Coeficiente de correlación de Pearson

En estadística, el coeficiente de correlación de Pearson es una medida de dependencia lineal entre dos variables aleatorias cuantitativas. A diferencia de la covarianza, la correlación de Pearson es independiente de la escala de medida de las variables.

Ejemplos de diagramas de dispersión con diferentes valores del coeficiente de correlación ${\displaystyle \rho }$

De manera menos formal, podemos definir el coeficiente de correlación de Pearson como un índice que puede utilizarse para medir el grado de relación de dos variables siempre y cuando ambas sean cuantitativas y continuas.

Definición

Para una población

El coeficiente de correlación de Pearson cuando se aplica a una población típicamente se representa por la letra griega ${\displaystyle \rho }$  (rho) y se refiere a ella coeficiente de correlación poblacional o el coeficiente de correlación poblacional de Pearson.

Dado un par de variables aleatorias ${\displaystyle (X,Y)}$ , el coeficiente de correlación poblacional de Pearson (también denotado por ${\displaystyle \rho _{X,Y}}$ ) se define como

${\displaystyle \rho _{X,Y}={\sigma _{XY} \over \sigma _{X}\sigma _{Y}}={\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{\sqrt {\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y)}}}}$ 

donde

• ${\displaystyle \sigma _{XY}}$  es la covarianza de ${\displaystyle (X,Y)}$ 
• ${\displaystyle \sigma _{X}}$  es la desviación estándar de la variable ${\displaystyle X}$ 
• ${\displaystyle \sigma _{Y}}$  es la desviación estándar de la variable ${\displaystyle Y}$ 

Para una muestra

El coeficiente de correlación de Pearson cuando es aplicado a una muestra, se suele denotar por ${\displaystyle r_{xy}}$  y se refiere a este como el coeficiente de correlación muestral o el coeficiente de correlación muestral de Pearson. Dados ${\displaystyle n}$  pares de datos ${\displaystyle \{(x_{i},y_{i})\}_{i=1}^{n}}$ , se define el coeficiente de correlación muestral de Pearson como

${\displaystyle r_{xy}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)\left(y_{i}-{\bar {y}}\right)}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\bar {y}}\right)^{2}}}}}}$ 

donde

• ${\displaystyle n}$  es el tamaño de la muestra.
• ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$  son puntos muestrales individuales indexados con ${\displaystyle i}$ .
• ${\displaystyle {\bar {x}}}$  denota la media muestral definida por ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$  (análogamente para ${\displaystyle {\bar {y}}}$ ).

El coeficiente de correlación muestral también puede ser escrito como

${\displaystyle r_{xy}={\frac {n\sum x_{i}y_{i}-\sum x_{i}\sum y_{i}}{{\sqrt {n\sum x_{i}^{2}-(\sum x_{i})^{2}}}~{\sqrt {n\sum y_{i}^{2}-(\sum y_{i})^{2}}}}}.}$ 

Interpretación

 

Varios grupos de puntos ${\displaystyle (x,y)}$ , con el coeficiente de correlación para cada grupo. Nótese que la correlación refleja la no linealidad y la dirección de la relación lineal. En la figura del centro, la varianza de y es nula, por lo que la correlación es indeterminada.

El valor del índice de correlación varía en el intervalo ${\displaystyle [-1,1]}$ , indicando el signo el sentido de la relación:

• Si ${\displaystyle r=1}$ , existe una correlación positiva perfecta. El índice indica una dependencia total entre las dos variables denominada relación directa: cuando una de ellas aumenta, la otra también lo hace en proporción constante.
• Si ${\displaystyle 0<r<1}$  entonces existe una correlación positiva.
• Si ${\displaystyle r=0}$  entonces no existe relación lineal pero esto no necesariamente implica que las variables son independientes: pueden existir todavía relaciones no lineales entre las dos variables.
• Si ${\displaystyle -1<r<0}$ , existe una correlación negativa.
• Si ${\displaystyle r=-1}$ , existe una correlación negativa perfecta. El índice indica una dependencia total entre las dos variables llamada relación inversa: cuando una de ellas aumenta, la otra disminuye en proporción constante.

Véase también

• Covarianza
• Correlación
• Coeficiente de determinación
• Regresión

Enlaces externos

• en el Departamento de Psicología de la Universidad de Oviedo.
• Weisstein, Eric W. «Correlation Coefficient». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

•   Datos: Q1136628