Criterio del cociente

El criterio del cociente o criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera, y por tanto, hacer una clasificación de esta.

Jean le Rond d'Alembert.

Definiendo con ${\displaystyle n}$ a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos respectivamente ${\displaystyle Lsup}$ y ${\displaystyle Linf}$al límite superior e inferior de la sucesión ${\displaystyle {A_{n+1} \over A_{n}}}$ se obtienen cada uno de los siguientes casos:

• Si ${\displaystyle Lsup<1,\ A_{n}}$ converge.
• Si ${\displaystyle Linf>1,\ A_{n}}$ diverge.
• Si ${\displaystyle Linf\leq 1\leq Lsup}$, el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.

En el caso particular de que dicha sucesión sea convergente tendremos entonces que ${\displaystyle Lsup=Linf=L}$, siendo ${\displaystyle L}$ el límite de la sucesión, por lo que el estudio se puede simplificar a los siguientes casos:

• Si ${\displaystyle L<1,\ A_{n}}$ converge.
• Si ${\displaystyle L>1,\ A_{n}}$ diverge.
• Si ${\displaystyle L=1}$, el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.

Formalización del método

El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:

Sea: ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)}$ 

Tal que:

• ${\displaystyle f(n)>0}$  (o sea una sucesión de términos positivos) y
• ${\displaystyle f(n)}$  tienda a cero cuando ${\displaystyle n}$  tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)

Se procede de la siguiente manera:

De las dos condiciones anteriores tenemos que la sucesión ${\displaystyle {\frac {f(n+1)}{f(n)}}}$  está acotada

1) Si además de acotada, dicha sucesión es convergente calculamos:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n+1)}{f(n)}}=L}$ 

Así obtenemos ${\displaystyle L}$  y se clasifica de la siguiente manera:

• ${\displaystyle L<1}$  la serie converge
• ${\displaystyle L>1}$  la serie diverge
• ${\displaystyle L=1}$  el criterio no sirve, por lo cual hay que aplicar otro criterio.

2) Si la sucesión ${\displaystyle {\frac {f(n+1)}{f(n)}}}$  no es convergente, como sucesión acotada que es, tendrá límites superior e inferior finitos.

Ahora bien habrá que calcularlos y proceder a aplicar el criterio más general:

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {f(n+1)}{f(n)}}=Lsup}$ , ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {f(n+1)}{f(n)}}=Linf}$ 

Con ${\displaystyle Lsup}$  y ${\displaystyle Linf}$ se clasifica de la siguiente manera:

• Si ${\displaystyle Lsup<1}$ , la serie converge.
• Si ${\displaystyle Linf>1}$ , la serie diverge.
• Si ${\displaystyle Linf\leq 1\leq Lsup}$ , el criterio no sirve, por lo cual hay que aplicar otro criterio.

Ejemplo

Sea: ${\displaystyle f(n)={\frac {n+1}{n!}}}$ 

Clasificar ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$ 

a)${\displaystyle f(n)={\frac {n+1}{n!}}>0}$ 

b) ${\displaystyle {\frac {n+1}{n!}}}$  tiende a cero conforme crece ${\displaystyle n}$  (porque el factorial crece más rápidamente que n+1)

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {f(n+1)}{f(n)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {n+2}{(n+1)!}}{\frac {n+1}{n!}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+2}{(n+1)!}}{\frac {n!}{(n+1)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+2)}{(n+1)^{2}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)+1}{(n+1)^{2}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\right)=0}$ 

y como ${\displaystyle L<1}$ , la serie ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$  converge.

Véase también

• Jean Le Rond d'Alembert
• Criterio de la raíz

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Ratio Test». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Ratio Test en PlanetMath.

•   Datos: Q165638