Contrarrecíproco

Se llama contrarrecíproco o contraposición a una ley lógica, formalizada en los silogismos por Aristóteles, que establece que la negación de un consecuente implica la negación de su antecedente. Es decir, si una primera premisa implica una segunda premisa, se puede concluir que la negación de la segunda premisa implica la negación de la primera premisa. En consecuencia, la implicación original y su contrarrecíproco son equivalentes.

Esta ley lógica puede escribirse formalmente como:

${\displaystyle (A\rightarrow B)\leftrightarrow (\lnot B\rightarrow \lnot A)}$

Por ejemplo, la siguiente implicación

${\displaystyle (A\rightarrow B)}$ Está lloviendo, por lo tanto, te espero dentro del teatro.

es equivalente a su contrarrecíproco

${\displaystyle (\lnot B\rightarrow \lnot A)}$ No te espero dentro del teatro, por lo tanto, no está lloviendo.

El contrarrecíproco es una articulación alternativa del modus tollendo tollens de la lógica proposicional.

Definición formal

Esta ley lógica puede utilizarse como regla de derivación en la línea de premisas. y puede definirse como la fórmula lógica

${\displaystyle (A\rightarrow B)\leftrightarrow (\lnot B\rightarrow \lnot A)}$ .

En efecto, si analizamos su tabla de valores de verdad:

A	B	(A → B)	↔	(¬B → ¬A)
V	V	V	V	V
V	F	F	V	F
F	V	V	V	V
F	F	V	V	V

Esta equivalencia queda clara, puesto que se obtiene una tautología.

La demostración de esta ley como regla del cálculo se realiza mediante la utilización de la regla "Introducción del negador", "Absurdo" o "Demostración indirecta" (diferentes nombres para una misma regla), de donde la regla "contrarrecíproco", también llamada de "contraposición" o "transposición" es derivada.

Aplicando las reglas del cálculo deducción natural:

--1	${\displaystyle A\Rightarrow B}$
┌--- 2	${\displaystyle \lnot B}$	Supuesto provisional 1
│┌-- 3	${\displaystyle \ A}$	Supuesto provisional 2
││ 4	${\displaystyle B}$	Modus Ponens, 1-3
│└-- 5	${\displaystyle B\land \lnot B}$	Producto 4-2; Cancelación supuesto 2
└--- 6	${\displaystyle \lnot A}$	Absurdo, 3-5; Cancelación supuesto 1
7	${\displaystyle \lnot B\rightarrow \lnot A}$	Teoría de la deducción, 2-6

Se expone aquí la fundamentación de una sola modalidad de las cuatro posibles, pues todas siguen los mismos pasos con iguales patrones, partiendo naturalmente del cambio de la premisa inicial.:^[1]​

${\displaystyle A\rightarrow \lnot B\vdash B\rightarrow \lnot A}$ 

${\displaystyle \lnot A\rightarrow B\vdash \lnot B\rightarrow A}$ 

${\displaystyle \lnot A\rightarrow \lnot B\vdash B\rightarrow A}$ 

Una vez fundamentada la ley en todos los casos posibles podemos establecer, como fórmulas equivalentes una regla de reemplazo de la siguiente forma:

Transposición

línea n	(A → B)		Fórmula de la cadena
	============	Doble línea de cierre^[2]​
	(¬B → ¬A)		Transposición., línea n.	Conclusión

Demostración por contrarrecíproco

Si tenemos que demostrar que una proposición p implica una proposición q (es decir, si se da p, se tiene que dar q), a veces es más sencillo demostrar que si no se da q, entonces no puede cumplirse p. Esto se conoce como demostración por contrarrecíproco o contraposición. Nótese que "p implica q" y "no q implica no p" son proposiciones equivalentes.

Ejemplo

Un ejemplo sencillo: "Demuéstrese que todos los números primos mayores que 2 son impares". Aquí,

${\displaystyle p}$ : "n es un número primo mayor que 2" ${\displaystyle q}$ : "n es un número impar".

Demostrar

${\displaystyle p\Rightarrow q}$ : "si un número primo es mayor que 2, entonces es impar "

es lo mismo que demostrar que

${\displaystyle \lnot q\Rightarrow \lnot p}$ : "si un número entero es par (i.e. no impar), entonces no es un número primo o es menor o igual que 2."

La ventaja es que esto es más fácil de demostrar, ya que todo número par se puede escribir como n = 2 × k, donde k es entero. Si k es menor o igual que 1 entonces n es menor o igual que 2 (segunda parte de ${\displaystyle \lnot p}$ ), así que podemos suponer que k es mayor que 1. En este supuesto n es mayor que 2, pero no es primo ya que tiene algún factor que no es ni 1 ni él mismo, concretamente k. Así que 2 es el único número primo par, por lo que se ha demostrado que todos los números primos mayores que 2 son impares.

Referencias

1. o.p. cit. pág. 107
2. La doble línea significa la equivalencia y por tanto la posibilidad de sustitución directa de una fórmula por la otra y viceversa en cualquier línea de una cadena deductiva

Bibliografía

• Garrido, M. (1974). Lógica Símbólica. Tecnos, Madrid. ISBN 84-309-0537-5. 

Véase también

• Cálculo
• Cálculo lógico

•   Datos: Q7249998