Cuantificador universal

En lógica, se usa el símbolo ${\displaystyle \forall }$, denominado cuantificador universal,^[1]​ antepuesto a una variable para decir que "para todo" elemento de un cierto conjunto se cumple la proposición dada a continuación.^[2]​

${\displaystyle \forall x\in B}$

Ejemplo

 

Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y A es un subconjunto de B:

${\displaystyle A\subset B\;\land \;A\neq B\;\land \;A\neq \varnothing }$ 

Todo elemento x de A pertenece a B:

${\displaystyle \forall x\in A\;\Rightarrow \;x\in B}$ 

Al ser A y B conjuntos diferentes como indica el diagrama, podemos decir que no todos los elementos y de B pertenecen a A, siendo esto una garantía suficiente para que dos conjuntos puedan ser diferentes:

${\displaystyle \lnot \forall y\in B:\;y\in A\,}$ 

Es decir: no para todo elemento y de B se cumple que y también pertenezca a A.

Relación cuantificador universal y el cuantificador existencial

Dada una expresión P(x), según el cuantificador universal se puede transformar en otra equivalente con el cuantificador existencial:

${\displaystyle \forall x\ P(x)\;\Leftrightarrow \;\lnot \exists x\ \lnot P(x)\,}$ 

que podríamos leer: si para todo x se cumple P(x) no existe un x que no cumpla P(x).

Según el ejemplo anterior:

${\displaystyle \forall x\in A:\;x\in B\,}$ 

Para todo x que pertenece a A, se cumple que x pertenece a B. Que podemos expresar:

${\displaystyle \lnot \exists x\in A:\;x\notin B\,}$ 

No existe un x de A, que cumpla que x no esté en B.

Véase también

• cuantificador existencial
• lógica de primer orden

Referencias

1. Lista de signos o símbolos no alfabetizables en el diccionario panhispánico de dudas, apéndice 4
2. Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed. (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0. 

Enlaces externos

•   Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre ∀.

•   Datos: Q126695
•   Multimedia: Category:Universal quantification