), y κ2 = K ' '(0) = κ1· p−1. Sustituyendo p = (μ · n−1 + 1) −1 da K′(t) = ((μ−1 + n−1)etn−1)−1 y κ1 = μ. La comparación de estas fórmulas con las de las distribuciones binomiales explica el nombre de distribución binomial negativa. El caso límite n−1 = 0 es una distribución de Poisson.

Introduciendo la relación varianza-media

 

las distribuciones de probabilidad anteriores proporcionan una fórmula unificada para la derivada de la función de generación acumulativa:

 

La segunda derivada es

 

confirmando que el primer cumulante es κ1 = K′(0) = μ y el segundo cumulante es κ2 = K′′(0) = με. Las variables aleatorias constantes X = μ tienen ε = 0. Las distribuciones binomiales tienen ε = 1 − p para que 0 < ε < 1. Las distribuciones de Poisson tienen ε = 1. Las distribuciones binomiales negativas tienen ε = p−1 para que ε > 1. Nótese la analogía con la clasificación de las secciones cónicas según su excentricidad: círculos ε = 0, elipses 0 < ε < 1, parábolas ε = 1, e hipérbolas ε > 1.

Cumulantes de algunas distribuciones de probabilidad continua

  • Para la distribución normal con esperanza matemática μ y varianza σ2, la función de generación de cumulantes es K(t) = μt + σ2t2 / 2. La primera y la segunda derivadas de la función de generación de cumulantes son K '(t) = μ + σ2·t y K (t) = σ2.

Los cumulantes son κ1 = μ, κ2 = σ2, y κ3 = κ4 = ... = 0. El caso especial σ2 = 0 es una variable aleatoria constante X = μ.

Algunas propiedades de la función de generación de cumulantes

La función de generación de cumulantes K (t), si existe, es una función continuamente diferenciable y convexa, y pasa a través del origen. Su primera derivada varía monótonamente en el intervalo abierto desde el ínfimo al supremo del soporte de la distribución de probabilidad, y su segunda derivada es siempre estrictamente positiva, excepto en el caso de la distribución degenerada de una sola masa puntual. La función de generación de cumulantes existe si y solo si las colas de la distribución son mayoradas por un decaimiento exponencial, es decir, (véase cota superior asintótica )

 

donde   es la función de distribución. La función de generación de cumulantes tendrá asíntota(s) en el ínfimo de tal c, si existe tal ínfimo, y en el supremo de tal d, si existe tal supremo, de lo contrario será definido para todos los números reales.

Si el soporte de una variable aleatoria X tiene límites finitos superiores o inferiores, entonces su función de generación de cumulantes y =  K (t), si existe, se acerca a la asíntota(s) cuya pendiente es igual al supremo y/o al mínimo del soporte,

 

respectivamente, siempre por encima de estas dos líneas. (Las integrales

 

proporcionan la intersección con el eje y de estas asíntotas, ya que K(0) = 0).

Para un desplazamiento de la distribución de valor c,   Para una masa puntual degenerada en c, la función generadora de cumulantes es la línea recta  , y más generalmente,   si y solo si X e Y son independientes y sus funciones generadoras de cumulantes existen; (la subindependencia y la existencia de segundos momentos son suficientes para implicar la independencia).[6]

La familia exponencial natural de una distribución puede realizarse cambiando o trasladando K(t), y ajustándolo verticalmente para que siempre pase por el origen: si f es la serie de potencias con función generadora de cumulantes   y   es su familia exponencial natural, entonces   y  

Si K(t) es finito para un rango t1 < Re(t) < t2, entonces si t1 < 0 < t2 entonces K(t) es analítica e infinitamente diferenciable para t1 < Re(t) < t2. Además, para t real y t1t < t2 K(t) es estrictamente convexo, y K' (t) es estrictamente creciente.

Algunas propiedades de los cumulantes

Invarianza y equivarianza

El primer cumulante es equivariante y todos los demás son invariantes. Esto significa que, si se denota con κn (X) el n-ésimo cumulante de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, entonces para cualquier constante c:

  •  
  •  

En otras palabras, cambiar una variable aleatoria (agregando c) cambia el primer cumulante (la media) y no afecta a ninguno de los otros.

Homogeneidad

El n-ésimo cumulante es homogéneo de grado n, es decir, si c es una constante, entonces

 

Aditividad

Si X e Y son variables aleatorias independientes, entonces κn(X + Y) = κn(X) + κn(Y).

Resultado negativo

Dados los resultados para los cumulantes de la distribución normal, podría esperarse encontrar familias de distribuciones para las cuales κm = κm+1 = ⋯ = 0 para algunos m > 3, con los cumulantes de orden inferior (órdenes 3 a m − 1) que no son cero. No existen tales distribuciones.[7]​ El resultado subyacente aquí es que la función de generación de cumulantes no puede ser un polinomio de orden finito de grado mayor que 2.

Cumulantes y momentos

La función generadora de momentos viene dada por:

 

Así que la función de generación de cumulantes es el logaritmo de la función de generación de momentos

 

El primer cumulante es la esperanza matemática; el segundo y tercer cumulantes son, respectivamente, el segundo y el tercer momento central (el segundo momento central es la varianza); pero los cumulantes superiores no son ni momentos ni momentos centrales, sino más bien funciones polinomiales más complicadas de los momentos.

Los momentos se pueden recuperar en términos de cumulantes mediante la evaluación de la n-ésima derivada de   en  .

 

Del mismo modo, los cumulantes se pueden recuperar en términos de momentos mediante la evaluación de la n-ésima derivada de   en  ,

 

La expresión explícita para el momento n-ésimo en términos de los primeros n cumulantes, y viceversa, se puede obtener utilizando la fórmula de Faà di Bruno para derivadas más altas de funciones compuestas. En general, se tiene que

 
 

donde   son polinomios de Bell incompletos (o parciales).

De manera similar, si la media viene dada por  , la función de generación del momento central está dada por

 

y el n-ésimo momento central se obtiene en términos de cumulantes como

 

Además, para n > 1, el n-ésimo cumulante en términos de los momentos centrales es

 

El n-ésimo momento μ´n es un polinomio de grado n en los primeros n cumulantes. Las primeras expresiones son:

 

La notación con comillas distingue los momentos μn de los momentos centrales μn. Para expresar los momentos centrales como funciones de los cumulantes, se deben eliminar de estos polinomios todos los términos en los cuales κ1 aparece como un factor:

 

De manera similar, el n-ésimo cumulante κn es un polinomio de grado n en los primeros n momentos no centrales. Las primeras expresiones son:

 

Para expresar los cumulantes κn para n > 1 como funciones de los momentos centrales, se deben eliminar de estos polinomios todos los términos en los que μ'1 aparece como un factor:

 
 
 
 
 

Para expresar los cumulantes κn para n > 2 como funciones de momentos estándar centrales, también hágase μ'2=1 en los polinomios:

 
 
 
 

Los cumulantes también están relacionados con los momentos por la siguiente fórmula de recursión:

 

Cumulantes y particiones

Estos polinomios tienen una notable interpretación combinatoria: los coeficientes permiten contabilizar ciertas particiones de conjuntos. Una forma general de estos polinomios es

 

donde

  • Π recorre la lista de todas las particiones de un conjunto de tamaño n;
  • "B ∈ Π" significa que B es uno de los "bloques" en los que se divide el conjunto; y
  • | B | es el tamaño del conjunto B.

Por lo tanto, cada monomio es una constante por un producto de cumulantes en el que la suma de los índices es n (por ejemplo, en el término κ3 κ22 κ1, la suma de los índices es 3 + 2 + 2 + 1 = 8; esto aparece en el polinomio que expresa el octavo momento en función de los primeros ocho cumulantes. Una partición de un número entero n corresponde a cada término. El "coeficiente" en cada término es el número de particiones de un conjunto de miembros de n que colapsan en esa partición del entero n cuando los miembros del conjunto se vuelven indistinguibles.

Cumulantes y combinatoria

Se puede encontrar una conexión adicional entre cumulantes y combinatoria en el trabajo de Gian-Carlo Rota y Jianhong (Jackie) Shen, donde se estudian los enlaces a la teoría de invariantes, funciones simétricas, y secuencias binomiales a través del cálculo umbral.[8]

Cumulantes conjuntos

El cumulante conjunto de varias variables aleatorias X1, ...,  Xn se define por una función de generación de cumulantes similar

 

Una consecuencia es que

 

donde Π recorre la lista de todas las particiones de { 1, ..., n }, B recorre la lista de todos los bloques de la partición Π, y | Π | es el número de partes en la partición. Por ejemplo,

 

Si alguna de estas variables aleatorias son idénticas, por ejemplo, X = Y, se aplican las mismas fórmulas, por ejemplo:

 

Aunque para tales variables repetidas hay fórmulas más concisas. Para vectores aleatorios de media cero,

 
 

El cumulante conjunto de una sola variable aleatoria es su valor esperado, y el de dos variables aleatorias es su covarianza. Si algunas de las variables aleatorias son independientes de todas las demás, entonces cualquier cumulante que involucre dos (o más) variables aleatorias independientes es cero. Si todas las variables aleatorias de n son iguales, entonces el cumulante conjunto es el n-ésimo cumulante ordinario.

El significado combinatorio de la expresión de momentos en términos de cumulantes es más fácil de entender que el de los cumulantes en términos de momentos:

 

Por ejemplo:

 

Otra propiedad importante de los cumulantes conjuntos es la multilinealidad:

 

Así como el segundo cumulante es la varianza, el cumulante conjunto de solo dos variables aleatorias es su covarianza. La conocida identidad

 

se generaliza a los cumulantes:

 

Cumulantes condicionales y la ley de cumulancia total

La ley de expectativa total y la ley de varianza total se generalizan naturalmente a los cumulantes condicionales. El caso n = 3, expresado en el lenguaje de momentos (centrales) en lugar de en el de los cumulantes, dice

 

En general,[9]

 

donde

  • La suma supera a todas las particiones Π del conjunto { 1, ..., n } de los índices, y
  • Π1, ..., Πb son todos los "bloques" de la partición Π; la expresión κ(XΠm) indica que el conjunto de cumulantes de las variables aleatorias cuyos índices están en ese bloque de la partición.

Relación con la física estadística

En física estadística, muchas propiedades intensivas y extensivas, es decir, cantidades que son proporcionales al volumen o tamaño de un sistema dado, están relacionadas con los cumulantes de variables aleatorias. La conexión profunda es que, en un sistema grande, una cantidad extensa como la energía o el número de partículas se puede considerar como la suma de (por caso) la energía asociada con un número de regiones casi independientes. El hecho de que los cumulantes de estas variables aleatorias casi independientes (casi) se sumen, hace que sea razonable que se espere que grandes cantidades estén relacionadas con los cumulantes.

Un sistema en equilibrio con un baño térmico a temperatura "T" puede ocupar los estados de energía E. La energía E puede considerarse una variable aleatoria, teniendo una densidad de probabilidad. La función de partición del sistema es

 

donde β = 1 / (kT) y k es la constante de Boltzmann; usando la notación   en lugar de   para el valor esperado para evitar confusiones con la energía, E. La energía de Helmholtz es entonces

 

y está claramente muy relacionada con la función de generación de cumulantes para la energía. La energía libre da acceso a todas las propiedades termodinámicas del sistema a través de sus derivadas de orden primero, segundo o superior, como su energía interna, entropía y capacidad calorífica. Debido a la relación entre la energía libre y la función de generación de cumulantes, todas estas cantidades están relacionadas con los cumulantes, por ejemplo, la energía y el calor específico vienen dados por

 
 

y   simboliza el segundo cumulante de la energía. Otra energía libre a menudo también es una función de otras variables como el campo magnético o el potencial químico  , por ejemplo.

 

donde N es el número de partículas y   es el potencial principal. Una vez más, la estrecha relación entre la definición de energía libre y la función de generación de cumulantes implica que varias derivadas de esta energía libre se pueden describir en términos de cumulantes conjuntos de E y de N.

Historia

La historia de los cumulantes ha sido estudiada por Anders Hald.[10][11]

Los cumulantes fueron introducidos por primera vez por Thorvald N. Thiele, en 1889, quien los llamó "semi-invariantes".[12]​ Fueron llamados cumulantes por primera vez en un artículo[13]​ de 1932 firmado por Ronald Fisher y John Wishart. Fisher recordó públicamente el trabajo de Thiele a través de Neyman, quien también señala las citas publicadas anteriores de Thiele que llamaron la atención de Fisher.[14]​ Stephen Stigler señaló que el nombre cumulante fue sugerido a Fisher en una carta de Harold Hotelling. En un artículo publicado en 1929,[15]​ Fisher los había llamado "funciones de momento acumulativo". La función de partición en física estadística fue introducida por Josiah Willard Gibbs en 1901. La energía libre a menudo se llama energía libre de Gibbs. En física estadística, los cumulantes también se conocen como funciones de Ursell, relacionados con una publicación en 1927.

Cumulantes en entornos generalizados

Cumulantes formales

De manera más general, los cumulantes de una secuencia {mn: n = 1, 2, 3, ...}, no necesariamente los momentos de cualquier distribución de probabilidad, son, por definición,

 

donde los valores de κn para n = 1, 2, 3, ... se encuentran formalmente, es decir, solo por álgebra, sin tener en cuenta las dudas de si alguna serie converge. Todas las dificultades del "problema de los cumulantes" están ausentes cuando se trabaja formalmente. El ejemplo más simple es que el segundo cumulante de una distribución de probabilidad siempre debe ser no negativo, y es cero solo si todos los cumulantes más altos son cero. Los cumulantes formales no están sujetos a tales restricciones.

Números de Bell

En combinatoria, el n-ésimo número de Bell es el número de particiones de un conjunto de tamaño n. Todos los cumulantes de la secuencia de números de Bell son iguales a 1. Los números de Bell son los momentos de la distribución de Poisson con valor esperado 1.

Cumulantes de una secuencia polinómica de tipo binomial

Para cualquier secuencia {κn: n = 1, 2, 3, ...} de escalares en un campo de característica cero, que se consideran cumulantes formales, existe una secuencia correspondiente { μ ′: n = 1, 2, 3, ... } de los momentos formales, dados por los polinomios de arriba. Para esos polinomios, es posible construir una sucesión polinómica de la siguiente manera. Fuera del polinomio

 

constrúyase un nuevo polinomio con una variable adicional x:

 

y a continuación se generaliza el patrón, consistente en que los números de bloques en las particiones antes mencionadas son los exponentes en x. Cada coeficiente es un polinomio en los cumulantes; estos son los polinomios de Bell, nombrados así en honor del matemático Eric Temple Bell.

Esta secuencia de polinomios es de tipo binomial. De hecho, no existen otras secuencias de tipo binomial; cada secuencia polinomial de tipo binomial está completamente determinada por su secuencia de cumulantes formales.

Cumulantes libres

En la fórmula de momento-cumulante anterior

 

para los cumulantes conjuntos, se suman todas las particiones del conjunto {1, ..., n}. Si, por el contrario, solo se suman las particiones no cruzadas, al resolver estas fórmulas para   en términos de los momentos, se obtienen cumulantes libres en lugar de los cumulantes convencionales tratados anteriormente. Estos cumulantes libres fueron introducidos por Roland Speicher[16]​ y juegan un papel central en la teoría de probabilidad libre.[17]​ En esa teoría, en lugar de considerar la independencia de las variables aleatorias, definidas en términos de producto tensorial de variables aleatorias, se considera en cambio la independencia libre de variables aleatorias, definidas en términos de productos libres de álgebras.[17]

Los cumulantes ordinarios de grado superior a 2 de una distribución normal son cero. Los cumulantes libres de grado superior a 2 de la distribución semicircular de Wigner son cero.[17]​ Este es un aspecto en el cual el papel de la distribución de Wigner en la teoría de probabilidad libre es análogo al de la distribución normal en la teoría de probabilidad convencional.

Véase también

Referencias

  1. Weisstein, Eric W. "Cumulant". From MathWorld – A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Cumulant.html
  2. Kendall, M. G., Stuart, A. (1969) The Advanced Theory of Statistics, Volume 1 (3rd Edition). Griffin, London. (Section 3.12)
  3. Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition). Griffin, London. (Page 27)
  4. Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition). Griffin, London. (Section 2.4)
  5. Aapo Hyvarinen, Juha Karhunen, and Erkki Oja (2001) Independent Component Analysis, John Wiley & Sons. (Section 2.7.2)
  6. Hamedani, G. G.; Volkmer, Hans; Behboodian, J. (1 de marzo de 2012). «A note on sub-independent random variables and a class of bivariate mixtures». Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica 49 (1): 19-25. doi:10.1556/SScMath.2011.1183. 
  7. Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition), Griffin, London. (Theorem 7.3.5)
  8. Rota, G.-C.; Shen, J. (2000). «On the Combinatorics of Cumulants». Journal of Combinatorial Theory. Series A 91 (1–2): 283-304. doi:10.1006/jcta.1999.3017. 
  9. Brillinger, D.R. (1969). «The Calculation of Cumulants via Conditioning». Annals of the Institute of Statistical Mathematics 21: 215-218. doi:10.1007/bf02532246. 
  10. Hald, A. (2000) "The early history of the cumulants and the Expansiones de Edgeworth" International Statistical Review, 68 (2): 137–153. (Reprinted in Steffen L. Lauritzen, ed. (2002). Thiele: Pioneer in Statistics. Oxford U. P. ISBN 978-0-19-850972-1. «Thorvald N. Thiele». )
  11. Hald, Anders (1998). A History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-17912-2. 
  12. H. Cramér (1946) Mathematical Methods of Statistics, Princeton University Press, Section 15.10, p. 186.
  13. Fisher, R.A., John Wishart, J.. (1932) The derivation of the pattern formulae of two-way partitions from those of simpler patterns, Proceedings of the London Mathematical Society, Series 2, v. 33, pp. 195–208 doi 10.1112/plms/s2-33.1.195 10.1112/plms/s2-33.1.195
  14. Neyman, J. (1956): ‘Note on an Article by Sir Ronald Fisher,’ Journal of the Royal Statistical Society, Series B (Methodological), 18, pp. 288–94.
  15. Fisher, R. A. (1929). «Moments and Product Moments of Sampling Distributions». Proceedings of the London Mathematical Society 30: 199-238. doi:10.1112/plms/s2-30.1.199. 
  16. Speicher, Roland (1994), "Multiplicative functions on the lattice of non-crossing partitions and free convolution", Mathematische Annalen, 298 (4): 611–628
  17. Novak, Jonathan; Śniady, Piotr (2011). «What Is a Free Cumulant?». Notices of the American Mathematical Society 58 (2): 300-301. ISSN 0002-9920. 

Enlaces externos

  •   Datos: Q746007

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En teoria de la probabilidad y estadistica los cumulantes kn de una distribucion de probabilidad son un conjunto de cantidades que proporcionan una alternativa a los momentos de una distribucion Los momentos determinan los cumulantes en el sentido de que dadas dos distribuciones de probabilidad cuyos momentos sean identicos tambien tendran cumulantes identicos y de manera similar los cumulantes determinan los momentos El primer cumulante es la media el segundo cumulante es la varianza y el tercer cumulante es el mismo que el tercer momento central Pero los cumulantes de cuarto orden o superiores no son iguales a los momentos centrales En algunos casos los tratamientos teoricos de los problemas en terminos de cumulantes son mas simples que los que usan momentos En particular cuando dos o mas variables aleatorias son independientes el cumulante de orden nesimo de su suma es igual a la suma de sus cumulantes de orden nesimo Ademas los cumulantes de tercer y mayor orden de una distribucion normal son cero siendo la unica distribucion con esta propiedad Al igual que para los momentos donde se utilizan momentos conjuntos cuando se trabaja con multiples variables aleatorias es posible definir cumulantes conjuntos Indice 1 Definicion 1 1 Definicion alternativa de la funcion de generacion de cumulantes 2 Usos en estadistica 3 Cumulantes de algunas distribuciones de probabilidad discretas 4 Cumulantes de algunas distribuciones de probabilidad continua 5 Algunas propiedades de la funcion de generacion de cumulantes 6 Algunas propiedades de los cumulantes 6 1 Invarianza y equivarianza 6 2 Homogeneidad 6 3 Aditividad 6 4 Resultado negativo 6 5 Cumulantes y momentos 6 6 Cumulantes y particiones 6 7 Cumulantes y combinatoria 7 Cumulantes conjuntos 7 1 Cumulantes condicionales y la ley de cumulancia total 8 Relacion con la fisica estadistica 9 Historia 10 Cumulantes en entornos generalizados 10 1 Cumulantes formales 10 2 Numeros de Bell 10 3 Cumulantes de una secuencia polinomica de tipo binomial 10 4 Cumulantes libres 11 Vease tambien 12 Referencias 13 Enlaces externosDefinicion EditarLos cumulantes de una variable aleatoria X se definen utilizando la funcion de generacion de cumulantes K t que es el logaritmo natural de la funcion generadora de momentos K t log E e t X displaystyle K t log operatorname E left e tX right Los cumulantes kn se obtienen de una expansion en serie de potencias de la funcion de generacion del cumulante K t n 1 k n t n n m t s 2 t 2 2 displaystyle K t sum n 1 infty kappa n frac t n n mu t sigma 2 frac t 2 2 cdots Esta expansion es una serie de Taylor por lo que el n esimo cumulante se puede obtener al diferenciar n veces la expansion anterior e igualar el resultado a cero 1 k n K n 0 displaystyle kappa n K n 0 Si la funcion que genera el momento no existe los cumulantes se pueden definir en terminos de una relacion con los propios momentos que se analiza mas adelante Definicion alternativa de la funcion de generacion de cumulantes Editar Algunos autores 2 3 prefieren definir la funcion de generacion de cumulantes como el logaritmo natural de la funcion caracteristica que a veces tambien se denomina la funcion caracteristica segunda 4 5 H t log E e i t X n 1 k n i t n n m i t s 2 t 2 2 displaystyle H t log operatorname E left e itX right sum n 1 infty kappa n frac it n n mu it sigma 2 frac t 2 2 cdots Una ventaja de H t en cierto sentido la funcion K t evaluada para argumentos puramente imaginarios es que E eitX esta bien definida para todos los valores reales de t incluso cuando E etX no esta bien definido para todos los valores reales de t como puede ocurrir cuando hay demasiada probabilidad de que X tenga una gran magnitud Aunque la funcion H t estara bien definida no obstante se asemejara a K t en terminos de la longitud de su serie de Taylor que puede no extenderse mas alla o rara vez incluso a el orden lineal en el argumento t y en particular el numero de Los cumulantes que estan bien definidos no cambiara Sin embargo incluso cuando H t no tiene una serie larga de Maclaurin puede usarse directamente para analizar y particularmente para agregar variables aleatorias Tanto la distribucion de Cauchy tambien llamada Lorentziana como en general las distribuciones estables relacionadas con la distribucion de Levy son ejemplos de distribuciones para las cuales las expansiones de las funciones de generacion de la serie de potencias tienen solo finamente muchos terminos bien definidos Usos en estadistica EditarTrabajar con cumulantes puede tener una ventaja sobre el uso de momentos porque para las variables aleatorias estadisticamente independientes X y Y K X Y t log E e t X Y log E e t X E e t Y log E e t X log E e t Y K X t K Y t displaystyle begin aligned K X Y t amp log operatorname E left e t X Y right 5pt amp log left operatorname E left e tX right operatorname E left e tY right right 5pt amp log operatorname E left e tX right log operatorname E left e tY right 5pt amp K X t K Y t end aligned de modo que cada cumulante de una suma de variables aleatorias independientes es la suma de los correspondientes cumulantes de los sumandos Es decir cuando los sumandos son estadisticamente independientes la media de la suma es la suma de las medias la varianza de la suma es la suma de las varianzas el tercer cumulante que es el tercer momento central de la suma es la suma de los terceros cumulantes y asi sucesivamente para cada orden de cumulante Una distribucion con los kn cumulantes dados se puede aproximar a traves de una expansion de Edgeworth Cumulantes de algunas distribuciones de probabilidad discretas EditarLas variables aleatorias constantes X m La funcion de generacion acumulada es K t mt El primer cumulante es k1 K 0 m y los otros cumulantes son cero k2 k3 k4 0 Las distribuciones de Bernouilli numero de exitos en una prueba con probabilidad p de exito La funcion de generacion acumulada es K t log 1 p pet Los primeros cumulantes son k1 K 0 p y k2 K 0 p 1 p Los cumulantes satisfacen una formula de recursion k n 1 p 1 p d k n d p displaystyle kappa n 1 p 1 p frac d kappa n dp dd Las distribuciones geometricas numero de fallos antes de un exito con probabilidad p de exito en cada prueba La funcion de generacion acumulada es K t log p 1 p 1 et Los primeros cumulantes son k1 K 0 p 1 1 y k2 K 0 k1p 1 Sustituyendo p m 1 1 resulta K t log 1 m 1 et y k1 m Las distribuciones de Poisson La funcion de generacion acumulada es K t m et 1 Todos los cumulantes son iguales al parametro k1 k2 k3 m Las distribuciones binomiales numero de exitos en n pruebas independientes con probabilidad p de exito en cada prueba El caso especial n 1 es una distribucion de Bernoulli Cada cumulante es exactamente n veces el correspondiente cumulante de la distribucion de Bernoulli considerada La funcion de generacion acumulada es K t n log 1 p pet Los primeros cumulantes son k1 K 0 np y k2 K 0 k1 1 p Sustituyendo p m n 1 da K t m 1 n 1 e t n 1 1 y k1 m El caso limite n 1 0 es una distribucion de Poisson Las distribuciones binomiales negativas numero de fallos antes de n exitos con probabilidad p de exito en cada prueba El caso especial n 1 es una distribucion geometrica Cada cumulante es exactamente n veces el correspondiente cumulante de la distribucion geometrica considerada La derivada de la funcion de generacion acumulativa es K t n 1 p 1 e t 1 1 Los primeros cumulantes son k1 K 0 n p 1 1 y k2 K 0 k1 p 1 Sustituyendo p m n 1 1 1 da K t m 1 n 1 e t n 1 1 y k1 m La comparacion de estas formulas con las de las distribuciones binomiales explica el nombre de distribucion binomial negativa El caso limite n 1 0 es una distribucion de Poisson Introduciendo la relacion varianza media e m 1 s 2 k 1 1 k 2 displaystyle varepsilon mu 1 sigma 2 kappa 1 1 kappa 2 las distribuciones de probabilidad anteriores proporcionan una formula unificada para la derivada de la funcion de generacion acumulativa K t m 1 e e t 1 1 displaystyle K t mu cdot 1 varepsilon cdot e t 1 1 La segunda derivada es K t g t 1 e t e 1 1 1 displaystyle K t g t cdot 1 e t cdot varepsilon 1 1 1 confirmando que el primer cumulante es k1 K 0 m y el segundo cumulante es k2 K 0 me Las variables aleatorias constantes X m tienen e 0 Las distribuciones binomiales tienen e 1 p para que 0 lt e lt 1 Las distribuciones de Poisson tienen e 1 Las distribuciones binomiales negativas tienen e p 1 para que e gt 1 Notese la analogia con la clasificacion de las secciones conicas segun su excentricidad circulos e 0 elipses 0 lt e lt 1 parabolas e 1 e hiperbolas e gt 1 Cumulantes de algunas distribuciones de probabilidad continua EditarPara la distribucion normal con esperanza matematica m y varianza s2 la funcion de generacion de cumulantes es K t mt s2t2 2 La primera y la segunda derivadas de la funcion de generacion de cumulantes son K t m s2 t y K t s2 Los cumulantes son k1 m k2 s2 y k3 k4 0 El caso especial s2 0 es una variable aleatoria constante X m Los cumulantes de la distribucion uniforme en el intervalo 1 0 son kn Bn n donde Bn es el n esimo numero de Bernoulli Los cumulantes de la distribucion exponencial con el parametro l son kn l n n 1 Algunas propiedades de la funcion de generacion de cumulantes EditarLa funcion de generacion de cumulantes K t si existe es una funcion continuamente diferenciable y convexa y pasa a traves del origen Su primera derivada varia monotonamente en el intervalo abierto desde el infimo al supremo del soporte de la distribucion de probabilidad y su segunda derivada es siempre estrictamente positiva excepto en el caso de la distribucion degenerada de una sola masa puntual La funcion de generacion de cumulantes existe si y solo si las colas de la distribucion son mayoradas por un decaimiento exponencial es decir vease cota superior asintotica c gt 0 F x O e c x x and d gt 0 1 F x O e d x x displaystyle begin aligned amp exists c gt 0 F x O e cx x to infty text and 4pt amp exists d gt 0 1 F x O e dx x to infty end aligned donde F displaystyle F es la funcion de distribucion La funcion de generacion de cumulantes tendra asintota s en el infimo de tal c si existe tal infimo y en el supremo de tal d si existe tal supremo de lo contrario sera definido para todos los numeros reales Si el soporte de una variable aleatoria X tiene limites finitos superiores o inferiores entonces su funcion de generacion de cumulantes y K t si existe se acerca a la asintota s cuya pendiente es igual al supremo y o al minimo del soporte y t 1 inf sup X m X and y t 1 sup sup X m X displaystyle begin aligned y amp t 1 inf operatorname sup X mu X text and 5pt y amp t 1 sup operatorname sup X mu X end aligned respectivamente siempre por encima de estas dos lineas Las integrales 0 t inf sup X K t d t 0 t inf sup X K t d t displaystyle int infty 0 left t inf operatorname sup X K t right dt qquad int infty 0 left t inf operatorname sup X K t right dt proporcionan la interseccion con el eje y de estas asintotas ya que K 0 0 Para un desplazamiento de la distribucion de valor c K X c t K X t c t displaystyle K X c t K X t ct Para una masa puntual degenerada en c la funcion generadora de cumulantes es la linea recta K c t c t displaystyle K c t ct y mas generalmente K X Y K X K Y displaystyle K X Y K X K Y si y solo si X e Y son independientes y sus funciones generadoras de cumulantes existen la subindependencia y la existencia de segundos momentos son suficientes para implicar la independencia 6 La familia exponencial natural de una distribucion puede realizarse cambiando o trasladando K t y ajustandolo verticalmente para que siempre pase por el origen si f es la serie de potencias con funcion generadora de cumulantes K t log M t displaystyle K t log M t y f 8 displaystyle f theta es su familia exponencial natural entonces f x 8 1 M 8 e 8 x f x displaystyle f x mid theta frac 1 M theta e theta x f x y K t 8 K t 8 K 8 displaystyle K t mid theta K t theta K theta Si K t es finito para un rango t1 lt Re t lt t2 entonces si t1 lt 0 lt t2 entonces K t es analitica e infinitamente diferenciable para t1 lt Re t lt t2 Ademas para t real y t1 lt t lt t2 K t es estrictamente convexo y K t es estrictamente creciente Algunas propiedades de los cumulantes EditarInvarianza y equivarianza Editar El primer cumulante es equivariante y todos los demas son invariantes Esto significa que si se denota con kn X el n esimo cumulante de la distribucion de probabilidad de la variable aleatoria X entonces para cualquier constante c k 1 X c k 1 X c and displaystyle kappa 1 X c kappa 1 X c text and k n X c k n X for n 2 displaystyle kappa n X c kappa n X text for n geq 2 En otras palabras cambiar una variable aleatoria agregando c cambia el primer cumulante la media y no afecta a ninguno de los otros Homogeneidad Editar El n esimo cumulante es homogeneo de grado n es decir si c es una constante entonces k n c X c n k n X displaystyle kappa n cX c n kappa n X Aditividad Editar Si X e Y son variables aleatorias independientes entonces kn X Y kn X kn Y Resultado negativo Editar Dados los resultados para los cumulantes de la distribucion normal podria esperarse encontrar familias de distribuciones para las cuales km km 1 0 para algunos m gt 3 con los cumulantes de orden inferior ordenes 3 a m 1 que no son cero No existen tales distribuciones 7 El resultado subyacente aqui es que la funcion de generacion de cumulantes no puede ser un polinomio de orden finito de grado mayor que 2 Cumulantes y momentos Editar La funcion generadora de momentos viene dada por M t 1 n 1 m n t n n exp n 1 k n t n n exp K t displaystyle M t 1 sum n 1 infty frac mu n t n n exp left sum n 1 infty frac kappa n t n n right exp K t Asi que la funcion de generacion de cumulantes es el logaritmo de la funcion de generacion de momentos K t log M t displaystyle K t log M t El primer cumulante es la esperanza matematica el segundo y tercer cumulantes son respectivamente el segundo y el tercer momento central el segundo momento central es la varianza pero los cumulantes superiores no son ni momentos ni momentos centrales sino mas bien funciones polinomiales mas complicadas de los momentos Los momentos se pueden recuperar en terminos de cumulantes mediante la evaluacion de la n esima derivada de exp K t displaystyle exp K t en t 0 displaystyle t 0 m n M n 0 d n exp K t d t n t 0 displaystyle mu n M n 0 left frac mathrm d n exp K t mathrm d t n right t 0 Del mismo modo los cumulantes se pueden recuperar en terminos de momentos mediante la evaluacion de la n esima derivada de log M t displaystyle log M t en t 0 displaystyle t 0 k n K n 0 d n log M t d t n t 0 displaystyle kappa n K n 0 left frac mathrm d n log M t mathrm d t n right t 0 La expresion explicita para el momento n esimo en terminos de los primeros n cumulantes y viceversa se puede obtener utilizando la formula de Faa di Bruno para derivadas mas altas de funciones compuestas En general se tiene que m n k 1 n B n k k 1 k n k 1 displaystyle mu n sum k 1 n B n k kappa 1 ldots kappa n k 1 k n k 1 n 1 k 1 k 1 B n k m 1 m n k 1 displaystyle kappa n sum k 1 n 1 k 1 k 1 B n k mu 1 ldots mu n k 1 donde B n k displaystyle B n k son polinomios de Bell incompletos o parciales De manera similar si la media viene dada por m displaystyle mu la funcion de generacion del momento central esta dada por C t E e t x m e m t M t exp K t m t displaystyle C t operatorname E e t x mu e mu t M t exp K t mu t y el n esimo momento central se obtiene en terminos de cumulantes como m n C n 0 d n d t n exp K t m t t 0 k 1 n B n k 0 k 2 k n k 1 displaystyle mu n C n 0 left frac mathrm d n mathrm d t n exp K t mu t right t 0 sum k 1 n B n k 0 kappa 2 ldots kappa n k 1 Ademas para n gt 1 el n esimo cumulante en terminos de los momentos centrales es k n K n 0 d n d t n log C t m t t 0 k 1 n 1 k 1 k 1 B n k 0 m 2 m n k 1 displaystyle begin aligned kappa n amp K n 0 left frac mathrm d n mathrm d t n log C t mu t right t 0 4pt amp sum k 1 n 1 k 1 k 1 B n k 0 mu 2 ldots mu n k 1 end aligned El n esimo momento m n es un polinomio de grado n en los primeros n cumulantes Las primeras expresiones son m 1 k 1 m 2 k 2 k 1 2 m 3 k 3 3 k 2 k 1 k 1 3 m 4 k 4 4 k 3 k 1 3 k 2 2 6 k 2 k 1 2 k 1 4 m 5 k 5 5 k 4 k 1 10 k 3 k 2 10 k 3 k 1 2 15 k 2 2 k 1 10 k 2 k 1 3 k 1 5 m 6 k 6 6 k 5 k 1 15 k 4 k 2 15 k 4 k 1 2 10 k 3 2 60 k 3 k 2 k 1 20 k 3 k 1 3 15 k 2 3 45 k 2 2 k 1 2 15 k 2 k 1 4 k 1 6 displaystyle begin aligned mu 1 amp kappa 1 5pt mu 2 amp kappa 2 kappa 1 2 5pt mu 3 amp kappa 3 3 kappa 2 kappa 1 kappa 1 3 5pt mu 4 amp kappa 4 4 kappa 3 kappa 1 3 kappa 2 2 6 kappa 2 kappa 1 2 kappa 1 4 5pt mu 5 amp kappa 5 5 kappa 4 kappa 1 10 kappa 3 kappa 2 10 kappa 3 kappa 1 2 15 kappa 2 2 kappa 1 10 kappa 2 kappa 1 3 kappa 1 5 5pt mu 6 amp kappa 6 6 kappa 5 kappa 1 15 kappa 4 kappa 2 15 kappa 4 kappa 1 2 10 kappa 3 2 60 kappa 3 kappa 2 kappa 1 20 kappa 3 kappa 1 3 amp 15 kappa 2 3 45 kappa 2 2 kappa 1 2 15 kappa 2 kappa 1 4 kappa 1 6 end aligned La notacion con comillas distingue los momentos m n de los momentos centrales mn Para expresar los momentos centrales como funciones de los cumulantes se deben eliminar de estos polinomios todos los terminos en los cuales k1 aparece como un factor m 1 0 m 2 k 2 m 3 k 3 m 4 k 4 3 k 2 2 m 5 k 5 10 k 3 k 2 m 6 k 6 15 k 4 k 2 10 k 3 2 15 k 2 3 displaystyle begin aligned mu 1 amp 0 4pt mu 2 amp kappa 2 4pt mu 3 amp kappa 3 4pt mu 4 amp kappa 4 3 kappa 2 2 4pt mu 5 amp kappa 5 10 kappa 3 kappa 2 4pt mu 6 amp kappa 6 15 kappa 4 kappa 2 10 kappa 3 2 15 kappa 2 3 end aligned De manera similar el n esimo cumulante kn es un polinomio de grado n en los primeros n momentos no centrales Las primeras expresiones son k 1 m 1 k 2 m 2 m 1 2 k 3 m 3 3 m 2 m 1 2 m 1 3 k 4 m 4 4 m 3 m 1 3 m 2 2 12 m 2 m 1 2 6 m 1 4 k 5 m 5 5 m 4 m 1 10 m 3 m 2 20 m 3 m 1 2 30 m 2 2 m 1 60 m 2 m 1 3 24 m 1 5 k 6 m 6 6 m 5 m 1 15 m 4 m 2 30 m 4 m 1 2 10 m 3 2 120 m 3 m 2 m 1 120 m 3 m 1 3 30 m 2 3 270 m 2 2 m 1 2 360 m 2 m 1 4 120 m 1 6 displaystyle begin aligned kappa 1 amp mu 1 4pt kappa 2 amp mu 2 mu 1 2 4pt kappa 3 amp mu 3 3 mu 2 mu 1 2 mu 1 3 4pt kappa 4 amp mu 4 4 mu 3 mu 1 3 mu 2 2 12 mu 2 mu 1 2 6 mu 1 4 4pt kappa 5 amp mu 5 5 mu 4 mu 1 10 mu 3 mu 2 20 mu 3 mu 1 2 30 mu 2 2 mu 1 60 mu 2 mu 1 3 24 mu 1 5 4pt kappa 6 amp mu 6 6 mu 5 mu 1 15 mu 4 mu 2 30 mu 4 mu 1 2 10 mu 3 2 120 mu 3 mu 2 mu 1 amp 120 mu 3 mu 1 3 30 mu 2 3 270 mu 2 2 mu 1 2 360 mu 2 mu 1 4 120 mu 1 6 end aligned Para expresar los cumulantes kn para n gt 1 como funciones de los momentos centrales se deben eliminar de estos polinomios todos los terminos en los que m 1 aparece como un factor k 2 m 2 displaystyle kappa 2 mu 2 k 3 m 3 displaystyle kappa 3 mu 3 k 4 m 4 3 m 2 2 displaystyle kappa 4 mu 4 3 mu 2 2 k 5 m 5 10 m 3 m 2 displaystyle kappa 5 mu 5 10 mu 3 mu 2 k 6 m 6 15 m 4 m 2 10 m 3 2 30 m 2 3 displaystyle kappa 6 mu 6 15 mu 4 mu 2 10 mu 3 2 30 mu 2 3 Para expresar los cumulantes kn para n gt 2 como funciones de momentos estandar centrales tambien hagase m 2 1 en los polinomios k 3 m 3 displaystyle kappa 3 mu 3 k 4 m 4 3 displaystyle kappa 4 mu 4 3 k 5 m 5 10 m 3 displaystyle kappa 5 mu 5 10 mu 3 k 6 m 6 15 m 4 10 m 3 2 30 displaystyle kappa 6 mu 6 15 mu 4 10 mu 3 2 30 Los cumulantes tambien estan relacionados con los momentos por la siguiente formula de recursion k n m n m 1 n 1 n 1 m 1 k m m n m displaystyle kappa n mu n sum m 1 n 1 n 1 choose m 1 kappa m mu n m Cumulantes y particiones Editar Estos polinomios tienen una notable interpretacion combinatoria los coeficientes permiten contabilizar ciertas particiones de conjuntos Una forma general de estos polinomios es m n p P B p k B displaystyle mu n sum pi in Pi prod B in pi kappa B donde P recorre la lista de todas las particiones de un conjunto de tamano n B P significa que B es uno de los bloques en los que se divide el conjunto y B es el tamano del conjunto B Por lo tanto cada monomio es una constante por un producto de cumulantes en el que la suma de los indices es n por ejemplo en el termino k3 k22 k1 la suma de los indices es 3 2 2 1 8 esto aparece en el polinomio que expresa el octavo momento en funcion de los primeros ocho cumulantes Una particion de un numero entero n corresponde a cada termino El coeficiente en cada termino es el numero de particiones de un conjunto de miembros de n que colapsan en esa particion del entero n cuando los miembros del conjunto se vuelven indistinguibles Cumulantes y combinatoria Editar Se puede encontrar una conexion adicional entre cumulantes y combinatoria en el trabajo de Gian Carlo Rota y Jianhong Jackie Shen donde se estudian los enlaces a la teoria de invariantes funciones simetricas y secuencias binomiales a traves del calculo umbral 8 Cumulantes conjuntos EditarEl cumulante conjunto de varias variables aleatorias X1 Xn se define por una funcion de generacion de cumulantes similar K t 1 t 2 t n log E e j 1 n t j X j displaystyle K t 1 t 2 dots t n log E mathrm e sum j 1 n t j X j Una consecuencia es que k X 1 X n p p 1 1 p 1 B p E i B X i displaystyle kappa X 1 dots X n sum pi pi 1 1 pi 1 prod B in pi E left prod i in B X i right donde P recorre la lista de todas las particiones de 1 n B recorre la lista de todos los bloques de la particion P y P es el numero de partes en la particion Por ejemplo k X Y Z E X Y Z E X Y E Z E X Z E Y E Y Z E X 2 E X E Y E Z displaystyle kappa X Y Z operatorname E XYZ operatorname E XY operatorname E Z operatorname E XZ operatorname E Y operatorname E YZ operatorname E X 2 operatorname E X operatorname E Y operatorname E Z Si alguna de estas variables aleatorias son identicas por ejemplo X Y se aplican las mismas formulas por ejemplo k X X Z E X 2 Z 2 E X Z E X E X 2 E Z 2 E X 2 E Z displaystyle kappa X X Z operatorname E X 2 Z 2 operatorname E XZ operatorname E X operatorname E X 2 operatorname E Z 2 operatorname E X 2 operatorname E Z Aunque para tales variables repetidas hay formulas mas concisas Para vectores aleatorios de media cero k X Y Z E X Y Z displaystyle kappa X Y Z operatorname E XYZ k X Y Z W E X Y Z W E X Y E Z W E X Z E Y W E X W E Y Z displaystyle kappa X Y Z W operatorname E XYZW operatorname E XY operatorname E ZW operatorname E XZ operatorname E YW operatorname E XW operatorname E YZ El cumulante conjunto de una sola variable aleatoria es su valor esperado y el de dos variables aleatorias es su covarianza Si algunas de las variables aleatorias son independientes de todas las demas entonces cualquier cumulante que involucre dos o mas variables aleatorias independientes es cero Si todas las variables aleatorias de n son iguales entonces el cumulante conjunto es el n esimo cumulante ordinario El significado combinatorio de la expresion de momentos en terminos de cumulantes es mas facil de entender que el de los cumulantes en terminos de momentos E X 1 X n p B p k X i i B displaystyle operatorname E X 1 cdots X n sum pi prod B in pi kappa X i i in B Por ejemplo E X Y Z k X Y Z k X Y k Z k X Z k Y k Y Z k X k X k Y k Z displaystyle operatorname E XYZ kappa X Y Z kappa X Y kappa Z kappa X Z kappa Y kappa Y Z kappa X kappa X kappa Y kappa Z Otra propiedad importante de los cumulantes conjuntos es la multilinealidad k X Y Z 1 Z 2 k X Z 1 Z 2 k Y Z 1 Z 2 displaystyle kappa X Y Z 1 Z 2 dots kappa X Z 1 Z 2 ldots kappa Y Z 1 Z 2 ldots Asi como el segundo cumulante es la varianza el cumulante conjunto de solo dos variables aleatorias es su covarianza La conocida identidad var X Y var X 2 cov X Y var Y displaystyle operatorname var X Y operatorname var X 2 operatorname cov X Y operatorname var Y se generaliza a los cumulantes k n X Y j 0 n n j k X X j Y Y n j displaystyle kappa n X Y sum j 0 n n choose j kappa underbrace X dots X j underbrace Y dots Y n j Cumulantes condicionales y la ley de cumulancia total Editar Articulo principal Ley de cumulancia total La ley de expectativa total y la ley de varianza total se generalizan naturalmente a los cumulantes condicionales El caso n 3 expresado en el lenguaje de momentos centrales en lugar de en el de los cumulantes dice m 3 X E m 3 X Y m 3 E X Y 3 cov E X Y var X Y displaystyle mu 3 X operatorname E mu 3 X mid Y mu 3 operatorname E X mid Y 3 operatorname cov operatorname E X mid Y operatorname var X mid Y En general 9 k X 1 X n p k k X p 1 Y k X p b Y displaystyle kappa X 1 dots X n sum pi kappa kappa X pi 1 mid Y dots kappa X pi b mid Y donde La suma supera a todas las particiones P del conjunto 1 n de los indices y P1 Pb son todos los bloques de la particion P la expresion k XPm indica que el conjunto de cumulantes de las variables aleatorias cuyos indices estan en ese bloque de la particion Relacion con la fisica estadistica EditarEn fisica estadistica muchas propiedades intensivas y extensivas es decir cantidades que son proporcionales al volumen o tamano de un sistema dado estan relacionadas con los cumulantes de variables aleatorias La conexion profunda es que en un sistema grande una cantidad extensa como la energia o el numero de particulas se puede considerar como la suma de por caso la energia asociada con un numero de regiones casi independientes El hecho de que los cumulantes de estas variables aleatorias casi independientes casi se sumen hace que sea razonable que se espere que grandes cantidades esten relacionadas con los cumulantes Un sistema en equilibrio con un bano termico a temperatura T puede ocupar los estados de energia E La energia E puede considerarse una variable aleatoria teniendo una densidad de probabilidad La funcion de particion del sistema es Z b exp b E displaystyle Z beta langle exp beta E rangle donde b 1 kT y k es la constante de Boltzmann usando la notacion A displaystyle langle A rangle en lugar de E A displaystyle operatorname E A para el valor esperado para evitar confusiones con la energia E La energia de Helmholtz es entonces F b b 1 log Z displaystyle F beta beta 1 log Z y esta claramente muy relacionada con la funcion de generacion de cumulantes para la energia La energia libre da acceso a todas las propiedades termodinamicas del sistema a traves de sus derivadas de orden primero segundo o superior como su energia interna entropia y capacidad calorifica Debido a la relacion entre la energia libre y la funcion de generacion de cumulantes todas estas cantidades estan relacionadas con los cumulantes por ejemplo la energia y el calor especifico vienen dados por E E c displaystyle E langle E rangle c C d E d T k b 2 E 2 c k b 2 E 2 E 2 displaystyle C dE dT k beta 2 langle E 2 rangle c k beta 2 langle E 2 rangle langle E rangle 2 y E 2 c displaystyle langle E 2 rangle c simboliza el segundo cumulante de la energia Otra energia libre a menudo tambien es una funcion de otras variables como el campo magnetico o el potencial quimico m displaystyle mu por ejemplo W b 1 log exp b E b m N displaystyle Omega beta 1 log langle exp beta E beta mu N rangle donde N es el numero de particulas y W displaystyle Omega es el potencial principal Una vez mas la estrecha relacion entre la definicion de energia libre y la funcion de generacion de cumulantes implica que varias derivadas de esta energia libre se pueden describir en terminos de cumulantes conjuntos de E y de N Historia EditarLa historia de los cumulantes ha sido estudiada por Anders Hald 10 11 Los cumulantes fueron introducidos por primera vez por Thorvald N Thiele en 1889 quien los llamo semi invariantes 12 Fueron llamados cumulantes por primera vez en un articulo 13 de 1932 firmado por Ronald Fisher y John Wishart Fisher recordo publicamente el trabajo de Thiele a traves de Neyman quien tambien senala las citas publicadas anteriores de Thiele que llamaron la atencion de Fisher 14 Stephen Stigler senalo que el nombre cumulante fue sugerido a Fisher en una carta de Harold Hotelling En un articulo publicado en 1929 15 Fisher los habia llamado funciones de momento acumulativo La funcion de particion en fisica estadistica fue introducida por Josiah Willard Gibbs en 1901 La energia libre a menudo se llama energia libre de Gibbs En fisica estadistica los cumulantes tambien se conocen como funciones de Ursell relacionados con una publicacion en 1927 Cumulantes en entornos generalizados EditarCumulantes formales Editar De manera mas general los cumulantes de una secuencia mn n 1 2 3 no necesariamente los momentos de cualquier distribucion de probabilidad son por definicion 1 n 1 m n t n n exp n 1 k n t n n displaystyle 1 sum n 1 infty frac m n t n n exp left sum n 1 infty frac kappa n t n n right donde los valores de kn para n 1 2 3 se encuentran formalmente es decir solo por algebra sin tener en cuenta las dudas de si alguna serie converge Todas las dificultades del problema de los cumulantes estan ausentes cuando se trabaja formalmente El ejemplo mas simple es que el segundo cumulante de una distribucion de probabilidad siempre debe ser no negativo y es cero solo si todos los cumulantes mas altos son cero Los cumulantes formales no estan sujetos a tales restricciones Numeros de Bell Editar En combinatoria el n esimo numero de Bell es el numero de particiones de un conjunto de tamano n Todos los cumulantes de la secuencia de numeros de Bell son iguales a 1 Los numeros de Bell son los momentos de la distribucion de Poisson con valor esperado 1 Cumulantes de una secuencia polinomica de tipo binomial Editar Para cualquier secuencia kn n 1 2 3 de escalares en un campo de caracteristica cero que se consideran cumulantes formales existe una secuencia correspondiente m n 1 2 3 de los momentos formales dados por los polinomios de arriba Para esos polinomios es posible construir una sucesion polinomica de la siguiente manera Fuera del polinomio m 6 k 6 6 k 5 k 1 15 k 4 k 2 15 k 4 k 1 2 10 k 3 2 60 k 3 k 2 k 1 20 k 3 k 1 3 15 k 2 3 45 k 2 2 k 1 2 15 k 2 k 1 4 k 1 6 displaystyle begin aligned mu 6 amp kappa 6 6 kappa 5 kappa 1 15 kappa 4 kappa 2 15 kappa 4 kappa 1 2 10 kappa 3 2 60 kappa 3 kappa 2 kappa 1 20 kappa 3 kappa 1 3 amp 15 kappa 2 3 45 kappa 2 2 kappa 1 2 15 kappa 2 kappa 1 4 kappa 1 6 end aligned construyase un nuevo polinomio con una variable adicional x p 6 x k 6 x 6 k 5 k 1 15 k 4 k 2 10 k 3 2 x 2 15 k 4 k 1 2 60 k 3 k 2 k 1 15 k 2 3 x 3 45 k 2 2 k 1 2 x 4 15 k 2 k 1 4 x 5 k 1 6 x 6 displaystyle begin aligned p 6 x amp kappa 6 x 6 kappa 5 kappa 1 15 kappa 4 kappa 2 10 kappa 3 2 x 2 15 kappa 4 kappa 1 2 60 kappa 3 kappa 2 kappa 1 15 kappa 2 3 x 3 amp 45 kappa 2 2 kappa 1 2 x 4 15 kappa 2 kappa 1 4 x 5 kappa 1 6 x 6 end aligned y a continuacion se generaliza el patron consistente en que los numeros de bloques en las particiones antes mencionadas son los exponentes en x Cada coeficiente es un polinomio en los cumulantes estos son los polinomios de Bell nombrados asi en honor del matematico Eric Temple Bell Esta secuencia de polinomios es de tipo binomial De hecho no existen otras secuencias de tipo binomial cada secuencia polinomial de tipo binomial esta completamente determinada por su secuencia de cumulantes formales Cumulantes libres Editar En la formula de momento cumulante anterior E X 1 X n p B p k X i i B displaystyle E X 1 cdots X n sum pi prod B in pi kappa X i i in B para los cumulantes conjuntos se suman todas las particiones del conjunto 1 n Si por el contrario solo se suman las particiones no cruzadas al resolver estas formulas para k displaystyle kappa en terminos de los momentos se obtienen cumulantes libres en lugar de los cumulantes convencionales tratados anteriormente Estos cumulantes libres fueron introducidos por Roland Speicher 16 y juegan un papel central en la teoria de probabilidad libre 17 En esa teoria en lugar de considerar la independencia de las variables aleatorias definidas en terminos de producto tensorial de variables aleatorias se considera en cambio la independencia libre de variables aleatorias definidas en terminos de productos libres de algebras 17 Los cumulantes ordinarios de grado superior a 2 de una distribucion normal son cero Los cumulantes libres de grado superior a 2 de la distribucion semicircular de Wigner son cero 17 Este es un aspecto en el cual el papel de la distribucion de Wigner en la teoria de probabilidad libre es analogo al de la distribucion normal en la teoria de probabilidad convencional Vease tambien EditarValor entropico en riesgo Funcion generadora de cumulantes desde un multiconjunto Expansion de Cornish Fisher Expansiones de Edgeworth Polykay k estadistica un sesgo estadistico de varianza minima de un cumulante Funcion de Ursell Tensor de distribucion de posicion total como una aplicacion de cumulantes para analizar la funcion de onda electronica en quimica cuanticaReferencias Editar Weisstein Eric W Cumulant From MathWorld A Wolfram Web Resource http mathworld wolfram com Cumulant html Kendall M G Stuart A 1969 The Advanced Theory of Statistics Volume 1 3rd Edition Griffin London Section 3 12 Lukacs E 1970 Characteristic Functions 2nd Edition Griffin London Page 27 Lukacs E 1970 Characteristic Functions 2nd Edition Griffin London Section 2 4 Aapo Hyvarinen Juha Karhunen and Erkki Oja 2001 Independent Component Analysis John Wiley amp Sons Section 2 7 2 Hamedani G G Volkmer Hans Behboodian J 1 de marzo de 2012 A note on sub independent random variables and a class of bivariate mixtures Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica 49 1 19 25 doi 10 1556 SScMath 2011 1183 Lukacs E 1970 Characteristic Functions 2nd Edition Griffin London Theorem 7 3 5 Rota G C Shen J 2000 On the Combinatorics of Cumulants Journal of Combinatorial Theory Series A 91 1 2 283 304 doi 10 1006 jcta 1999 3017 Brillinger D R 1969 The Calculation of Cumulants via Conditioning Annals of the Institute of Statistical Mathematics 21 215 218 doi 10 1007 bf02532246 Hald A 2000 The early history of the cumulants and the Expansiones de Edgeworth International Statistical Review 68 2 137 153 Reprinted in Steffen L Lauritzen ed 2002 Thiele Pioneer in Statistics Oxford U P ISBN 978 0 19 850972 1 Thorvald N Thiele Hald Anders 1998 A History of Mathematical Statistics 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EditarWeisstein Eric W Cumulant En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Cumulant en Usos mas antiguos de algunas de las palabras de matematicas Datos Q746007Obtenido de https es wikipedia org w index php title Cumulante amp oldid 119239206, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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