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Cuaternión

Multiplicación de cuaterniones
× 1 i j k
1 1 i j k
i i −1 k j
j j k −1 i
k k j i −1

Los cuaterniones (también llamados cuaternios) son una extensión de los números reales, similar a la de los números complejos. Mientras que los números complejos son una extensión de los reales por la adición de la unidad imaginaria i, tal que , los cuaterniones son una extensión generada de manera análoga añadiendo las unidades imaginarias i, j y k a los números reales tal que:

,

como se muestra mediante la tabla de multiplicación de Cayley.

Los elementos 1, i, j y k son los componentes de la base de los cuaterniones considerado como un ℝ-espacio vectorial de dimensión 4.

Etimología

Cuaternión proviene del latín quaterni (por cuatro), su significado literal es "número de cuatro componentes". El vocablo fue propuesto por su creador William Rowan Hamilton.[1]

Representaciones de los cuaterniones

Vectorial

El conjunto de los cuaterniones puede expresarse como:

 

o equivalentemente:

 

Entonces un cuaternión es un número de la forma a + bi + cj + dk, donde a, b, c, y d son números reales unívocamente determinados por cada cuaternión.

Análogamente, un cuaternión puede expresarse como el producto interno (componente a componente) de dos vectores, de los cuales uno es el de las componentes  , y el otro el de las "bases":  . En este caso, el elemento a1 que forma la componente real se anota aparte, y para el producto interno se consideran solamente las tres bases i, j, k:

 

Esta representación tiene algunas ventajas que pueden ser vistas en algunas operaciones como el producto de cuaterniones.

Matricial

Además hay, al menos, dos formas, isomorfismos, para representar cuaterniones con matrices. Así el cuaternión   se puede representar:

  • Usando matrices complejas de 2x2:

 

Donde el conjunto de todas las matrices anteriores se designa mediante  . Cuyo subconjunto SU(2), los cuatenios unitarios, juegan un papel importante en la teoría de gauge y de donde es fácil ver que el determinante es igual a   Una propiedad interesante de esta representación es que todos los números complejos son matrices que sólo tienen componentes reales.
  • Usando matrices reales de 4x4:

 

En este caso el determinante de la matriz resulta igual a  

Aritmética básica de cuaterniones

Parte real e imaginaria de un cuaternión

Un cuaternión  a se convierte en un número real   si todas las otras coordenadas son iguales a cero. De modo tal que el eje real ℝ está contenido en el conjunto H de todos los cuaterniones. [2]​ El número real   se considera la parte real del cuaternión  . Todos los cuaterniones   para los cuales   igual a cero, se consideran imaginarios puros. Ellos constituyen un subespacio tridimensional   del espacio  de todos los cuaterniones. Los espacios   e   son complementos ortogonales el uno del otro. .[2]​ De modo tal que el cuaternión se puede escribir como la suma de la parte real y de la parte imaginaria.

Definimos la suma y producto entre cuaternios mediante la aritmética usual de las matrices y de los números complejos. Puede comprobarse que el conjunto  , junto con estas operaciones, satisface todas las propiedades de un campo con excepción del producto que no es conmutativo.

 

Adición

La adición se realiza análogamente a como se hace con los complejos, es decir: término a término:

 

Producto

El producto se realiza componente a componente, y está dado en su forma completa por:

 

Una forma ligeramente más reducida puede ser:

 
 

El producto entre cuaterniones es asociativo y no es conmutativo.

Conjugación

  • El conjugado de un cuaternión   está dado por  . En otras palabras, el conjugado invierte el signo de los componentes "agregados" del cuaternión. Matricialmente esto corresponderá a la operación de trasposición de cualquiera de sus representaciones matriciales.
  • La medida o valor absoluto de un cuaternión x está dado por:
 

Matricialmente, esta medida coincide con la raíz cuadrada del determinante de la matriz compleja 2 por 2 que representa al cuaternión. Esta medida cumple una propiedad similar al módulo de un número complejo: |zw| = |w| |z| para cualquier cuaterniones z y w.

Usando como norma el valor absoluto, los cuaterniones conforman un álgebra de Banach real.

Cocientes

El inverso multiplicativo de un cuaternión x, distinto de cero, está dado por:

 . El cual es mismo patrón que cumplen los números complejos.

Usando la forma del inverso, es posible escribir dos cocientes de cuaterniones como:

 

Exponenciación

La exponenciación de números cuaterniónicos, al igual que sucede con los números complejos, está relacionada con funciones trigonométricas. Dado un cuaternión escrito en forma canónica q = a + bi + cj + dk su exponenciación resulta ser:

 

Comparación con matrices

La multiplicación de matrices no es, en general, conmutativa al igual que en el caso de los cuaterniones. Sin embargo, tampoco todas las matrices poseen un inverso multiplicativo mientras que todos los cuaternios diferentes del cero son invertibles.

Detalles algebraicos

Los cuaterniones son un ejemplo de cuerpo asimétrico (a veces llamado anillo con división), una estructura algebraica parecida a un cuerpo pero no conmutativo en la multiplicación, es decir: satisfacen todas las propiedades de un cuerpo con excepción de que el producto no es conmutativo. La multiplicación es asociativa y todo cuaternión no nulo posee un único inverso. Forman una  -álgebra asociativa 4-dimensional sobre los reales y los complejos forman un subconjunto de ella, los cuaterniones no forman un álgebra asociativa sobre los complejos.

Usando la función distancia definida como   = |z - w|, los cuaterniones forman un espacio métrico y todas las operaciones aritméticas son continuas.

El conjunto de los cuaterniones de valor absoluto 1 forman una esfera 3-dimensional   y un grupo (incluso grupo de Lie) con la multiplicación. Este grupo actúa, mediante conjugación, sobre la copia de   constituida por los cuaterniones cuya parte real es cero. No es difícil comprobar que la conjugación por un cuaternión unidad de parte real cos t es una rotación de ángulo 2t con el eje de giro en la dirección de la parte imaginaria.

Así,   constituye un recubrimiento doble del grupo SO(3) de matrices ortogonales 3x3 de determinante 1; es isomorfo a SU(2), el grupo de matrices 2 x 2 complejas unitarias y de determinante unidad.

Sea A el conjunto de cuaterniones de la forma a + bi + cj + dk donde a, b, c y d son, o todos enteros o todos racionales con numerador impar y denominador 2. El conjunto A es un anillo y un retículo. Hay 24 cuaterniones unitarios en este anillo y son los vértices de un politopo regular, llamado {3,4,3} en la notación de Schlafli.

Clasificación en el álgebra abstracta

Un conjunto que posee todas las propiedades de un campo excepto por   se conoce como un anillo con división o un campo asimétrico. La construcción de los cuaternios por Hamilton fue el primer ejemplo de este tipo de estructura. La existencia del inverso multiplicativo de un cuaternión no nulo puede comprobarse de manera semejante a como se realiza para los complejos como sigue. Recordemos que para cualquier número complejo z = a + bi se define su norma como la raíz cuadrada de   y su conjugado como z = a - bi. Tenemos entonces que recordemos que el cuaternión h = a + bI + cJ + dK puede pensarse como la matriz compleja.

  • El conjunto de los cuaternios, con la adición y la multiplicación, constituyen un cuerpo no conmutativo, comportamiento diferente a los conocidos cuerpos conmutativos de los números racionales, reales y complejos.

El conjunto de los cuaterniones constituye un espacio lineal tetradimensional con base 1, i, j, k.

Aplicaciones

Los cuaterniones no son únicamente una curiosidad algebraica. Tienen diversas aplicaciones que van desde la teoría de números, en donde pueden utilizarse para probar resultados como el teorema de los cuatro cuadrados dado por Lagrange, que dice que todo número natural n puede expresarse como la suma de cuatro cuadrados perfectos, hasta aplicaciones físicas dentro del electromagnetismo, teoría de la relatividad y mecánica cuántica, entre otras.

Los cuaterniones en física representan rotaciones en el espacio, véase cuaterniones y rotación en el espacio. Además tienen aplicaciones en el electromagnetismo y la mecánica cuántica.

Los cuaterniones se utilizan a menudo en gráficos por computadora (y en el análisis geométrico asociado) para representar la orientación de un objeto en un espacio tridimensional. Las ventajas son: conforman una representación no singular (comparada con, por ejemplo, los ángulos de Euler), más compacta y más rápida que las matrices, en términos computacionales. Debido a lo expuesto, es común el uso de esta notación en el campo de la robótica, debido a que permite en ciertas situaciones, mediante cuaterniones unitarios, abstraer rotaciones y traslaciones con cierta simplicidad, permitiendo la obtención de la orientación relativa entre sistemas de coordenadas.[3]

Historia

Los números complejos desempeñan un papel muy importante en las matemáticas. Vinculado a esto brotó la idea de generalizar más todavía los números reales. en este proceso de expansión se construyeron los cuaterniones, cuyo papel en las matemáticas resultó poco significativo.[4]

 
Placa conmemorativa en el puente de Brougham (Broom), Dublín, con el texto:
"Here as he walked by on the 16th of October 1843 Sir William Rowan Hamilton in a flash of genius discovered the fundamental formula for quaternion multiplication
i² = j² = k² = ijk = −1"

Los cuaterniones fueron creados por William Rowan Hamilton en 1843. Hamilton buscaba formas de extender los números complejos (que pueden interpretarse como puntos en un plano) a un número mayor de dimensiones. No pudo hacerlo para 3 dimensiones, pero para 4 dimensiones obtuvo los cuaterniones. Según una historia relatada por el propio Hamilton, la solución al problema que le ocupaba le sobrevino un día que estaba paseando con su esposa, bajo la forma de la ecuación: i² = j² = k² = ijk = -1. Inmediatamente, grabó esta expresión en el lateral del puente de Brougham, que estaba muy cerca del lugar.

Hamilton popularizó los cuaterniones con varios libros, el último de los cuales, Elements of Quaternions (en inglés Elementos de Cuaterniones), tenía 800 páginas y fue publicado poco después de su muerte.

Generalizaciones

Si F es un cuerpo cualquiera y a y b son elementos de F\{0}, se puede definir un álgebra asociativa unitaria de cuatro dimensiones sobre F utilizando dos generadores, i y j, y las relaciones i² = a, j² = b e ij = -ji. Estas álgebras, o son isomorfas al álgebra de matrices 2x2 sobre F, o son álgebras de división sobre F, y se denominan álgebras de cuaterniones.

Véase también

Referencias

  1. N.V. Alexándrova. Diccionario Histórico de notaciones, términos y conceptos de las matemáticas ISBN 978-5-396-00676-8
  2. Pontriaguin Op. Cit.
  3. «3.5.1». Fundamentos de Robótica. p. 86. ISBN 8448108159. 
  4. L. S. Pontriaguin Generalizaciones de los números Editorial URSS Moscú (2005) ISBN 5-354-01135-3 (edición en español)

Bibliografía

  • Hamilton, William Rowan. . Philosophical Magazine. Vol. 25, n 3. p. 489–495. 1844.
  • Hamilton, William Rowan (1853), "Lectures on Quaternions". Royal Irish Academy.
  • Hamilton (1866) Elements of Quaternions University of Dublin Press. Edited by William Edwin Hamilton, son of the deceased author.
  • Hamilton (1899) Elements of Quaternions volume I, (1901) volume II. Edited by Charles Jasper Joly; published by Longmans, Green & Co..
  • Tait, Peter Guthrie (1873), "An elementary treatise on quaternions". 2d ed., Cambridge, [Eng.] : The University Press.
  • Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
  • Maxwell, James Clerk (1873), "A Treatise on Electricity and Magnetism". Clarendon Press, Oxford.
  • Tait, Peter Guthrie (1886), "". M.A. Sec. R.S.E. Encyclopaedia Britannica, Ninth Edition, 1886, Vol. XX, pp. 160–164. (bzipped PostScript file)
  • Joly, Charles Jasper (1905), "A manual of quaternions". London, Macmillan and co., limited; New York, The Macmillan company. LCCN 05036137 //r84
  • Macfarlane, Alexander (1906), "Vector analysis and quaternions", 4th ed. 1st thousand. New York, J. Wiley & Sons; [etc., etc.]. LCCN es 16000048
  • 1911 encyclopedia: "".
  • Finkelstein, David, Josef M. Jauch, Samuel Schiminovich, and David Speiser (1962), "Foundations of quaternion quantum mechanics". J. Mathematical Phys. 3, pp. 207–220, MathSciNet.
  • Du Val, Patrick (1964), "Homographies, quaternions, and rotations". Oxford, Clarendon Press (Oxford mathematical monographs). LCCN 64056979 //r81
  • Crowe, Michael J. (1967), A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System, University of Notre Dame Press. Surveys the major and minor vector systems of the 19th century (Hamilton, Möbius, Bellavitis, Clifford, Grassmann, Tait, Peirce, Maxwell, Macfarlane, MacAuley, Gibbs, Heaviside).
  • Altmann, Simon L. (1986), "Rotations, quaternions, and double groups". Oxford [Oxfordshire] : Clarendon Press ; New York : Oxford University Press. LCCN 85013615 ISBN 0-19-855372-2
  • Altmann, Simon L. (1989), "Hamilton, Rodrigues, and the Quaternion Scandal". Mathematics Magazine. Vol. 62, No. 5. p. 291–308, Dec. 1989.
  • Adler, Stephen L. (1995), "Quaternionic quantum mechanics and quantum fields". New York : Oxford University Press. International series of monographs on physics (Oxford, England) 88. LCCN 94006306 ISBN 0-19-506643-X
  • (1995), "A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem", Europhysics Letters, 32 (8) 621–626, DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001
  • Ward, J. P. (1997), "Quaternions and Cayley Numbers: Algebra and Applications", Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4513-4
  • Kantor, I. L. and Solodnikov, A. S. (1989), "Hypercomplex numbers, an elementary introduction to algebras", Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-96980-2
  • Gürlebeck, Klaus and Sprössig, Wolfgang (1997), "Quaternionic and Clifford calculus for physicists and engineers". Chichester ; New York : Wiley (Mathematical methods in practice; v. 1). LCCN 98169958 ISBN 0-471-96200-7
  • Kuipers, Jack (2002), "Quaternions and Rotation Sequences: A Primer With Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality" (reprint edition), Princeton University Press. ISBN 0-691-10298-8
  • Conway, John Horton, and Smith, Derek A. (2003), "On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry", A. K. Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9 (review).
  • Kravchenko, Vladislav (2003), "Applied Quaternionic Analysis", Heldermann Verlag ISBN 3-88538-228-8.
  • Hanson, Andrew J. (2006), "Visualizing Quaternions", Elsevier: Morgan Kaufmann; San Francisco. ISBN 0-12-088400-3
  • (2007), "Natural Geometry of Nonzero Quaternions", International Journal of Theoretical Physics, 46 (2) 251–257, DOI: 10.1007/s10773-006-9234-9
  • Ernst Binz & Sonja Pods (2008) Geometry of Heisenberg Groups American Mathematical Society, Chapter 1: "The Skew Field of Quaternions" (23 pages) ISBN 978-0-8218-4495-3.
  • Vince, John A. (2008), Geometric Algebra for Computer Graphics, Springer, ISBN 978-1-84628-996-5.
  • For molecules that can be regarded as classical rigid bodies molecular dynamics computer simulation employs quaternions. They were first introduced for this purpose by D.J. Evans, (1977), "On the Representation of Orientation Space", Mol. Phys., vol 34, p 317.
  • Zhang, Fuzhen (1997), "Quaternions and Matrices of Quaternions", Linear Algebra and its Applications, Vol. 251, pp. 21--57.

Enlaces externos y monografías

  • Matrix and Quaternion FAQ v1.21 Frequently Asked Questions
  • "Geometric Tools documentation" (frame; ) includes several papers focusing on computer graphics applications of quaternions. Covers useful techniques such as spherical linear interpolation.
  • Patrick-Gilles Maillot Provides free Fortran and C source code for manipulating quaternions and rotations / position in space. Also includes mathematical background on quaternions.
  • "Geometric Tools source code" (; body (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).) includes free C++ source code for a complete quaternion class suitable for computer graphics work, under a very liberal license.
  • Doug Sweetser, Doing Physics with Quaternions
  • The Physical Heritage of Sir W. R. Hamilton (PDF)
  • D. R. Wilkins, Hamilton’s Research on Quaternions
  • Quaternion Julia Fractals 3D Raytraced Quaternion Julia Fractals by David J. Grossman
  • Quaternion Math and Conversions Great page explaining basic math with links to straight forward rotation conversion formulae.
  • John H. Mathews, .
  • Andrew Hanson, .
  • {{}}
  • Charles F. F. Karney, Quaternions in molecular modeling, J. Mol. Graph. Mod. 25(5), 595–604 (Jan. 2007); DOI: 10.1016/j.jmgm.2006.04.002; E-print arxiv:0506177.
  • Johan E. Mebius, A matrix-based proof of the quaternion representation theorem for four-dimensional rotations., arXiv General Mathematics 2005.
  • Johan E. Mebius, Derivation of the Euler-Rodrigues formula for three-dimensional rotations from the general formula for four-dimensional rotations., arXiv General Mathematics 2007.
  • NUI Maynooth Department of Mathematics, Hamilton Walk.
  • David Erickson, Defence Research and Development Canada (DRDC), Complete derivation of rotation matrix from unitary quaternion representation in DRDC TR 2005-228 paper.
  • Alberto Martinez, University of Texas Department of History, "Negative Math, How Mathematical Rules Can Be Positively Bent",
  • D. Stahlke, Quaternions in Classical Mechanics Stahlke.org (PDF)
  • Morier-Genoud, Sophie, and Valentin Ovsienko. "Well, Papa, can you multiply triplets?", arxiv.org describes how the quaternions can be made into a skew-commutative algebra graded by Z/2×Z/2×Z/2.
  • Curious Quaternions by Helen Joyce hosted by John Baez.
  • Luis Ibanez "Tutorial on Quaternions" (PDF)

Software

  • Quaternion Calculator [javascript], bluetulip.org
  • Quaternion Calculator [Java], theworld.com
  • Quaternion Toolbox for Matlab (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última)., http://sourceforge.net/projects/qtfm/
  • Boost library support for Quaternions in C++, boost.org
  • , xs4all.nl
  •   Datos: Q173853
  •   Multimedia: Quaternions

cuaternión, multiplicación, cuaterniones, 1los, cuaterniones, también, llamados, cuaternios, extensión, números, reales, similar, números, complejos, mientras, números, complejos, extensión, reales, adición, unidad, imaginaria, displaystyle, cuaterniones, exte. Multiplicacion de cuaterniones 1 i j k1 1 i j ki i 1 k jj j k 1 ik k j i 1Los cuaterniones tambien llamados cuaternios son una extension de los numeros reales similar a la de los numeros complejos Mientras que los numeros complejos son una extension de los reales por la adicion de la unidad imaginaria i tal que i 2 1 displaystyle i 2 1 los cuaterniones son una extension generada de manera analoga anadiendo las unidades imaginarias i j y k a los numeros reales tal que i 2 j 2 k 2 i j k 1 displaystyle i 2 j 2 k 2 ijk 1 como se muestra mediante la tabla de multiplicacion de Cayley Los elementos 1 i j y k son los componentes de la base de los cuaterniones considerado como un ℝ espacio vectorial de dimension 4 Indice 1 Etimologia 2 Representaciones de los cuaterniones 2 1 Vectorial 2 2 Matricial 3 Aritmetica basica de cuaterniones 3 1 Parte real e imaginaria de un cuaternion 3 2 Adicion 3 3 Producto 3 4 Conjugacion 3 5 Cocientes 3 6 Exponenciacion 3 7 Comparacion con matrices 4 Detalles algebraicos 4 1 Clasificacion en el algebra abstracta 5 Aplicaciones 6 Historia 7 Generalizaciones 8 Vease tambien 9 Referencias 9 1 Bibliografia 10 Enlaces externos y monografias 10 1 SoftwareEtimologia EditarCuaternion proviene del latin quaterni por cuatro su significado literal es numero de cuatro componentes El vocablo fue propuesto por su creador William Rowan Hamilton 1 Representaciones de los cuaterniones EditarVectorial Editar El conjunto de los cuaterniones puede expresarse como H a b i c j d k a b c d R C 2 displaystyle mathbb H left a bi cj dk a b c d in mathbb R right subset mathbb C 2 o equivalentemente H a b i c d i j a b i c d i C C 2 displaystyle mathbb H left a bi c di j a bi c di in mathbb C right subset mathbb C 2 Entonces un cuaternion es un numero de la forma a bi cj dk donde a b c y d son numeros reales univocamente determinados por cada cuaternion Analogamente un cuaternion puede expresarse como el producto interno componente a componente de dos vectores de los cuales uno es el de las componentes x a b c d displaystyle vec x a b c d y el otro el de las bases 1 i j k displaystyle 1 i j k En este caso el elemento a1 que forma la componente real se anota aparte y para el producto interno se consideran solamente las tres bases i j k x a 1 a a 1 a 2 a 3 a 4 displaystyle x left a 1 vec a right left a 1 a 2 a 3 a 4 right Esta representacion tiene algunas ventajas que pueden ser vistas en algunas operaciones como el producto de cuaterniones Matricial Editar Ademas hay al menos dos formas isomorfismos para representar cuaterniones con matrices Asi el cuaternion q a b i c j d k displaystyle q a bi cj dk se puede representar Usando matrices complejas de 2x2 a b i c d i c d i a b i displaystyle begin pmatrix a bi amp c di c di amp a bi end pmatrix Donde el conjunto de todas las matrices anteriores se designa mediante U 2 displaystyle U 2 Cuyo subconjunto SU 2 los cuatenios unitarios juegan un papel importante en la teoria de gauge y de donde es facil ver que el determinante es igual a a 2 b 2 c 2 d 2 q 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 d 2 q 2 Una propiedad interesante de esta representacion es que todos los numeros complejos son matrices que solo tienen componentes reales Usando matrices reales de 4x4 a b c d b a d c c d a b d c b a displaystyle begin pmatrix a amp b amp c amp d b amp a amp d amp c c amp d amp a amp b d amp c amp b amp a end pmatrix En este caso el determinante de la matriz resulta igual a a 2 b 2 c 2 d 2 2 q 4 displaystyle a 2 b 2 c 2 d 2 2 q 4 Aritmetica basica de cuaterniones EditarParte real e imaginaria de un cuaternion Editar Un cuaternion a a 1 a 2 i a 3 j a 4 k displaystyle begin aligned a amp a 1 a 2 i a 3 j a 4 k end aligned a se convierte en un numero real a 1 displaystyle a 1 si todas las otras coordenadas son iguales a cero De modo tal que el eje real ℝ esta contenido en el conjunto H de todos los cuaterniones 2 El numero real a 1 displaystyle a 1 se considera la parte real del cuaternion a displaystyle a Todos los cuaterniones a displaystyle a para los cuales a 1 displaystyle a 1 igual a cero se consideran imaginarios puros Ellos constituyen un subespacio tridimensional I displaystyle I del espacio H displaystyle H de todos los cuaterniones Los espacios D displaystyle D e I displaystyle I son complementos ortogonales el uno del otro 2 De modo tal que el cuaternion se puede escribir como la suma de la parte real y de la parte imaginaria Definimos la suma y producto entre cuaternios mediante la aritmetica usual de las matrices y de los numeros complejos Puede comprobarse que el conjunto H displaystyle mathbb H junto con estas operaciones satisface todas las propiedades de un campo con excepcion del producto que no es conmutativo a a 1 a 2 i a 3 j a 4 k b b 1 b 2 i b 3 j b 4 k displaystyle begin aligned a amp a 1 a 2 i a 3 j a 4 k b amp b 1 b 2 i b 3 j b 4 k end aligned Adicion Editar La adicion se realiza analogamente a como se hace con los complejos es decir termino a termino a b a 1 b 1 a 2 b 2 i a 3 b 3 j a 4 b 4 k displaystyle a b a 1 b 1 a 2 b 2 i a 3 b 3 j a 4 b 4 k Producto Editar El producto se realiza componente a componente y esta dado en su forma completa por a b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 a 4 b 4 a 1 b 2 a 2 b 1 a 3 b 4 a 4 b 3 i a 1 b 3 a 2 b 4 a 3 b 1 a 4 b 2 j a 1 b 4 a 2 b 3 a 3 b 2 a 4 b 1 k displaystyle begin aligned ab amp a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 a 4 b 4 a 1 b 2 a 2 b 1 a 3 b 4 a 4 b 3 i amp a 1 b 3 a 2 b 4 a 3 b 1 a 4 b 2 j a 1 b 4 a 2 b 3 a 3 b 2 a 4 b 1 k end aligned Una forma ligeramente mas reducida puede ser a b a a b b displaystyle ab alpha vec a beta vec b a b a b a b a b a b a b displaystyle ab left alpha beta vec a cdot vec b alpha vec b vec a beta vec a times vec b right El producto entre cuaterniones es asociativo y no es conmutativo Conjugacion Editar El conjugado de un cuaternion x x 1 x 2 i x 3 j x 4 k displaystyle x x 1 x 2 i x 3 j x 4 k esta dado por x x 1 x 2 i x 3 j x 4 k displaystyle bar x x 1 x 2 i x 3 j x 4 k En otras palabras el conjugado invierte el signo de los componentes agregados del cuaternion Matricialmente esto correspondera a la operacion de trasposicion de cualquiera de sus representaciones matriciales La medida o valor absoluto de un cuaternion x esta dado por x x x x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 4 2 displaystyle left x right sqrt x bar x sqrt x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 4 2 Matricialmente esta medida coincide con la raiz cuadrada del determinante de la matriz compleja 2 por 2 que representa al cuaternion Esta medida cumple una propiedad similar al modulo de un numero complejo zw w z para cualquier cuaterniones z y w Usando como norma el valor absoluto los cuaterniones conforman un algebra de Banach real Cocientes Editar El inverso multiplicativo de un cuaternion x distinto de cero esta dado por x 1 x x x x x 2 displaystyle x 1 frac bar x x bar x frac bar x left x right 2 El cual es mismo patron que cumplen los numeros complejos Usando la forma del inverso es posible escribir dos cocientes de cuaterniones como a b 1 a b b 2 y b 1 a b a b 2 displaystyle ab 1 frac a bar b left b right 2 quad text y quad b 1 a frac bar b a left b right 2 Exponenciacion Editar La exponenciacion de numeros cuaternionicos al igual que sucede con los numeros complejos esta relacionada con funciones trigonometricas Dado un cuaternion escrito en forma canonica q a bi cj dk su exponenciacion resulta ser e q e a b i c j d k e a cos b 2 c 2 d 2 sin b 2 c 2 d 2 b 2 c 2 d 2 b i c j d k displaystyle e q e a bi cj dk e a left cos sqrt b 2 c 2 d 2 frac sin sqrt b 2 c 2 d 2 sqrt b 2 c 2 d 2 bi cj dk right Comparacion con matrices Editar La multiplicacion de matrices no es en general conmutativa al igual que en el caso de los cuaterniones Sin embargo tampoco todas las matrices poseen un inverso multiplicativo mientras que todos los cuaternios diferentes del cero son invertibles Detalles algebraicos EditarLos cuaterniones son un ejemplo de cuerpo asimetrico a veces llamado anillo con division una estructura algebraica parecida a un cuerpo pero no conmutativo en la multiplicacion es decir satisfacen todas las propiedades de un cuerpo con excepcion de que el producto no es conmutativo La multiplicacion es asociativa y todo cuaternion no nulo posee un unico inverso Forman una R displaystyle mathbb R algebra asociativa 4 dimensional sobre los reales y los complejos forman un subconjunto de ella los cuaterniones no forman un algebra asociativa sobre los complejos Usando la funcion distancia definida como d z w displaystyle d z w z w los cuaterniones forman un espacio metrico y todas las operaciones aritmeticas son continuas El conjunto de los cuaterniones de valor absoluto 1 forman una esfera 3 dimensional S 3 displaystyle S 3 y un grupo incluso grupo de Lie con la multiplicacion Este grupo actua mediante conjugacion sobre la copia de R 3 displaystyle mathbf R 3 constituida por los cuaterniones cuya parte real es cero No es dificil comprobar que la conjugacion por un cuaternion unidad de parte real cos t es una rotacion de angulo 2t con el eje de giro en la direccion de la parte imaginaria Asi S 3 displaystyle S 3 constituye un recubrimiento doble del grupo SO 3 de matrices ortogonales 3x3 de determinante 1 es isomorfo a SU 2 el grupo de matrices 2 x 2 complejas unitarias y de determinante unidad Sea A el conjunto de cuaterniones de la forma a bi cj dk donde a b c y d son o todos enteros o todos racionales con numerador impar y denominador 2 El conjunto A es un anillo y un reticulo Hay 24 cuaterniones unitarios en este anillo y son los vertices de un politopo regular llamado 3 4 3 en la notacion de Schlafli Clasificacion en el algebra abstracta Editar Un conjunto que posee todas las propiedades de un campo excepto por M 2 displaystyle M 2 se conoce como un anillo con division o un campo asimetrico La construccion de los cuaternios por Hamilton fue el primer ejemplo de este tipo de estructura La existencia del inverso multiplicativo de un cuaternion no nulo puede comprobarse de manera semejante a como se realiza para los complejos como sigue Recordemos que para cualquier numero complejo z a bi se define su norma como la raiz cuadrada de a 2 b 2 displaystyle a 2 b 2 y su conjugado como z a bi Tenemos entonces que recordemos que el cuaternion h a bI cJ dK puede pensarse como la matriz compleja El conjunto de los cuaternios con la adicion y la multiplicacion constituyen un cuerpo no conmutativo comportamiento diferente a los conocidos cuerpos conmutativos de los numeros racionales reales y complejos El conjunto de los cuaterniones constituye un espacio lineal tetradimensional con base 1 i j k Aplicaciones EditarLos cuaterniones no son unicamente una curiosidad algebraica Tienen diversas aplicaciones que van desde la teoria de numeros en donde pueden utilizarse para probar resultados como el teorema de los cuatro cuadrados dado por Lagrange que dice que todo numero natural n puede expresarse como la suma de cuatro cuadrados perfectos hasta aplicaciones fisicas dentro del electromagnetismo teoria de la relatividad y mecanica cuantica entre otras Los cuaterniones en fisica representan rotaciones en el espacio vease cuaterniones y rotacion en el espacio Ademas tienen aplicaciones en el electromagnetismo y la mecanica cuantica Los cuaterniones se utilizan a menudo en graficos por computadora y en el analisis geometrico asociado para representar la orientacion de un objeto en un espacio tridimensional Las ventajas son conforman una representacion no singular comparada con por ejemplo los angulos de Euler mas compacta y mas rapida que las matrices en terminos computacionales Debido a lo expuesto es comun el uso de esta notacion en el campo de la robotica debido a que permite en ciertas situaciones mediante cuaterniones unitarios abstraer rotaciones y traslaciones con cierta simplicidad permitiendo la obtencion de la orientacion relativa entre sistemas de coordenadas 3 Historia EditarLos numeros complejos desempenan un papel muy importante en las matematicas Vinculado a esto broto la idea de generalizar mas todavia los numeros reales en este proceso de expansion se construyeron los cuaterniones cuyo papel en las matematicas resulto poco significativo 4 Placa conmemorativa en el puente de Brougham Broom Dublin con el texto Here as he walked by on the 16th of October 1843 Sir William Rowan Hamilton in a flash of genius discovered the fundamental formula for quaternion multiplicationi j k ijk 1 Los cuaterniones fueron creados por William Rowan Hamilton en 1843 Hamilton buscaba formas de extender los numeros complejos que pueden interpretarse como puntos en un plano a un numero mayor de dimensiones No pudo hacerlo para 3 dimensiones pero para 4 dimensiones obtuvo los cuaterniones Segun una historia relatada por el propio Hamilton la solucion al problema que le ocupaba le sobrevino un dia que estaba paseando con su esposa bajo la forma de la ecuacion i j k ijk 1 Inmediatamente grabo esta expresion en el lateral del puente de Brougham que estaba muy cerca del lugar Hamilton popularizo los cuaterniones con varios libros el ultimo de los cuales Elements of Quaternions en ingles Elementos de Cuaterniones tenia 800 paginas y fue publicado poco despues de su muerte Generalizaciones EditarSi F es un cuerpo cualquiera y a y b son elementos de F 0 se puede definir un algebra asociativa unitaria de cuatro dimensiones sobre F utilizando dos generadores i y j y las relaciones i a j b e ij ji Estas algebras o son isomorfas al algebra de matrices 2x2 sobre F o son algebras de division sobre F y se denominan algebras de cuaterniones Vease tambien EditarConstruccion de Cayley Dickson Numero hipercomplejo numeros complejos cuaterniones y rotacion en el espacio Josiah Willard Gibbs Referencias Editar N V Alexandrova Diccionario Historico de notaciones terminos y conceptos de las matematicas ISBN 978 5 396 00676 8 a b Pontriaguin Op Cit 3 5 1 Fundamentos de Robotica p 86 ISBN 8448108159 L S Pontriaguin Generalizaciones de los numeros Editorial URSS Moscu 2005 ISBN 5 354 01135 3 edicion en espanol Bibliografia Editar Hamilton William Rowan On quaternions or on a new system of imaginaries in algebra Philosophical Magazine Vol 25 n 3 p 489 495 1844 Hamilton William Rowan 1853 Lectures on Quaternions Royal Irish Academy Hamilton 1866 Elements of Quaternions University of Dublin Press Edited by William Edwin Hamilton son of the deceased author Hamilton 1899 Elements of Quaternions volume I 1901 volume II Edited by Charles Jasper Joly published by Longmans Green amp Co Tait Peter Guthrie 1873 An elementary treatise on quaternions 2d ed Cambridge Eng The University Press Michiel Hazewinkel Nadiya Gubareni Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni Vladimir V Kirichenko Algebras rings and modules Volume 1 2004 Springer 2004 ISBN 1 4020 2690 0 Maxwell James Clerk 1873 A Treatise on Electricity and Magnetism Clarendon Press Oxford Tait Peter Guthrie 1886 Quaternion M A Sec R S E Encyclopaedia Britannica Ninth Edition 1886 Vol XX pp 160 164 bzipped PostScript file Joly Charles Jasper 1905 A manual of quaternions London Macmillan and co limited New York The Macmillan company LCCN 05036137 r84 Macfarlane Alexander 1906 Vector analysis and quaternions 4th ed 1st thousand New York J Wiley amp Sons etc etc LCCN es 16000048 1911 encyclopedia Quaternions Finkelstein David Josef M Jauch Samuel Schiminovich and David Speiser 1962 Foundations of quaternion quantum mechanics J Mathematical Phys 3 pp 207 220 MathSciNet Du Val Patrick 1964 Homographies quaternions and rotations Oxford Clarendon Press Oxford mathematical monographs LCCN 64056979 r81 Crowe Michael J 1967 A History of Vector Analysis The Evolution of the Idea of a Vectorial System University of Notre Dame Press Surveys the major and minor vector systems of the 19th century Hamilton Mobius Bellavitis Clifford Grassmann Tait Peirce Maxwell Macfarlane MacAuley Gibbs Heaviside Altmann Simon L 1986 Rotations quaternions and double groups Oxford Oxfordshire Clarendon Press New York Oxford University Press LCCN 85013615 ISBN 0 19 855372 2 Altmann Simon L 1989 Hamilton Rodrigues and the Quaternion Scandal Mathematics Magazine Vol 62 No 5 p 291 308 Dec 1989 Adler Stephen L 1995 Quaternionic quantum mechanics and quantum fields New York Oxford University Press International series of monographs on physics Oxford England 88 LCCN 94006306 ISBN 0 19 506643 X Trifonov Vladimir 1995 A Linear Solution of the Four Dimensionality Problem Europhysics Letters 32 8 621 626 DOI 10 1209 0295 5075 32 8 001 Ward J P 1997 Quaternions and Cayley Numbers Algebra and Applications Kluwer Academic Publishers ISBN 0 7923 4513 4 Kantor I L and Solodnikov A S 1989 Hypercomplex numbers an elementary introduction to algebras Springer Verlag New York ISBN 0 387 96980 2 Gurlebeck Klaus and Sprossig Wolfgang 1997 Quaternionic and Clifford calculus for physicists and engineers Chichester New York Wiley Mathematical methods in practice v 1 LCCN 98169958 ISBN 0 471 96200 7 Kuipers Jack 2002 Quaternions and Rotation Sequences A Primer With Applications to Orbits Aerospace and Virtual Reality reprint edition Princeton University Press ISBN 0 691 10298 8 Conway John Horton and Smith Derek A 2003 On Quaternions and Octonions Their Geometry Arithmetic and Symmetry A K Peters Ltd ISBN 1 56881 134 9 review Kravchenko Vladislav 2003 Applied Quaternionic Analysis Heldermann Verlag ISBN 3 88538 228 8 Hanson Andrew J 2006 Visualizing Quaternions Elsevier Morgan Kaufmann San Francisco ISBN 0 12 088400 3 Trifonov Vladimir 2007 Natural Geometry of Nonzero Quaternions International Journal of Theoretical Physics 46 2 251 257 DOI 10 1007 s10773 006 9234 9 Ernst Binz amp Sonja Pods 2008 Geometry of Heisenberg Groups American Mathematical Society Chapter 1 The Skew Field of Quaternions 23 pages ISBN 978 0 8218 4495 3 Vince John A 2008 Geometric Algebra for Computer Graphics Springer ISBN 978 1 84628 996 5 For molecules that can be regarded as classical rigid bodies molecular dynamics computer simulation employs quaternions They were first introduced for this purpose by D J Evans 1977 On the Representation of Orientation Space Mol Phys vol 34 p 317 Zhang Fuzhen 1997 Quaternions and Matrices of Quaternions Linear Algebra and its Applications Vol 251 pp 21 57 Enlaces externos y monografias EditarMatrix and Quaternion FAQ v1 21 Frequently Asked Questions Geometric Tools documentation frame body includes several papers focusing on computer graphics applications of quaternions Covers useful techniques such as spherical linear interpolation Patrick Gilles Maillot Provides free Fortran and C source code for manipulating quaternions and rotations position in space Also includes mathematical background on quaternions Geometric Tools source code frame body enlace roto disponible en Internet Archive vease el historial la primera version y la ultima includes free C source code for a complete quaternion class suitable for computer graphics work under a very 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Mathematics 2007 NUI Maynooth Department of Mathematics Hamilton Walk OpenGL Tutorials Using Quaternions to represent rotation David Erickson Defence Research and Development Canada DRDC Complete derivation of rotation matrix from unitary quaternion representation in DRDC TR 2005 228 paper Drdc rddc gc ca Alberto Martinez University of Texas Department of History Negative Math How Mathematical Rules Can Be Positively Bent Utexas edu D Stahlke Quaternions in Classical Mechanics Stahlke org PDF Morier Genoud Sophie and Valentin Ovsienko Well Papa can you multiply triplets arxiv org describes how the quaternions can be made into a skew commutative algebra graded by Z 2 Z 2 Z 2 Curious Quaternions by Helen Joyce hosted by John Baez Luis Ibanez Tutorial on Quaternions Part I Part II PDF Software Editar Quaternion Calculator javascript bluetulip org Quaternion Calculator Java theworld com Quaternion Toolbox for Matlab enlace roto disponible en Internet Archive vease el historial la primera 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