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Coordenadas elípticas

Las coordenadas elípticas son un sistema bidimensional de coordenadas curvilíneas ortogonales en los que las líneas coordenadas son elipses confocales e hipérbolas. Los dos focos y están generalmente fijos en las posiciones y , respectivamente, sobre el eje de un sistema cartesiano cuyos ejes son ejes de simetría de las líneas coordenadas hiperbólicas y elípticas.

Sistema de coordenadas elípticas.

Las coordenadas elípticas cilíndricas son un sistema tridimensional obtenido haciendo rotar el sistema anterior alrededor del eje de focos y añadiendo una coordenada angular polar adicional.

Relación con Coordenadas Cartesianas

Para un espacio lR2
La transformación a coordenadas elípticas es un cambio en lR2 que viene dado por (x,y) = Φ (r,φ) donde:[1]

Φ: lR2 → lR2
(r,φ) → Φ (r,φ) = (ar cosφ, br sinφ)

donde a y b son constantes. Entonces:

x = a r cosφ
y = b r sinφ


Se puede apreciar que la transformación a elípticas no es más que la composición una transformación a polares seguida de una dilatación por un factor a según el eje x y por un factor b según el eje y. Por ello, es inyectiva en el mismo conjunto que la transformación a polares, es decir, en (0,∞) x [0,2π)

El jacobiano de la transformación es:

J Φ (r,φ) = abr

dA = J Φ (r,φ) = abr dr dφ

En un espacio lR3
Se define el sistema de coordenadas elipsoidales (x,y,z) = Φ (r,θ,φ) mediante las siguientes coordenadas de transformación:[2]

x = a r sinφ cosθ
y = b r sinφ sinθ
z = c r cosφ


El volumen de un elemento en coordenadas elipsoidales equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales, y el Jacobiano es la fracción de las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas por las derivadas parciales de las coordenadas elípticas, por lo que:

J Φ (r,φ,θ) = d(x,y,x)/d(r,φ,θ) = abc r2 cos2φsinφ + abc r2 sin3φ = abc r2 sinφ(cos2φ + sin2φ) = abc r2 sinφ

Por lo tanto:

dV = J Φ (r,φ,θ) = abc r2 sinφ dr dφ dθ

Definición

La definición más común de las coordenadas elípticas bidimensionales   es:

 

Donde:

  es un número real no negativo y
 .

En el plano complejo, existe una relación equivalente dada por:

 

Estas definiciones corresponde a elipses e hipérbolas. La identidad trigonométrica:

 

muestra que las curvas con   constante son elipses, mientras que las la identidad trigonométrica hiperbólica:

 

muestra que las curvas con   constante son hipérbolas.

Aplicaciones

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas elípticas son resolución de ecuaciones en derivadas parciales como la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz, para las que las coordenadas elípticas admiten separación de variables. Un ejemplo típico es la carga eléctrica que rodea a un conductor plano de anchura 2a. O el campo de dos cargas eléctricas puntuales del mismo signo a una distancia 2a.

Véase también

Referencias

  1. de cálculo multivariable
  •   Datos: Q1332432

coordenadas, elípticas, coordenadas, elípticas, sistema, bidimensional, coordenadas, curvilíneas, ortogonales, líneas, coordenadas, elipses, confocales, hipérbolas, focos, displaystyle, displaystyle, están, generalmente, fijos, posiciones, displaystyle, displa. Las coordenadas elipticas son un sistema bidimensional de coordenadas curvilineas ortogonales en los que las lineas coordenadas son elipses confocales e hiperbolas Los dos focos F 1 displaystyle F 1 y F 2 displaystyle F 2 estan generalmente fijos en las posiciones x a displaystyle x a y x a displaystyle x a respectivamente sobre el eje O X displaystyle OX de un sistema cartesiano cuyos ejes son ejes de simetria de las lineas coordenadas hiperbolicas y elipticas Sistema de coordenadas elipticas Las coordenadas elipticas cilindricas son un sistema tridimensional obtenido haciendo rotar el sistema anterior alrededor del eje de focos y anadiendo una coordenada angular polar adicional Indice 1 Relacion con Coordenadas Cartesianas 2 Definicion 3 Aplicaciones 4 Vease tambien 5 ReferenciasRelacion con Coordenadas Cartesianas EditarPara un espacio lR2 La transformacion a coordenadas elipticas es un cambio en lR2 que viene dado por x y F r f donde 1 F lR2 lR2 r f F r f ar cosf br sinf donde a y b son constantes Entonces x a r cosf y b r sinfSe puede apreciar que la transformacion a elipticas no es mas que la composicion una transformacion a polares seguida de una dilatacion por un factor a segun el eje x y por un factor b segun el eje y Por ello es inyectiva en el mismo conjunto que la transformacion a polares es decir en 0 x 0 2p El jacobiano de la transformacion es J F r f abr dA J F r f abr dr dfEn un espacio lR3 Se define el sistema de coordenadas elipsoidales x y z F r 8 f mediante las siguientes coordenadas de transformacion 2 x a r sinf cos8 y b r sinf sin8 z c r cosfEl volumen de un elemento en coordenadas elipsoidales equivale al producto del jacobiano de la transformacion multiplicado por los tres diferenciales y el Jacobiano es la fraccion de las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas por las derivadas parciales de las coordenadas elipticas por lo que J F r f 8 d x y x d r f 8 abc r2 cos2fsinf abc r2 sin3f abc r2 sinf cos2f sin2f abc r2 sinfPor lo tanto dV J F r f 8 abc r2 sinf dr df d8Definicion EditarLa definicion mas comun de las coordenadas elipticas bidimensionales m n displaystyle mu nu es x a cosh m cos n y a sinh m sin n displaystyle begin cases x a cosh mu cos nu y a sinh mu sin nu end cases Donde m displaystyle mu es un numero real no negativo y n 0 2 p displaystyle nu in 0 2 pi En el plano complejo existe una relacion equivalente dada por x i y a cosh m i n displaystyle x iy a cosh mu i nu Estas definiciones corresponde a elipses e hiperbolas La identidad trigonometrica x 2 a 2 cosh 2 m y 2 a 2 sinh 2 m cos 2 n sin 2 n 1 displaystyle frac x 2 a 2 cosh 2 mu frac y 2 a 2 sinh 2 mu cos 2 nu sin 2 nu 1 muestra que las curvas con m displaystyle mu constante son elipses mientras que las la identidad trigonometrica hiperbolica x 2 a 2 cos 2 n y 2 a 2 sin 2 n cosh 2 m sinh 2 m 1 displaystyle frac x 2 a 2 cos 2 nu frac y 2 a 2 sin 2 nu cosh 2 mu sinh 2 mu 1 muestra que las curvas con n displaystyle nu constante son hiperbolas Aplicaciones EditarLas aplicaciones clasicas de las coordenadas elipticas son resolucion de ecuaciones en derivadas parciales como la ecuacion de Laplace o la ecuacion de Helmholtz para las que las coordenadas elipticas admiten separacion de variables Un ejemplo tipico es la carga electrica que rodea a un conductor plano de anchura 2a O el campo de dos cargas electricas puntuales del mismo signo a una distancia 2a Vease tambien EditarCoordenadas generalizadasReferencias Editar 1 de calculo multivariable Datos Q1332432Obtenido de https es wikipedia org w index php title Coordenadas elipticas amp oldid 117417821, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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