Conjunto vacío

Desde principios del siglo XX, en la matemática, particularmente en la teoría axiomática de Conjuntos de ZF o la teoría intuitiva de conjuntos, el conjunto vacío es el que no posee elemento alguno. Puesto que lo único que define a un conjunto es la propiedad que satisfacen sus elementos, el conjunto vacío es único.

El conjunto vacío es aquel que no tiene elementos.

Algunas propiedades de los conjuntos son obviamente ciertas para el conjunto vacío. En una teoría axiomática de conjuntos, la existencia de un conjunto vacío se postula.

Definición y notación

 

Símbolo del conjunto vacío

El conjunto vacío es el conjunto que no tiene elementos.

El conjunto vacío es denotado por los símbolos:

${\displaystyle \varnothing \,{\acute {\text{o}}}\;\emptyset \,}$ 

derivados de la letra Ø de las lenguas danesa y noruega, entre otras. Esta notación fue introducida por André Weil en 1939.^[1]​ Otra notación común para el conjunto vacío es la notación extensiva, especificando sus elementos (ninguno) entre llaves:

${\displaystyle \{\}\,}$ 

El conjunto vacío ${\displaystyle \emptyset \ }$  es el conjunto de todos los elementos ${\displaystyle x}$  tal que ${\displaystyle x\neq x}$ 

Expresión analítica : Sea el conjunto en el espacio vectorial R ${\displaystyle S=\{x\in \mathbf {Z} :x^{2}-x+2=0\}.}$ . Entonces ${\displaystyle S=\varnothing }$ ^[2]​

Propiedades

Es necesario y legítimo hablar de «el conjunto vacío» y no de «un conjunto vacío». El conjunto vacío posee ciertas propiedades:

El único subconjunto del conjunto vacío es él mismo: ${\displaystyle A\subseteq \varnothing \;{\text{ si y solo si }}\;A=\varnothing }$  El número de elementos o cardinal del conjunto vacío es cero: ${\displaystyle |\varnothing |=0}$  En particular, el conjunto vacío es un conjunto finito.

Muchas afirmaciones sobre el conjunto vacío son trivialmente ciertas, debido a la siguiente propiedad:

Sea una propiedad expresada mediante un predicado (como «ser mortal» o «ser un número primo»). Entonces todos los elementos del conjunto vacío poseen esa propiedad.

Este teorema es cierto porque el conjunto vacío no tiene elementos, y decir «todo hombre en ∅ es inmortal» es lo mismo que afirmar que «no hay ningún hombre mortal en ∅», y esto último es trivialmente cierto. Además, el conjunto vacío actúa como el cero en las operaciones del álgebra de conjuntos:

Para todo conjunto A, el conjunto vacío es subconjunto de A: ${\displaystyle \varnothing \subseteq A}$  Para todo conjunto A, la unión de A con el conjunto vacío es A: ${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$  Para todo conjunto A, la intersección de A con el conjunto vacío resulta en el conjunto vacío: ${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$  Para todo conjunto A, el producto cartesiano de A y el conjunto vacío es vacío: ${\displaystyle A\times \varnothing =\varnothing \times A=\varnothing }$

Adicionalmente, el conjunto potencia del conjunto vacío es el que contiene sólo al mismo conjunto vacío, es decir, { ∅ }. Por lo tanto, el número cardinal de ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}}$  es ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(\varnothing )|=1}$ .

Otras propiedades

• La intersección de un conjunto y su complementario es el conjunto vacío.En símbolos: ${\displaystyle A\cap A^{c}=\varnothing }$ 
• El conjunto ${\displaystyle \varnothing }$  es abierto y cerrado.
• La diferencia de cualquier conjunto consigo mismo es el conjunto vacío. ${\displaystyle A\setminus A=\varnothing }$ 
• En la diferencia simétrica definida en un conjunto potencia , el conjunto vacío es el elemento neutro, esto es, ${\displaystyle A\ \Delta \varnothing =A}$ 
• En una partición de un conjunto inducida por una relación de equivalencia, la intersección de dos clases distintas es el conjunto vacío.${\displaystyle k\neq l\Rightarrow A_{k}\cap A_{l}=\varnothing }$ 
• El conjunto vacío es elemento del conjunto potencia de cualquier conjunto, necesariamente. ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {P}}(A)}$ ^[3]​
• La unión de una familia vacía de conjuntos es el conjunto vacío
• la intersección de una familia vacía de conjuntos es el conjunto vacío.
• ${\displaystyle \varnothing }$  figura como elemento propio de toda topología sobre X. Notación: ${\displaystyle \varnothing \in T(X)}$ . Y es cerrado, a la vez que abierto en cualquier topología.^[4]​
• La intersección del interior del conjunto A con el interior de su complementario es ${\displaystyle A^{\circ }\cap B^{\circ }=\varnothing }$  donde ${\displaystyle B=X\setminus A}$ 
• La intersección del interior con su frontera es ${\displaystyle A^{\circ }\cap \partial A=\varnothing }$ 
• El conjunto ${\displaystyle A=\{x/x\in {\mathcal {R}}\}}$  tal que ${\displaystyle |x|<0}$  es igual a ${\displaystyle \varnothing }$ ^[5]​
• En cálculo de probabilidades el conjunto vacío representa el suceso imposible y P(∅) = 0^[6]​

Véase también

• Álgebra de conjuntos
• Conjunto
• Teoría de conjuntos
• Suma vacía
• Producto vacío

Referencias

1. Weil, André (1992). The apprenticeship of a mathematician. Birkhäuser. ISBN 9783764326500.  Página 114.
2. Yu. M. Korshunov Fundamentos de la cibernética Editorial Mir Moscú s/f
3. Carlos Vega: Notas de Matemática, Editorial de la Universidad de San Marcos
4. Lipschitz:Topología Colección Schaumm
5. Casimiro Kuratowski Introducción a la teoría de conjuntos y a la topología
6. Moya y otro:Probabilidad e inferencia estadística

Literatura de consulta

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.

•   Datos: Q226183
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