Conjetura de Andrica

La conjetura de Andrica (por Dorin Andrica) es una conjetura sobre las diferencias entre números primos consecutivos^[1]​

${\displaystyle A_{n}}$ para los 100 primeros números primos.

${\displaystyle A_{n}}$ para los 200 primeros números primos.

${\displaystyle A_{n}}$ para los 500 primeros números primos.

La conjetura establece que la desigualdad

${\displaystyle {\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1}$

se cumple para todo ${\displaystyle n}$, donde ${\displaystyle p_{n}}$ es el ${\displaystyle n}$-ésimo número primo. Si ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$ denota la n-ésima diferencia entre primos consecutivos, la conjetura de Andrica puede expresarse como

${\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n+1}}}+{\sqrt {p_{n}}}.}$

Evidencia empírica

Imran Ghory usó datos de espacios entre primos muy grandes para mostrar que la conjetura es cierta para valores de ${\displaystyle n}$  menores a 1.3002 x 10¹⁶.^[2]​

El comportamiento de la función discreta ${\displaystyle A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}}$  se muestra en las gráficas de la derecha. Los valores más altos de ${\displaystyle A_{n}}$  se producen para n = 1, 2, y 4, con

${\displaystyle A_{4}\approx }$  0,670873 ...,

sin que se produzca un valor más grande entre los primeros 10⁵ primos. Dado que la función de Andrica decrece asintóticamente a medida que ${\displaystyle n}$  crece, es necesario que se vayan produciendo diferencias entre primos consecutivos cada vez mayores para generar valores altos de ${\displaystyle A_{n}}$  cuando ${\displaystyle n}$  se hace grande. Por lo tanto parece muy probable que la conjetura sea verdad.

Generalizaciones

Como una generalización de la conjetura de Andrica, puede considerarse la siguiente ecuación:

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,}$ 

donde ${\displaystyle p_{n}}$  es el ${\displaystyle n}$ -ésimo primo y n puede ser cualquier entero positivo.

Es fácil ver que la solución más grande posible ${\displaystyle x}$  se tiene para ${\displaystyle n=1}$ , cuanto x_máx=1. Para la solución más pequeña posible ${\displaystyle x}$  se ha conjeturado que es x_mín ${\displaystyle \approx }$  0.567148 ... , que se produce cuando ${\displaystyle n=30}$ .

Esta conjetura puede considerarse como una conjetura de desigualdad, la generalización de la conjetura de Andrica:

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1}$  para ${\displaystyle x<x_{\min }.}$ 

Véase también

• Conjetura de Cramér

Notas y referencias

1. D. Andrica, Note on a conjecture in prime number theory. Studia Univ. Babes-Bolyai Math. 31 (1986), no. 4, 44--48.
2. Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, Inc., 2005, p.13.

Enlaces externos

• at PlanetMath
• Generalized Andrica conjecture at PlanetMath

•   Datos: Q1548146