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Bicondicional

En algunos contextos en matemáticas y lógica, un bicondicional (equivalencia o doble implicación, en ocasiones abreviado en español como sii) es un operador lógico binario, es decir, una función , siendo B cualquier conjunto con , aunque es común que se considere a B como o . El bicondicional también se desempeña como conectivo lógico, permitiendo formular expresiones de la forma «P si y solo si Q», que es verdadera en el caso de que ambos componentes tengan el mismo valor de verdad. En otro contexto el bicondicional representa la equivalencia lógica entre dos proposiciones.

Bicondicional

Diagrama de Venn de la conectiva
Nomenclatura
Lenguaje natural A si y solo si B
A es equivalente a B
Lenguaje formal
Operador booleano
Operador de conjuntos
Tabla de verdad

Definición

El valor de verdad de un bicondicional «p si y solo si q» es verdadero cuando ambas proposiciones (p y q) tienen el mismo valor de verdad, es decir, ambas son verdaderas o falsas simultáneamente; de lo contrario, es falso.

Se tiene así que la afirmación «p si y solo si q» es lógicamente equivalente al par de afirmaciones «Si p, entonces q», y «si q, entonces p». Escrito utilizando conectivas lógicas :

 .

De manera más precisa, el operador bicondicional tiene la siguiente tabla de verdad:[1][2]

si y solo si
p q
pq
V V V
V F F
F V F
F F V

Representación y lectura

Una forma de expresar el bicondicional es decir que Q es una condición necesaria y suficiente para P. También se conoce con el nombre de coimplicación.[3]

En español se usan las abreviaturas sii, ssi y syss, de modo que es equivalente p ↔ q a “p sii q”. En inglés se abrevia iff (If and only if).

En Lógica y en matemáticas los símbolos empleados para denotar el bicondicional son  ,  y ≡. La notacion   se utiliza frecuentemente como un conectivo u operador lógico, que permite combinar dos proposiciones más simples para generar una proposición compuesta de la forma  , mientras que la segunda y tercera notación se emplean casi siempre para denotar la relación de equivalencia lógica entre dos proposiciones lógicas. El significado de cada notación depende fuertemente del contexto en que se utilicen.[4][5]

Adicionalmente, en el ámbito de la lógica digital, el funcionamiento del operador bicondicional puede emularse mediante la puerta lógica XNOR, y a la negación de la puerta XOR.

Ejemplos

  • «  » y «  » son bicondicionales verdaderos.
  •   , donde   denota a los múltiplos enteros de n.

Es esencial distinguir entre las relaciones bicondicionales y las que son meramente condicionales.

Por ejemplo, nótese la diferencia entre las dos proposiciones siguientes:

Una persona es mayor de edad si posee legalmente el carné de conductor.

O bien,

Una persona es mayor de edad si y solo si posee legalmente el carné de conductor.

La primera proposición es correcta, puesto que es imposible poseer legalmente el carné de conducir siendo menor de edad. Por tanto, si se tiene el carné, se tiene que ser obligatoriamente mayor de edad.[6]

La segunda es incorrecta, puesto que la relación entre "tener el carné de conducir" y "ser mayor de edad" no es bicondicional. Dicho de otro modo: se puede ser mayor de edad sin tener el carné de conducir.[7]

Referencias

  1. Trelles Montero, Oscar; Rosales Papa, Diógenes (2000). «Bicondicional». Introducción a la Lógica. Perú: Fondo Editorial PUCP. pp. 68 y siguientes. ISBN 9972-42-182-1. 
  2. Korfhage, Robert R.: "Lógica y Algoritmos", (1970) Editorial Limusa -Wiley, S.A. México 1, D.F. p. 60
  3. D. Hilbert y A. Ackermann «Elementos de lógica teórica» Editorial Tecnos, Madrid, ISBN 84-309-0581-2
  4. Copi, Irving M.: "Lógica Simbólica" (2000) ISBN 968-26-0134-7, Cecsa. México D.F., décima novena reimpresión p. 45
  5. Russell, Bertrand y Whitehead, Alfred North : Principia Mathematica (Hasta el *56) (1981) Paraninfo S. A., Madrid, p.60
  6. Se refiere a un contexto legal que puede variar de un país a otro.
  7. No hay bicondicionales «correctos» o «incorrectos», si nos atenemos al introito del artículo.
  •   Datos: Q949972
  •   Multimedia: Category:If and only if

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En algunos contextos en matematicas y logica un bicondicional equivalencia o doble implicacion en ocasiones abreviado en espanol como sii es un operador logico binario es decir una funcion B B B displaystyle leftrightarrow B times B rightarrow B siendo B cualquier conjunto con B 2 displaystyle B 2 aunque es comun que se considere a B como B V F displaystyle B V F o B 0 1 displaystyle B 0 1 El bicondicional tambien se desempena como conectivo logico permitiendo formular expresiones de la forma P si y solo si Q que es verdadera en el caso de que ambos componentes tengan el mismo valor de verdad En otro contexto el bicondicional representa la equivalencia logica entre dos proposiciones BicondicionalDiagrama de Venn de la conectivaNomenclaturaLenguaje naturalA si y solo si BA es equivalente a BLenguaje formalA B displaystyle A leftrightarrow B Operador booleano displaystyle leftrightarrow iff Operador de conjuntos displaystyle cup Tabla de verdadA B A B V V V V F F F V F F F V displaystyle begin array c c c A amp B amp A leftrightarrow B hline V amp V amp V V amp F amp F F amp V amp F F amp F amp V end array editar datos en Wikidata Indice 1 Definicion 2 Representacion y lectura 3 Ejemplos 4 ReferenciasDefinicion EditarEl valor de verdad de un bicondicional p si y solo si q es verdadero cuando ambas proposiciones p y q tienen el mismo valor de verdad es decir ambas son verdaderas o falsas simultaneamente de lo contrario es falso Se tiene asi que la afirmacion p si y solo si q es logicamente equivalente al par de afirmaciones Si p entonces q y si q entonces p Escrito utilizando conectivas logicas p q p q q p displaystyle p leftrightarrow q equiv p to q wedge q to p De manera mas precisa el operador bicondicional tiene la siguiente tabla de verdad 1 2 si y solo si p q p qV V VV F FF V FF F VRepresentacion y lectura EditarUna forma de expresar el bicondicional es decir que Q es una condicion necesaria y suficiente para P Tambien se conoce con el nombre de coimplicacion 3 En espanol se usan las abreviaturas sii ssi y syss de modo que es equivalente p q a p sii q En ingles se abrevia iff If and only if En Logica y en matematicas los simbolos empleados para denotar el bicondicional son displaystyle leftrightarrow displaystyle iff y La notacion displaystyle leftrightarrow se utiliza frecuentemente como un conectivo u operador logico que permite combinar dos proposiciones mas simples para generar una proposicion compuesta de la forma P Q displaystyle P leftrightarrow Q mientras que la segunda y tercera notacion se emplean casi siempre para denotar la relacion de equivalencia logica entre dos proposiciones logicas El significado de cada notacion depende fuertemente del contexto en que se utilicen 4 5 Adicionalmente en el ambito de la logica digital el funcionamiento del operador bicondicional puede emularse mediante la puerta logica XNOR y a la negacion de la puerta XOR Ejemplos Editar 2 lt 10 5 20 displaystyle 2 lt 10 leftrightarrow 5 20 y 5 gt 9 17 lt 6 3 displaystyle 5 gt 9 leftrightarrow sqrt 17 lt sqrt 3 6 son bicondicionales verdaderos c mcm a b c Z a Z b Z displaystyle c text mcm a b iff c mathbb Z a mathbb Z cap b mathbb Z donde n Z displaystyle n mathbb Z denota a los multiplos enteros de n Es esencial distinguir entre las relaciones bicondicionales y las que son meramente condicionales Por ejemplo notese la diferencia entre las dos proposiciones siguientes Una persona es mayor de edad si posee legalmente el carne de conductor O bien Una persona es mayor de edad si y solo si posee legalmente el carne de conductor La primera proposicion es correcta puesto que es imposible poseer legalmente el carne de conducir siendo menor de edad Por tanto si se tiene el carne se tiene que ser obligatoriamente mayor de edad 6 La segunda es incorrecta puesto que la relacion entre tener el carne de conducir y ser mayor de edad no es bicondicional Dicho de otro modo se puede ser mayor de edad sin tener el carne de conducir 7 Referencias Editar Trelles Montero Oscar Rosales Papa Diogenes 2000 Bicondicional Introduccion a la Logica Peru Fondo Editorial PUCP pp 68 y siguientes ISBN 9972 42 182 1 Korfhage Robert R Logica y Algoritmos 1970 Editorial Limusa Wiley S A Mexico 1 D F p 60 D Hilbert y A Ackermann Elementos de logica teorica Editorial Tecnos Madrid ISBN 84 309 0581 2 Copi Irving M Logica Simbolica 2000 ISBN 968 26 0134 7 Cecsa Mexico D F decima novena reimpresion p 45 Russell Bertrand y Whitehead Alfred North Principia Mathematica Hasta el 56 1981 Paraninfo S A Madrid p 60 Se refiere a un contexto legal que puede variar de un pais a otro No hay bicondicionales correctos o incorrectos si nos atenemos al introito del articulo Datos Q949972 Multimedia Category If and only ifObtenido de https es wikipedia org w index php title Bicondicional amp oldid 137452538, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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