Convenio de suma de Einstein

Se denomina convenio de suma de Einstein, notación de Einstein o notación indexada a la convención utilizada para abreviar la escritura de sumatorios, en el que se suprime el símbolo de sumatorio representado con la letra griega sigma - ${\displaystyle \Sigma }$. El convenio fue introducido por Albert Einstein en 1916.^[1]​ Se aplica en matemáticas en especial a los cálculos realizados en álgebra lineal destinados a la física. El convenio se aplica sólo a sumatorios sobre índices repetidos. El convenio se usa especialmente con tensores donde es muy frecuente la operación de suma sobre índices repetidos y sería muy fatigoso escribir explícitamente los signos de sumatorios.

Definición

Dada una expresión lineal en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  en la que se escriben todos sus términos de forma explícita:

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}x_{1}+u_{2}x_{2}+u_{3}x_{3}+\cdots +u_{n}x_{n}}$ 

esta puede expresarse convencionalmente como el sumatorio:

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{i=1}^{n}u_{i}x_{i}}$ 

La notación de Einstein obtiene una expresión aún más condensada eliminando el signo de sumatorio y entendiendo que en la expresión resultante un índice indica la suma sobre todos los posibles valores del mismo.^[2]​

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{i}x_{i}}$ 

Índices

Un índice utilizado en la notación de Einstein puede aparecer en forma de producto hasta dos veces en mismo término de una expresión, por lo que las siguientes expresiones son válidas:

${\displaystyle k_{i}x_{i}\!}$ 

${\displaystyle \mathbf {v} _{i}=v_{ij}x_{j}}$ 

${\displaystyle c_{ijk}e_{i}e_{j}e_{k}\!}$ 

${\displaystyle {\frac {\partial {f}}{\partial {y_{j}}}}{\frac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}$ 

y las siguientes expresiones no se encuentran definidas o son inválidas:^[3]​

${\displaystyle x_{i}y_{i}z_{i}\!}$ 

${\displaystyle a_{m}x_{mj}y_{mk}\!}$ 

en cálculo de tensores es también común utilizar una de las ocurrencias como un subíndice y la otra como un superíndice. Por ejemplo, en la siguiente expresión en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ 

${\displaystyle \mathbf {} a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b_{0}+a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}}$ 

Un índice que se repite dos veces en el mismo término de una ecuación se conoce como índice mudo, por ejemplo:^[4]​

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{i}e_{i}\!}$ 

Un índice que se repite en cada uno de los términos de una expresión a excepción de los términos constantes se conoce como índice libre.^[2]​

${\displaystyle s_{r}=a_{r}x_{i}+b_{r}x_{j}+c_{r}-1\!}$ 

Los índices libres no se expanden en forma de sumatorio, sino que representan un sistema de ecuaciones independientes.

${\displaystyle s_{1}=a_{1}x_{i}+b_{1}x_{j}+c_{1}-1\!}$ 

${\displaystyle s_{2}=a_{2}x_{i}+b_{2}x_{j}+c_{2}-1\!}$ 

${\displaystyle s_{3}=a_{3}x_{i}+b_{3}x_{j}+c_{3}-1\!}$ 

Representaciones vectoriales

Se emplea el convenio de Einstein en Álgebra lineal para distinguir fácilmente entre vectores columna y vectores fila. Se puede, por ejemplo, poner superíndices para representar elementos en una columna y subíndices para representar elementos en una fila. Siguiendo esta convención, entonces,

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{i}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\cdots &u_{n}\end{bmatrix}}\ \ \mathrm {para} \ \ i=1,2,3,\ldots ,n}$ 

representa 1 x n vector fila y

${\displaystyle \mathbf {v} =v^{j}={\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\\vdots \\v^{n}\end{bmatrix}}\ \ \mathrm {para} \ \ j=1,2,3,\ldots ,n}$ 

representa n x 1 vector columna.

En matemática y en física teórica y en particular en la relatividad general, los vectores fila representan vectores covariantes mientras que los vectores columna representan vectores contravariantes.

Representación matricial

Empleando la notación estándar, se puede generar una matriz M × N denominada A mediante multiplicación de vectores columna v por vectores fila u:

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} }$ 

En la notación de Einstein, se tiene que:

${\displaystyle A_{j}^{i}=v^{i}u_{j}=(v\otimes u)_{j}^{i}}$ 

Como i y j representan dos índices diferentes y en este caso con dos rangos diferentes M y N respectivamente, los índices no son eliminados en la multiplicación. Ambos índices sobreviven a la multiplicación para llegar a crear una nueva matriz A.

Véase también

•   Portal:Física. Contenido relacionado con Física.
• Cálculo tensorial
• Notación bra-ket

Referencias

1. Einstein, Albert (1916). (PDF). Annalen der Physik. Archivado desde el original el 27 de abril de 2007. Consultado el 18 de abril de 2007. 
2. Reddy, J. N. (2008). An Introduction to Continuum Mechanics With Applications (en inglés). United States of America: Cambridge University Press. pp. 18 - 19. ISBN 9780511480362. 
3. Lai, Michael; Rubin, David; Krempl, Erhard (1999). Introduction to Continuum Mechanics (en inglés) (3ra. edición). United States of America: Butterworth Heinemann. pp. 6-7. ISBN 0750628944. 
4. Romero, Ignacio (20 de septiembre de 2004). Ingeniería Geológica: Mecánica de Medios Continuos (PDF). Consultado el 15 de septiembre de 2011. 

• Rawlings, Steve (1 de febrero de 2007). Lecture 10 - Einstein Summation Convention and Vector Identities. Oxford University.  (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).

• ELEMENTOS DE MATEMATICAS. 9 de febrero de 2012. 

•   Datos: Q673253