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Proporcionalidad

La proporcionalidad es una relación o razón constante entre diferentes magnitudes que se vayan a medir.

Símbolo

El símbolo matemático '∝' se utiliza para indicar que dos valores son proporcionales. Por ejemplo: A ∝ B.[1][2]

Proporcionalidad directa

Dadas dos variables X e Y, Y es (directamente) proporcional a X (X e Y varían directamente, o X e Y están en variación directa) si hay una constante distinta de cero tal que:

 

La relación a menudo se denota

 
Los dos rectángulos con franjas son semejantes, los cocientes de sus dimensiones se indican horizontalmente en la imagen. La duplicación de la escala del triángulo con franjas se indica oblicuamente en la imagen.
 

y la razón constante

 

es llamada, constante de proporcionalidad.

Para ilustrar, supongamos que si dividimos el peso de una muestra de hierro por su volumen, el resultado será el mismo que el obtenido al dividir el peso de cualquier otra muestra por su volumen, dicho cociente corresponde a la constante de proporcionalidad.[3]

Primer ejemplo

La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 g de mantequilla, cuatro huevos y 120 g de azúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios [cita requerida], la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por el número real de personas, cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde. Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 g de mantequilla y 150 g de azúcar).

Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas y se representa esta situación mediante una tabla de proporcionalidad: coeficiente k no nulo (  en el ejemplo) tal que

 


 
recta que pasa por el origen de coordenadas

Si se consideran   e   como valores de variables   e  , entonces se dice que estas variables son proporcionales; la igualdad y = k·x significa que y es una Función lineal de x.
La representación gráfica de esta función es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Una variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto que k≠0: y = 1/k · x):

 

Son las funciones más sencillas que existen y las primeras que se estudian en clase de matemáticas, con alumnos de trece años aproximadamente.

La relación «Ser proporcional a» es

  • reflexiva ( toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1)
  • simétrica (cuando y es proporcional a x entonces x lo es a y, con el coeficiente inverso) y
  • transitiva (si x es proporcional a y, e y a z, entonces x lo es con z, multiplicando los coeficientes)

por lo que se trata de una relación de equivalencia. En particular dos variables proporcionales a una tercera serán proporcionales entre sí).

La tabla del primer ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos:

 

por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.

 

Una proporción está formada por los números a, b, c y d, si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.

Una proporción está formada por dos razones iguales: a : b = c : d

Dónde a, b, c y d son distintos de cero y se lee a es a b como c es a d .

Proporción múltiple:

Una serie de razones está formada por tres o más razones iguales: a : b = c : d = e : f

Y se puede expresar como una proporción múltiple: a : c : e = b : d : f

En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman extremos; c y b se llaman medios.

En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Para establecer que una tabla es proporcional, se puede:

  1. verificar que la segunda columna es múltiple de la primera, (primera tabla: para pasar de la primera casilla a la segunda, hay que multiplicar por  ; en la segunda línea se tiene que multiplicar por  , luego estas fracciones deben ser iguales para obtener columnas proporcionales)
  2. verificar que la segunda línea es múltiple de la primera (segunda tabla, con un raciocinio parecido) o
  3. verificar la igualdad de los productos cruzados: a·d = b·c. (tercera tabla: las igualdades anteriores equivalen a a·d = b·c, cuando no hay valores nulos, que por cierto no tienen un gran interés en este contexto). ya que no se puede comprobar el número

Segundo ejemplo

Dos albañiles construyeron una pared para una casa de doce metros cuadrados de superficie en tres horas; ¿ Qué superficie construirán cinco albañiles en cuatro horas ?

Hay dos parámetros que influyen en la superficie construida: El número de albañiles y el tiempo de trabajo. No hay que resistir a la tentación de aplicar dos veces la proporcionalidad, pero eso sí, explicitando las hipótesis subyacentes.

Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al número de albañiles equivale a decir que todos los obreros tienen la misma eficacia al trabajo (son intercambiables); y afirmar que la superficie es proporcional al tiempo de trabajo supone que el rendimiento no cambia con el tiempo: los albañiles no se cansan.

 

Admitiendo estas dos hipótesis, se puede contestar a la pregunta pasando por una etapa intermedia: ¿ Qué superficie construirían dos albañiles en cuatro horas ? El parámetro "número de albañiles" tiene un valor fijo, luego se aplica la proporcionalidad con el tiempo (subtabla roja). La superficie construida será multiplicada por  . Luego, fijando el parámetro tiempo a cuatro horas, y variando él del número de obreros de 2 a 5, la superficie será multiplicada por   (la subtabla azul es proporcional).

El resultado final es   metro cuadrado.

La proporcionalidad múltiple se resuelve así, multiplicando por los coeficientes correspondientes a cada factor.

Tercer ejemplo

Dos autos recorren exactamente el mismo camino. Al primero le ha tomado dos horas y media llegar al destino, rodando a una velocidad promedio de 70 km/h. El segundo rueda a 100 km/h. ¿Cuánto tiempo ha tardado en llegar?

Cuanta mayor velocidad tenga uno, menor tiempo durará el viaje. Si se multiplica por dos la velocidad, la duración del viaje se dividirá en dos. Aquí, claramente el tiempo del recorrido no es proporcional a la velocidad sino justamente lo contrario: es inversamente proporcional, es decir proporcional a la inversa de la velocidad. Esto permite responder a la pregunta:

 

cambiando una multiplicación por una división (primera tabla) o aplicando la proporcionalidad con la inversa de la velocidad (segunda tabla). El tiempo será  , es decir una hora y 45 minutos.

Más generalmente, si una variable y es inversamente proporcional a otra variable x, se puede aplicar la proporcionalidad con  , o más bien utilizar la siguiente equivalencia:

 

Es decir que el producto de los valores correspondientes (aquí en la misma línea) es constante. En el ejemplo: 70 × 2,5 = 100 × 1, 75 = 175 km, que es la longitud del recorrido.

Una tabla de variación proporcional es aquella que sigue una secuencia utilizando de base el precio de algún objeto u otra cosa que pueda aumentar o disminuir cierto número u objeto de forma proporcional. ejem:

número de canicas precio

2 canicas 50 centavos
4 canicas 1 peso
6 canicas 1,50 pesos

Magnitudes Directamente Proporcionales:

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida respectivamente por el mismo número.

Ejemplo:

Un automóvil consume 3 galones de gasolina por 120 km de recorrido ¿Cuantos kilómetros recorre con 20 galones?

Observamos que las magnitudes son directas Si la razón o cociente entre ellas es un valor constante. Con los datos de la tabla, hallamos la razón.

Elaboramos una tabla de proporcionalidad:

Gasolina (galones) 3 1 10 20 40
Recorrido (kilómetros) 120 40 400 800 1600

Con 20 galones de gasolina, el auto recorre 800 kilómetros: Mientras más kilómetros se recorran, más galones de gasolina se consumirán. El número de kilómetros recorridos es directamente proporcional (D.P) al número de galones de gasolina. Siempre que las demás condiciones se mantuvieran constantes. Significa, que no se modificaran las condiciones climáticas o geográficas que modificaran el consumo.

Aplicación en geometría

El concepto de proporcionalidad es equivalente al de semejanza cuando se comparan dos triángulos semejantes. De hecho las propiedades de la proporcionalidad (reflexividad, simetría y transitividad) son las mismas que las de la semejanza.

Propiedades

Ya que

 

es equivalente a

 

se sigue que si y es proporcional a x, con constante de proporcionalidad k distinta de cero, entonces x es también proporcional a y con constante de proporcionalidad 1/k.

Si y es proporcional a x, entonces el gráfico de y como función de x será una línea recta que pasa por el origen con la pendiente de la línea igual a la constante de proporcionalidad: corresponde a un crecimiento lineal.

Proporcionalidad inversa

El concepto de proporcionalidad inversa puede ser contrastado contra la proporcionalidad directa. Considere dos variables que se dice son "inversamente proporcionales" entre sí. Si todas las otras variables se mantienen constantes, la magnitud o el valor absoluto de una variable de proporcionalidad inversa disminuirá proporcionalmente si la otra variable aumenta, mientras que su producto se mantendrá (la constante de proporcionalidad k) siempre igual.

Formalmente, dos variables son inversamente proporcionales (o están en variación inversa, o en proporción inversa o en proporción recíproca) si una de las variables es directamente proporcional con la multiplicativa inversa (recíproca) de la otra, o equivalentemente, si sus productos son constantes. Se sigue que la variable y es inversamente proporcional a la variable x si existe una constante k distinta de cero tal que

 

Factor constante de proporcionalidad

La constante, o factor de proporcionalidad, puede ser encontrada multiplicando la variable "x" original y la variable "y" original.

Mejor definido en palabras sencillas es cuando una cantidad o variable sube proporcionalmente la otra variable baja o viceversa.

Como ejemplo, el tiempo consumido en una travesía es inversamente proporcional a la velocidad del viaje; el tiempo necesitado para cavar un hoyo es (aproximadamente) inversamente proporcional al número de personas cavando.

El gráfico de dos variables variando inversamente en un plano de coordenadas cartesianas es una hipérbola. El producto de los valores X e Y de cada punto de esa curva igualarán la constante de proporcionalidad (k). Ya que ni x ni y pueden ser igual a cero (si k es distinta de), la curva nunca cruzará ningún eje.

Coordenadas hiperbólicas

Los conceptos de proporción directa e inversa conllevan a la ubicación y puntos en el plano cartesiano por coordenadas hiperbólicas; las dos coordenadas corresponden a la constante de proporcionalidad directa que ubica un punto en un rayo y la constante de proporcionalidad inversa que posiciona un punto en una hipérbola.

Proporcionalidad exponencial y logarítmica

Una variable y es proporcionalmente exponencial a una variable x, si y es directamente proporcional a la función exponencial de x, esto es si existen constantes k y a diferentes de cero.

 

Del mismo modo, una variable y es logaritmicamente proporcional a una variable x, si y es directamente proporcional al logaritmo de x, esto es si existen las constantes k y a distintas de cero.

 

Determinación experimental

Para determinar experimentalmente si dos cantidades físicas son directamente proporcionales, uno realiza diversas mediciones y plotea los puntos resultantes de la data en un sistema de coordenadas cartesianas. Si los puntos caen en o cerca de una línea recta que pasa por el origen (0, 0), entonces las dos variables son probablemente proporcionales, con la constante de proporcionalidad dada por la pendiente de la línea.

Relación de equivalencia

La proporcionalidad es una relación de equivalencia en un conjunto   (o incluso  ). Esto es porque es: reflexiva, simétrica y transitiva. Esto se prueba a continuación usando la definición: si a∝b entonces

 , donde k es una constante diferente de cero.

Reflexividad

Para todo  ,

 

Por lo tanto, como uno es una constante diferente de cero,

 

Simetría

Supongase que   y a∝b, entonces,

 

en donde k es una constante diferente de cero. Dividiendo por k, tenemos:

 

Como k es diferente de cero, 1/k es también diferente de cero. De modo que:

 

Transitividad

Supongase que  , a∝b y b∝c. Entonces,

 

y, y es una variable y X es un expositor

 

en donde k y n son constantes distintas de cero. Substituyendo la segunda ecuación en la primera, tenemos:

 

Como k y n son diferentes a cero, kn debe ser también diferente de cero. Por lo tanto:

 

Repartos proporcionales

Antecedente histórico

Las primeras compañías europeas fueron fundadas por armadores navieros de Italia. Empiezan en el siglo IX. La aritmética negocial, tomada de los árabes por Leonardo de Pisa, tuvo una gran aceptación y uso en Europa en esa época. Se aplicaba en la resolución de problemas vinculados en la repartición de beneficios y pérdidas que acarreaban las actividades de dichas empresa navales.

Casos de repartos proporcionales

Estos consisten en distribuir un número en partes proporcionales a otros varios y diversos. Pueden presentarse los repartos directos o inversos o compuestos.

"Para repartir un número dato en partes directamente proporcionales a diversos números enteros positivos, se multiplica el número a repartir por cada uno de los enteros y se divide por la suma de todos ellos". Ejemplo

Repartir 120 en partes directamente proporcionales a 2, 3 y 5.

Solución de la ecuación: El primero recibirá 2k, el segundo 3k y el tercero 5k. Los tres reciben 2k + 3k + 5k = 120, de donde 10k = 120. De modo que la incógnita k = 120/10 = 12.

Así al primero le toca 12 x 2 = 24; al segundo, 12 x 3 = 36; al tercero, 12 x 5 = 60.

En partes inversamente proporcionales

Un padre dispone que, en caso de fallecimiento, sus 6.200 acciones bancarias se repartan en partes inversamente proporcionales a las edades de su hijos que tienen 4, 6 y 10 años respectivamente.

Esto significa que debe recibir más acciones el hijo que tiene menos edad y menos acciones el de más edad.

En este caso se divide en partes 'directamente proporcionales a 1/4, a 1/6 y 1/10. Que llevados a mínimo común denominador, resultan: 15/60, 10/60 y 6/60.

Luego se reparte en partes directamente proporcionales a 15, 10 y 6. Resultando:

El menor con 3.000 acciones; el intermedio, 2.000; y el mayor, con 1.200 acciones.

  • Consúltese "Arimética [1]" de Lic. L. Galdós. Cultural, S.A. Madrid. (2002). ISBN 9972-891-14-3

Véase también

Crecimiento

Referencias

  1. «Estádistica - Proporción - ESTADSTICA PROPORCIN La proporcionalidad es una relacin o razn constante entre magnitudes medibles Si uno aumenta o». www.coursehero.com (en inglés). Consultado el 12 de noviembre de 2018. 
  2. «Unicode Character “∝” (U+221D)» (en inglés). Consultado el 11 de junio de 2019. 
  3. FUNCIONES Y ESCALAS, UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA, DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Y ARTES. EPISTEMOLOGÍA E HISTORIA DE LA FÍSICA. Consultado el 9 de febrero de 2016. 

Enlaces externos


  •   Datos: Q51379

proporcionalidad, proporcionalidad, relación, razón, constante, entre, diferentes, magnitudes, vayan, medir, Índice, símbolo, directa, primer, ejemplo, segundo, ejemplo, tercer, ejemplo, aplicación, geometría, propiedades, inversa, factor, constante, proporcio. La proporcionalidad es una relacion o razon constante entre diferentes magnitudes que se vayan a medir Indice 1 Simbolo 2 Proporcionalidad directa 2 1 Primer ejemplo 2 2 Segundo ejemplo 2 3 Tercer ejemplo 3 Aplicacion en geometria 3 1 Propiedades 4 Proporcionalidad inversa 5 Factor constante de proporcionalidad 6 Coordenadas hiperbolicas 7 Proporcionalidad exponencial y logaritmica 8 Determinacion experimental 9 Relacion de equivalencia 9 1 Reflexividad 9 2 Simetria 9 3 Transitividad 10 Repartos proporcionales 10 1 Antecedente historico 10 2 Casos de repartos proporcionales 10 3 En partes inversamente proporcionales 11 Vease tambien 11 1 Crecimiento 12 Referencias 13 Enlaces externosSimbolo EditarEl simbolo matematico se utiliza para indicar que dos valores son proporcionales Por ejemplo A B 1 2 Proporcionalidad directa EditarDadas dos variables X e Y Y es directamente proporcional a X X e Y varian directamente o X e Y estan en variacion directa si hay una constante distinta de cero tal que y k x displaystyle y kx La relacion a menudo se denota Los dos rectangulos con franjas son semejantes los cocientes de sus dimensiones se indican horizontalmente en la imagen La duplicacion de la escala del triangulo con franjas se indica oblicuamente en la imagen y x displaystyle y propto x y la razon constante k y x displaystyle k y x es llamada constante de proporcionalidad Para ilustrar supongamos que si dividimos el peso de una muestra de hierro por su volumen el resultado sera el mismo que el obtenido al dividir el peso de cualquier otra muestra por su volumen dicho cociente corresponde a la constante de proporcionalidad 3 Primer ejemplo Editar La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina 150 g de mantequilla cuatro huevos y 120 g de azucar Como adaptar la receta para cinco personas Segun varios estudios cita requerida la mayoria de la gente calcularia las cantidades para una persona dividiendo entre cuatro y luego las multiplicaria por el numero real de personas cinco otras solo le sumarian lo que a una persona le corresponde Una minoria no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias es decir por persona y multiplicaria los numeros de la receta por 5 4 1 25 lo que equivale a anadir cinco huevos 250 g de harina 187 5 g de mantequilla y 150 g de azucar Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al numero de personas y se representa esta situacion mediante una tabla de proporcionalidad coeficiente k no nulo 5 4 displaystyle 5 over 4 en el ejemplo tal quey 1 k x 1 y 2 k x 2 y n k x n displaystyle y 1 k cdot x 1 y 2 k cdot x 2 quad quad y n k cdot x n recta que pasa por el origen de coordenadas Si se consideran x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 x n e y 1 y 2 y n displaystyle y 1 y 2 y n como valores de variables x displaystyle x e y displaystyle y entonces se dice que estas variables son proporcionales la igualdad y k x significa que y es una Funcion lineal de x La representacion grafica de esta funcion es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas Una variacion incremento o decremento de x da lugar a una variacion proporcional de y y reciprocamente puesto que k 0 y 1 k x D y k D x displaystyle Delta y k cdot Delta x Son las funciones mas sencillas que existen y las primeras que se estudian en clase de matematicas con alumnos de trece anos aproximadamente La relacion Ser proporcional a es reflexiva toda variable es proporcional a si misma con el coeficiente 1 simetrica cuando y es proporcional a x entonces x lo es a y con el coeficiente inverso y transitiva si x es proporcional a y e y a z entonces x lo es con z multiplicando los coeficientes por lo que se trata de una relacion de equivalencia En particular dos variables proporcionales a una tercera seran proporcionales entre si La tabla del primer ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas Una proporcion esta formada por los numeros a b c y d si la razon entre a y b es la misma que entre c y d Una proporcion esta formada por dos razones iguales a b c dDonde a b c y d son distintos de cero y se lee a es a b como c es a d Proporcion multiple Una serie de razones esta formada por tres o mas razones iguales a b c d e fY se puede expresar como una proporcion multiple a c e b d fEn la proporcion hay cuatro terminos a y d se llaman extremos c y b se llaman medios En toda proporcion el producto de los extremos es igual al producto de los medios Para establecer que una tabla es proporcional se puede verificar que la segunda columna es multiple de la primera primera tabla para pasar de la primera casilla a la segunda hay que multiplicar por b a displaystyle b over a en la segunda linea se tiene que multiplicar por d c displaystyle d over c luego estas fracciones deben ser iguales para obtener columnas proporcionales verificar que la segunda linea es multiple de la primera segunda tabla con un raciocinio parecido o verificar la igualdad de los productos cruzados a d b c tercera tabla las igualdades anteriores equivalen a a d b c cuando no hay valores nulos que por cierto no tienen un gran interes en este contexto ya que no se puede comprobar el numeroSegundo ejemplo Editar Dos albaniles construyeron una pared para una casa de doce metros cuadrados de superficie en tres horas Que superficie construiran cinco albaniles en cuatro horas Hay dos parametros que influyen en la superficie construida El numero de albaniles y el tiempo de trabajo No hay que resistir a la tentacion de aplicar dos veces la proporcionalidad pero eso si explicitando las hipotesis subyacentes Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al numero de albaniles equivale a decir que todos los obreros tienen la misma eficacia al trabajo son intercambiables y afirmar que la superficie es proporcional al tiempo de trabajo supone que el rendimiento no cambia con el tiempo los albaniles no se cansan Admitiendo estas dos hipotesis se puede contestar a la pregunta pasando por una etapa intermedia Que superficie construirian dos albaniles en cuatro horas El parametro numero de albaniles tiene un valor fijo luego se aplica la proporcionalidad con el tiempo subtabla roja La superficie construida sera multiplicada por 4 3 displaystyle 4 over 3 Luego fijando el parametro tiempo a cuatro horas y variando el del numero de obreros de 2 a 5 la superficie sera multiplicada por 5 2 displaystyle 5 over 2 la subtabla azul es proporcional El resultado final es 12 4 3 5 2 40 displaystyle 12 times frac 4 3 times frac 5 2 40 metro cuadrado La proporcionalidad multiple se resuelve asi multiplicando por los coeficientes correspondientes a cada factor Tercer ejemplo Editar Dos autos recorren exactamente el mismo camino Al primero le ha tomado dos horas y media llegar al destino rodando a una velocidad promedio de 70 km h El segundo rueda a 100 km h Cuanto tiempo ha tardado en llegar Cuanta mayor velocidad tenga uno menor tiempo durara el viaje Si se multiplica por dos la velocidad la duracion del viaje se dividira en dos Aqui claramente el tiempo del recorrido no es proporcional a la velocidad sino justamente lo contrario es inversamente proporcional es decir proporcional a la inversa de la velocidad Esto permite responder a la pregunta cambiando una multiplicacion por una division primera tabla o aplicando la proporcionalidad con la inversa de la velocidad segunda tabla El tiempo sera 2 5 7 10 1 75 displaystyle 2 5 times frac 7 10 1 75 es decir una hora y 45 minutos Mas generalmente si una variable y es inversamente proporcional a otra variable x se puede aplicar la proporcionalidad con 1 x displaystyle 1 over x o mas bien utilizar la siguiente equivalencia Es decir que el producto de los valores correspondientes aqui en la misma linea es constante En el ejemplo 70 2 5 100 1 75 175 km que es la longitud del recorrido Una tabla de variacion proporcional es aquella que sigue una secuencia utilizando de base el precio de algun objeto u otra cosa que pueda aumentar o disminuir cierto numero u objeto de forma proporcional ejem numero de canicas precio 2 canicas 50 centavos 4 canicas 1 peso 6 canicas 1 50 pesosMagnitudes Directamente Proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un numero la otra queda multiplicada o dividida respectivamente por el mismo numero Ejemplo Un automovil consume 3 galones de gasolina por 120 km de recorrido Cuantos kilometros recorre con 20 galones Observamos que las magnitudes son directas Si la razon o cociente entre ellas es un valor constante Con los datos de la tabla hallamos la razon Elaboramos una tabla de proporcionalidad Gasolina galones 3 1 10 20 40Recorrido kilometros 120 40 400 800 1600Con 20 galones de gasolina el auto recorre 800 kilometros Mientras mas kilometros se recorran mas galones de gasolina se consumiran El numero de kilometros recorridos es directamente proporcional D P al numero de galones de gasolina Siempre que las demas condiciones se mantuvieran constantes Significa que no se modificaran las condiciones climaticas o geograficas que modificaran el consumo Aplicacion en geometria EditarEl concepto de proporcionalidad es equivalente al de semejanza cuando se comparan dos triangulos semejantes De hecho las propiedades de la proporcionalidad reflexividad simetria y transitividad son las mismas que las de la semejanza Propiedades Editar Ya que y k x displaystyle y kx es equivalente a x 1 k y displaystyle x left frac 1 k right y se sigue que si y es proporcional a x con constante de proporcionalidad k distinta de cero entonces x es tambien proporcional a y con constante de proporcionalidad 1 k Si y es proporcional a x entonces el grafico de y como funcion de x sera una linea recta que pasa por el origen con la pendiente de la linea igual a la constante de proporcionalidad corresponde a un crecimiento lineal Proporcionalidad inversa EditarEl concepto de proporcionalidad inversa puede ser contrastado contra la proporcionalidad directa Considere dos variables que se dice son inversamente proporcionales entre si Si todas las otras variables se mantienen constantes la magnitud o el valor absoluto de una variable de proporcionalidad inversa disminuira proporcionalmente si la otra variable aumenta mientras que su producto se mantendra la constante de proporcionalidad k siempre igual Formalmente dos variables son inversamente proporcionales o estan en variacion inversa o en proporcion inversa o en proporcion reciproca si una de las variables es directamente proporcional con la multiplicativa inversa reciproca de la otra o equivalentemente si sus productos son constantes Se sigue que la variable y es inversamente proporcional a la variable x si existe una constante k distinta de cero tal que y k x displaystyle y k over x Factor constante de proporcionalidad EditarLa constante o factor de proporcionalidad puede ser encontrada multiplicando la variable x original y la variable y original Mejor definido en palabras sencillas es cuando una cantidad o variable sube proporcionalmente la otra variable baja o viceversa Como ejemplo el tiempo consumido en una travesia es inversamente proporcional a la velocidad del viaje el tiempo necesitado para cavar un hoyo es aproximadamente inversamente proporcional al numero de personas cavando El grafico de dos variables variando inversamente en un plano de coordenadas cartesianas es una hiperbola El producto de los valores X e Y de cada punto de esa curva igualaran la constante de proporcionalidad k Ya que ni x ni y pueden ser igual a cero si k es distinta de la curva nunca cruzara ningun eje Coordenadas hiperbolicas EditarArticulo principal Coordenadas hiperbolicas Los conceptos de proporcion directa e inversa conllevan a la ubicacion y puntos en el plano cartesiano por coordenadas hiperbolicas las dos coordenadas corresponden a la constante de proporcionalidad directa que ubica un punto en un rayo y la constante de proporcionalidad inversa que posiciona un punto en una hiperbola Proporcionalidad exponencial y logaritmica EditarUna variable y es proporcionalmente exponencial a una variable x si y es directamente proporcional a la funcion exponencial de x esto es si existen constantes k y a diferentes de cero y k a x displaystyle y ka x Del mismo modo una variable y es logaritmicamente proporcional a una variable x si y es directamente proporcional al logaritmo de x esto es si existen las constantes k y a distintas de cero y k log a x displaystyle y k log a x Determinacion experimental EditarPara determinar experimentalmente si dos cantidades fisicas son directamente proporcionales uno realiza diversas mediciones y plotea los puntos resultantes de la data en un sistema de coordenadas cartesianas Si los puntos caen en o cerca de una linea recta que pasa por el origen 0 0 entonces las dos variables son probablemente proporcionales con la constante de proporcionalidad dada por la pendiente de la linea Relacion de equivalencia EditarLa proporcionalidad es una relacion de equivalencia en un conjunto R 0 displaystyle mathbb R setminus 0 o incluso C 0 displaystyle mathbb C setminus 0 Esto es porque es reflexiva simetrica y transitiva Esto se prueba a continuacion usando la definicion si a b entonces a k b displaystyle a kb donde k es una constante diferente de cero Reflexividad Editar Para todo a R 0 displaystyle a in mathbb R setminus 0 a 1 a displaystyle a 1 cdot a Por lo tanto como uno es una constante diferente de cero a a displaystyle a propto a Simetria Editar Supongase que a b R 0 displaystyle a b in mathbb R setminus 0 y a b entonces a k b displaystyle a kb en donde k es una constante diferente de cero Dividiendo por k tenemos b a k 1 k a displaystyle b frac a k frac 1 k cdot a Como k es diferente de cero 1 k es tambien diferente de cero De modo que b a displaystyle b propto a Transitividad Editar Supongase que a b c R 0 displaystyle a b c in mathbb R setminus 0 a b y b c Entonces a k b displaystyle a kb y y es una variable y X es un expositor b n c displaystyle b nc en donde k y n son constantes distintas de cero Substituyendo la segunda ecuacion en la primera tenemos a k n c k n c displaystyle a k cdot nc kn cdot c Como k y n son diferentes a cero kn debe ser tambien diferente de cero Por lo tanto a c displaystyle a propto c Repartos proporcionales EditarAntecedente historico Editar Las primeras companias europeas fueron fundadas por armadores navieros de Italia Empiezan en el siglo IX La aritmetica negocial tomada de los arabes por Leonardo de Pisa tuvo una gran aceptacion y uso en Europa en esa epoca Se aplicaba en la resolucion de problemas vinculados en la reparticion de beneficios y perdidas que acarreaban las actividades de dichas empresa navales Casos de repartos proporcionales Editar Estos consisten en distribuir un numero en partes proporcionales a otros varios y diversos Pueden presentarse los repartos directos o inversos o compuestos Para repartir un numero dato en partes directamente proporcionales a diversos numeros enteros positivos se multiplica el numero a repartir por cada uno de los enteros y se divide por la suma de todos ellos EjemploRepartir 120 en partes directamente proporcionales a 2 3 y 5 Solucion de la ecuacion El primero recibira 2k el segundo 3k y el tercero 5k Los tres reciben 2k 3k 5k 120 de donde 10k 120 De modo que la incognita k 120 10 12 Asi al primero le toca 12 x 2 24 al segundo 12 x 3 36 al tercero 12 x 5 60 En partes inversamente proporcionales Editar Un padre dispone que en caso de fallecimiento sus 6 200 acciones bancarias se repartan en partes inversamente proporcionales a las edades de su hijos que tienen 4 6 y 10 anos respectivamente Esto significa que debe recibir mas acciones el hijo que tiene menos edad y menos acciones el de mas edad En este caso se divide en partes directamente proporcionales a 1 4 a 1 6 y 1 10 Que llevados a minimo comun denominador resultan 15 60 10 60 y 6 60 Luego se reparte en partes directamente proporcionales a 15 10 y 6 Resultando El menor con 3 000 acciones el intermedio 2 000 y el mayor con 1 200 acciones Consultese Arimetica 1 de Lic L Galdos Cultural S A Madrid 2002 ISBN 9972 891 14 3Vease tambien EditarProporcionalidad compuesta Correlacion Eudoxo de Cnidos Numero aureo Proporcionalidad creciente Triangulos semejantes Tipografia proporcional Regla de tres Relacion de equivalenciaCrecimiento Editar Crecimiento lineal Crecimiento hiperbolicoReferencias Editar Estadistica Proporcion ESTADSTICA PROPORCIN La proporcionalidad es una relacin o razn constante entre magnitudes medibles Si uno aumenta o www coursehero com en ingles Consultado el 12 de noviembre de 2018 Unicode Character U 221D en ingles Consultado el 11 de junio de 2019 FUNCIONES Y ESCALAS UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Y ARTES EPISTEMOLOGIA E HISTORIA DE LA FISICA Consultado el 9 de febrero de 2016 Enlaces externos EditarActividades con proporcionalidad Weisstein Eric W Proportional En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Datos Q51379Obtenido de https es wikipedia org w index php title Proporcionalidad amp oldid 138163452, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

español

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