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Cinemática del sólido rígido

La cinemática del sólido rígido es una aplicación de la cinemática al movimiento de un objeto tridimensional rígido en el espacio. El movimiento más general del sólido rígido puede considerarse como la superposición de dos tipos de movimiento básicos: de traslación y de rotación.

Introducción

Concepto de sólido rígido

 
Figura 1. Concepto de sólido rígido.

Entendemos por sólido rígido una idealización matemática de un sistema físico en la que la distancia entre dos puntos materiales cualesquiera de ellas permanece invariable en el transcurso del tiempo. Los cuerpos sólidos reales de hecho son realmente deformables, en mayor o menor grado, cuando están sometidos a las acciones de las fuerzas; sin embargo, si estas son suficientemente pequeñas, las deformaciones producidas son despreciables y, entonces, es útil la abstracción de considerarlos como cuerpos rígidos o indeformables. La definición de sólido rígido es solo conceptual, por cuanto que el sólido rígido, en todo rigor, no existe. En este sentido, el sólido rígido es solo una idealización y extrapolación del sólido real, al igual que lo es la partícula o punto material.

Consideremos un sólido rígido y un sistema de coordenadas, xyz, como se muestra en la Figura 1. Indicaremos por ri y rj los vectores de posición de dos puntos, Pi y Pj, del sólido; la condición geométrica de rigidez se expresa por

(1) 

que es equivalente a  , ya que la raíz cuadrada de una constante es otra constante.

La posición del sólido con respecto al sistema de ejes coordenados queda perfectamente determinada si conocemos la posición de tres cualesquiera de sus puntos, no alineados, como los puntos 1, 2 y 3 que se indican en la Figura 1. Para especificar la posición de cada uno de ellos se necesitan tres parámetros o coordenadas; de modo que en total necesitamos, aparentemente, nueve parámetros o coordenadas para especificar la posición del sólido en el espacio. Los tres puntos que hemos tomado como referencia están ligados por las condiciones de rigidez expresadas por [1]; esto es, tres ecuaciones

(2) 

que nos permiten despejar tres incógnitas en función de las demás, de modo que el número mínimo de parámetros o coordenadas necesarias para especificar la posición del sólido es solamente seis. Decimos que el sólido rígido posee seis grados de libertad.

Geométricamente esto puede interpretarse de la siguiente forma: tres grados de libertad son utilizados para dar las coordenadas de un punto Pi en el espacio. Una vez fijo dicho punto, cualquier otro punto Pj del cuerpo rígido tiene su posición limitada por la condición de rigidez:

 

con lo cual el punto Pj solo puede ubicarse en la superficie de la esfera de radio   y centro en Pi. Para dar esta ubicación solo son necesarios dos grados de libertad. Una vez fijados los puntos Pi y Pj, el cuerpo rígido puede rotar alrededor del eje que pasa por ambos puntos, con lo cual cualquier otro punto Pk solo puede describir una circunferencia alrededor del eje de rotación. Para determinar en que lugar de la circunferencia se encuentra el punto Pk se utiliza el último grado de libertad.

Condición cinemática de rigidez

 
Figura 2. Condición geométrica de rigidez. La distancia entre dos puntos cualesquiera permanece constante durante el movimiento.
 
Figura 3. Condición cinemática de rigidez. Las velocidades de los puntos alineados pertenecientes a un sólido rígido dan idéntica proyección sobre la recta que definen.

Para describir el movimiento de un sólido rígido deberíamos describir el movimiento de cada uno de los puntos o partículas materiales que lo constituyen. La situación puede parecernos demasiado complicada pero, afortunadamente, la propia condición de rigidez impone ciertas restricciones al movimiento de los distintos puntos materiales del sólido, de modo que la situación se simplifica enormemente.

Para cada pareja de puntos pertenecientes al sólido rígido, la (Pi,Pj) por ejemplo, podemos escribir la condición geométrica de rigidez, esto es, la ec. [1.1], que derivada con respecto al tiempo nos conduce a

(1) 

que también podemos escribir en la forma

(2) 

donde rij y vij representan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula Pi con respecto a la Pj. La ec. [2] expresa un resultado importante: al no ser nulos ninguno de los vectores que intervienen en el producto escalar, han de ser perpendiculares entre sí. Dicho de otro modo: todo vector con sus extremos fijos en el sólido rígido (ya que el rij es válido para cualquier par de puntos constituyentes del sólido) es perpendicular a su derivada con respecto al tiempo (i.e., a vij).

La ec. [2] puede escribirse en la forma

(3) 

o también

(4) 

ecuación que expresa la igualdad entre las proyecciones de las velocidades de los puntos Pi y Pj sobre la recta que los une. Este resultado constituye la condición cinemática de rigidez que se enuncia así:

Las velocidades de los puntos alineados pertenecientes al sólido rígido dan la misma proyección sobre la recta que los une.

Manifiestamente, la condición cinemática de rigidez expresa la imposibilidad de que se modifique la distancia entre dos puntos cualesquiera del sólido en el transcurso del movimiento de este, ya que al ser siempre sus velocidades iguales en la recta que los une, es imposible que alguno se acerque al otro.

El movimiento más general del sólido rígido puede considerarse como la superposición de dos tipos de movimiento básicos: de traslación y de rotación.

Movimientos de un sólido rígido

Movimiento de traslación

 
Figura 4. Movimiento de traslación.
 
Figura 5. En el movimiento de traslación todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad.
 
Figura 6. Movimiento de traslación de las barquillas de la noria.

El movimiento de traslación es el más sencillo que puede realizar el sólido rígido. Desde un punto de vista geométrico, lo podemos definir del modo siguiente:

Se dice que un sólido rígido se encuentra animado de un movimiento de traslación cuando todo segmento rectilíneo definido por dos puntos de aquél permanece paralelo a sí mismo en el transcurso del movimiento.

Consideremos un sólido rígido animado de un movimiento de traslación, como se muestra en la Figura 4. En virtud de la condición geométrica de rigidez, el vector rij = ri-rj debe mantener constante su módulo en el transcurso de cualquier movimiento y, además, en virtud de la definición geométrica del movimiento de traslación, también ha de mantener constante su dirección; entonces, siendo c un vector constante, se puede escribir:

(1) 

y derivando con respecto al tiempo

(2) 

constituyendo esta igualdad la condición cinemática del movimiento de traslación, esto es:

Todos los puntos de un sólido rígido animado de un movimiento de traslación tienen, en cada instante, la misma velocidad.

Esa velocidad, común a todos los puntos del sólido, recibe el nombre de velocidad de traslación del sólido y debe ser considerada como un vector libre. Las mismas consideraciones pueden aplicarse a la aceleración. En consecuencia, una vez definido el movimiento de un punto cualquiera del sólido rígido que se traslada, tenemos definido el movimiento del sólido.

Otra característica importante del movimiento de traslación del sólido rígido es que las trayectorias recorridas por sus diversos puntos son congruentes, es decir, una se puede obtener mediante una translación de la otra. En efecto, consideremos de nuevo dos puntos cualesquiera, Pi y Pj, pertenecientes al sólido, y sean ri y rj sus vectores de posición con respecto a un cierto origen arbitrario O. Imaginemos un desplazamiento experimentado en una traslación del sólido, de modo que los vectores de posición de esos puntos, con respecto al mismo origen O, sean ahora r′i y r′j, respectivamente. La condición geométrica de rigidez junto con la condición geométrica que define al movimiento de traslación, nos conducen a:

(3) 

de modo que el desplazamiento experimentado por cada uno de los puntos del sólido durante un intervalo de tiempo Δt es único. De este resultado, junto con la noción de la línea curva como límite de una poligonal y de la continuidad del movimiento, se sigue la congruencia de las trayectorias recorridas por los distintos puntos del sólido rígido.

Es conveniente que insistamos en que el movimiento de traslación no prejuzga forma alguna para las trayectorias de los distintos puntos que constituyen el sólido. Evidentemente, si la velocidad de traslación es constante (v=cte), cada uno de los puntos del sólido recorrerá una trayectoria rectilínea con celeridad constante y todas esas trayectorias serán paralelas entre sí (movimiento de traslación uniforme). Pero, en general, la velocidad de traslación no tiene por qué ser constante y la trayectoria puede ser curvilínea. Así, por ejemplo, las trayectorias recorridas por los distintos puntos del cuerpo pueden ser circunferencias, todas ellas del mismo radio (congruentes) aunque de distinto centro. Esta situación se presenta en una noria de feria de eje horizontal, como se muestra en la Figura; la armadura de la noria gira en torno al eje (rotación), pero las barquillas suspendidas de dicha armadura, prescindiendo de pequeñas oscilaciones pendulares, experimentan una traslación con trayectoria circular.

Movimiento de rotación

 
Figura 7. Movimiento de rotación. El vector velocidad angular es único (invariante), pero cada punto del sólido tiene una velocidad diferente de la de los otros.

Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo cuando todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas sobre dicho eje y contenidas en planos normales a este.

El eje de rotación puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo; en el primer caso, los puntos del sólido que están sobre el eje permanecen en reposo en tanto que los demás puntos describen circunferencias en torno al eje; en el segundo caso, todos los puntos del sólido están en movimiento circular alrededor del eje exterior al sólido. En cualquier caso, la velocidad v de un punto P del sólido será tangente a la circunferencia descrita y, en un instante dado, tendrá un módulo tanto mayor cuanto mayor sea la distancia del punto al eje de rotación. Dicha velocidad viene dada por

(1) 

siendo   un vector unitario (de módulo igual a la unidad) tangente a la trayectoria y v el módulo de la velocidad. Téngase en cuenta que necesariamente   cambiará a lo largo del movimiento, ya que irá continuamente modificando su dirección hasta llegar de nuevo a la orientación original, tras completar un giro de   radianes.

El módulo de la velocidad, denominado celeridad, se corresponde con

(2) 

considerando s la distancia que el sólido va recorriendo a lo largo de la circunferencia. Dada la definición matemática de ángulo  , se verifica que ds = rdθ, para lo cual habrá que expresar el ángulo en radianes (rad). De aquí se deduce que

(3) 

El cociente dθ/dt recibe el nombre de celeridad angular y se designa por ω:

(4) 

y podemos expresar la celeridad v de cualquier punto del sólido como el producto de la celeridad angular por la distancia r del punto al eje de rotación

(5) 

La introducción del concepto de celeridad angular es de gran importancia por la simplificación que supone en la descripción del movimiento de rotación del sólido, ya que, en un instante dado, todos los puntos del sólido poseen la misma celeridad angular, en tanto que a cada uno de ellos le corresponde una celeridad que es función de su distancia al eje de rotación. Así pues, la celeridad angular caracteriza al movimiento de rotación del sólido rígido en torno a un eje fijo. La celeridad angular se mide en radianes por segundo (rad/s).

Movimiento general

De lo dicho anteriormente el conjunto de "posiciones" generales   de un sólido rígido o conjunto de estados se puede representar por el conjunto  , es decir, en cada instante el poscionamiento general   queda especifiado si se da un vector de tralación   que da el movimiento de uno de sus puntos respecto a la posición inicial, y una matriz de rotación   que define la orientación del sólido rígido en cada momento, especificando cómo ha rotado respecto a su orientación original. En este caso, el movimiento general se puede expresar como:

 

Donde:

 , es la posición de un punto del sólido rígido en un momento dado.
 , es la posición inicial del punto.
 , es una matriz de rotación, con la convención de que   (matriz identidad).

Es interesante notar que la ecuación anterior puede escribirse mediante matrices de cuatro por cuatro de la siguiente manera:

 

El conjunto de matrices de   como el anterior constituyen una representación del grupo euclídeo especial tridimensional   que es el grupo de isometrías del espacio euclídeo tridimensional.

Vector velocidad angular

 
Figura 8. Movimiento de rotación. Trayectoria circular de un punto del sólido alrededor del eje de rotación.

Se define el vector velocidad angular ω, como un vector situado sobre el eje de rotación, cuyo módulo es la rapidez angular anteriormente definida, o sea

(1) 

y cuya dirección está dada por la regla de la mano derecha. Si designamos por e al versor paralelo al eje, y cuya dirección sea la definido por la regla anterior, se tiene:

(2) 

Llamando et y en a los versores tangencial y normal, respectivamente, a la trayectoria del punto genérico P, la velocidad de ese punto puede expresarse en la forma

(3) 

de modo que podemos afirmar:

La velocidad v de un punto genérico P del sólido rígido en rotación es igual al momento del vector velocidad angular ω con respecto a dicho punto P.

Así pues, conocida la velocidad angular ω queda determinada la distribución de velocidades en todos los puntos del sólido rígido en rotación. La expresión [3] puede escribirse en la forma

(4) 

donde   es el vector de posición del punto genérico P con respecto a un punto cualquiera del eje de rotación. Las definiciones anteriores exigen que el vector velocidad angular ω tenga carácter deslizante sobre el eje de rotación.

Una forma abstracta demostrar en un movimiento de sólido rígido siempre se puede definir una velocidad angular es partir del carácter ortogonal del grupo de rotaciones, ya que:

 

Derivando respecto al tiempo se obtiene que:

 

Por lo que la matriz definida como   resulta ser antisimétrica  , por oque tendrá la forma:

 

Las con las tres componentes independientes puede formarse un pseudovector   llamado "vector velocidad angular", que además satisface la siguiente identidad:

 

para cualquier vector  .

Principio de superposición de movimientos

 
Figura 9. Principio de superposición de movimientos.

El principio de superposición de movimientos en un sólido rígido establece que:

Si un sólido rígido está animado de varios movimientos simultáneos que originan velocidades v′, v″, ... en un punto genérico P del sólido, la velocidad resultante v de ese punto genérico es la suma vectorial de las velocidades que le corresponde en cada uno de los movimientos componentes por separado.

Otra forma de enunciar el principio de superposición es la siguiente:

Si un sólido rígido está animado de varios movimientos simultáneos, para cada uno de los cuales se cumple la condición cinemática de rigidez, el movimiento resultante también cumple esa condición.

Composición de rotaciones

A partir de la definición del vector velocidad angular, y al quedar completamente representado por dicho vector el movimiento de rotación del sólido, es fácil comprender que componer dos o más rotaciones se reducirá a sumar los vectores de velocidad angular que las representan. Consideraremos dos casos sencillos.

Rotaciones cuyos ejes concurren en un punto

 
Figura 10. Podemos imaginar las dos rotaciones simultáneas del modo que se ilustra en esta figura. Esto es, el sólido está en rotación con una velocidad angular ω2 alrededor de un cierto eje; a su vez, este eje está rotando con una velocidad angular ω1 alrededor de un eje fijo en el espacio. La rotación ω2 suele denominarse rotación intrínseca; la rotación ω1 recibe el nombre de precesión.

Consideremos un sólido rígido animado de dos rotaciones simultáneas, ω1 y ω2, cuyos ejes concurren en el punto O (Figura 10). La velocidad de un punto genérico P del sólido será la suma de las velocidades, v1 y v2, que le corresponderían a ese punto en cada rotación por separado; i.e.,

(1) 

de modo que

(2) 

o sea que

El resultado de la superposición de dos o más rotaciones simultáneas cuyos ejes concurren en un punto es igual a otra rotación cuyo eje pasa por dicho punto y cuya velocidad angular es la suma (vectorial) de las velocidades angulares correspondientes a las rotaciones componentes.

Par de rotaciones

 
Figura 11. Un par de rotaciones equivale a una traslación.

Consideremos un sólido rígido que esté animado simultáneamente de dos movimientos de rotación, en torno a ejes paralelos entre sí y de modo que las velocidades angulares correspondientes, localizadas sobre dichos ejes, tengan el mismo módulo y direcciones contrarias (Figura 11); esto es, ω1=ω y ω2=-ω. Los vectores ω y constituyen un par de rotaciones (cita requerida de bibliografía donde se defina el término). La velocidad de un punto genérico P del sólido será

(3) 

o sea

(4) 

resultando ser independientes del punto P. Esto es, todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad. En consecuencia, tenemos un movimiento en el que todos los puntos del sólido poseen, en un instante dado, la misma velocidad. Se define el momento de un vector respecto de un punto como el vector que va desde dicho punto al origen del vector del que calculamos su momento multiplicado vectorialmente por este último vector. Por lo tanto, podemos enunciar:

Un par de rotaciones equivale a una traslación cuya velocidad es la expresada por [4], o sea, el momento del par de rotaciones.

Y recíprocamente:

Una traslación equivale a un par de rotaciones cuyo momento sea la velocidad de traslación.

Movimiento rototraslatorio

 
Figura 13. Movimiento general el sólido rígido.

El movimiento más general del sólido rígido es el movimiento rototraslatorio; esto es, el originado por la superposición de los dos movimientos básicos: el movimiento de traslación y el movimiento de rotación.

Consideremos un sólido rígido que está animado simultáneamente de un cierto número de movimientos de traslación y de rotación. Cada uno de los movimientos de traslación quedará completamente definido por la velocidad de traslación correspondiente; esto es, v1, v2, ... vm. Análogamente, cada una de las rotaciones quedará completamente definida por el vector velocidad angular correspondiente; esto es ω1, ω2, ... ωn. Teniendo en cuenta que un movimiento de traslación es equivalente a un par de rotaciones cuyo momento es igual a la velocidad de traslación, el estado de movimiento del sólido rígido estará definido por un conjunto de rotaciones simultáneas, ω1, ω2, ... ωn, ωn+1, ... ωn+2m, cuyos ejes de rotación pasan por los puntos O1, O2, ... On+2m (Figura 13).

La velocidad de un punto genérico del sólido, P, viene dada por el momento resultante del sistema de vectores deslizantes ωi (i=1, 2, ...) en el punto P; i.e.,

(1) 

Por otra parte, el momento del sistema de vectores deslizantes en otro punto, P′, del sólido (i.e., la velocidad del punto P′) está relacionado con el anterior mediante la expresión

(2) 

siendo ω = Σωi la resultante general del sistema de vectores deslizantes (i.e., la velocidad angular resultante) que es un invariante del sistema (primer invariante o invariante vectorial).

La expresión [33] nos permite decir que la velocidad que le corresponde a un punto P′ de un sólido rígido es igual a la que le corresponde a otro punto arbitrario del mismo, P, más la velocidad que le correspondería al punto P′ en una rotación instantánea, ω, alrededor de un eje que pasase por el punto P. En definitiva, podemos enunciar:

El movimiento general de un sólido rígido (movimiento rototraslatorio) puede reducirse a una rotación de velocidad angular ω = Σωi alrededor de un eje paralelo a ω y que pasa por un punto arbitrario del sólido, más una traslación cuya velocidad es el momento resultante del sistema de vectores ωi (i=1, 2,...) con respecto a dicho punto arbitrario.

El enunciado anterior nos indica que cualquier movimiento del sólido rígido, por complejo que nos parezca, puede reducirse siempre a la superposición de dos movimientos básicos: uno de traslación y otro de rotación. Obsérvese que la velocidad de cualquier punto del sólido queda perfectamente determinada con el conocimiento de la velocidad angular ω del sólido y la velocidad vP de un punto cualquiera del mismo; i.e., por los vectores ω y vP, a los que denominaremos, conjuntamente, grupo cinemático en P.

Eje instantáneo de rotación y deslizamiento

 
Figura 16. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento.

En los apartados anteriores hemos visto cómo podemos reducir el estudio del movimiento general del sólido rígido al del sistema de vectores deslizantes, ωi (i=1, 2, ...), que lo representa. Así, la velocidad de un punto del sólido rígido puede considerarse como el momento de dicho sistema de vectores con respecto al punto considerado [8.1], y la velocidad de un segundo punto del sólido está relacionada con la del anterior por la expresión [8.2]. A cada punto del sólido le corresponde una velocidad distinta (en general); pero, en un instante dado, todas esas velocidades dan la misma proyección en la dirección de la velocidad angular resultante ω. En efecto, multiplicando escalarmente por ω ambos miembros de la exp. [8.2], tenemos

(1) 

o sea

(2) 

que es la expresión del segundo invariante o invariante escalar del sistema de vectores deslizantes ωi (i=1, 2, ...). Por tanto, podemos enunciar que en un instante dado,

El producto escalar de los dos vectores del grupo cinemático tiene el mismo valor en todos los puntos del sólido; i.e., es invariante.

El módulo de la velocidad v de un punto del sólido rígido tendrá un valor mínimo si dicha velocidad es paralela a la velocidad angular resultante ω. Pero el lugar geométrico de los puntos cuya velocidad (momento) es paralela a ω (resultante) sabemos que es una recta definida por la ecuación

(3) 

que es la ecuación del eje central del sistema de vectores deslizantes ωi (i=1, 2, ...), en un referencial de origen en el punto O. Obviamente, vO representa la velocidad que le correspondería al punto O, en el caso de que perteneciera al sólido. Cuando el sistema de vectores deslizantes está constituido por vectores de velocidad angular ωi, el eje central del sistema de vectores recibe el nombre de eje instantáneo de rotación y deslizamiento (EIRD). Así pues, el EIRD queda definido como el lugar geométrico de los puntos del sólido de velocidad mínima o bien el lugar geométrico de los puntos del sólido cuya velocidad es paralela a la dirección de la velocidad angular del mismo.

Obviamente, el módulo de la velocidad mínima puede determinarse proyectando la velocidad v de un punto cualquiera del sólido sobre la velocidad angular ω del mismo; esto es,

(4) 

y su dirección es la del vector ω (i.e., la del EIRD).

Teorema de Chasles

 
Figura 17.

Cuando el invariante escalar del sistema de rotaciones es distinto de cero (i.e., ω•v≠0) es posible reducir canónicamente el movimiento rototraslatorio a los dos movimientos básicos: rotación y traslación. Tomando un punto E del eje central como centro de reducción, el sistema de rotaciones resulta ser equivalente a una rotación única, ω = Σωi, localizada sobre el eje central del sistema de rotaciones, más una traslación o deslizamiento a lo largo de dicho eje, con una velocidad vd, llamada velocidad mínima o de deslizamiento, dada por

(1) 

que constituye la expresión del Teorema de Chasles:

El movimiento general de un sólido rígido resulta equivalente a una rotación pura alrededor del eje central del sistema de rotaciones ωi (i=1, 2, ...) más una traslación a lo largo de dicho eje.

Por esa razón el eje central de un sistema de rotaciones recibe el nombre de eje instantáneo de rotación y deslizamiento y el movimiento resultante se denomina movimiento helicoidal tangente.

Cuando el invariante escalar es nulo, o sea ω•v = 0, siendo v la velocidad de un punto genérico del sólido, se nos pueden presentar los siguientes casos:

  1. Que sea ω = 0 y v = 0. Esta condición prevalecerá para cualquier punto del sólido. En ese instante, el sólido se encuentra en reposo.
  2. Que sea ω = 0 y v ≠ 0. Todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad. En ese instante, el movimiento del sólido es una traslación pura.
  3. Que sea ω ≠ 0 y v = 0. El sistema de rotaciones está definido por un sistema de vectores deslizantes concurrentes o paralelos. Se trata de una

rotación pura alrededor de un eje que pasa por el punto de concurrencia (propio o impropio). En los demás puntos del sólido, fuera de la recta de acción de ω, aparecerá una velocidad que será siempre perpendicular a ω, por ser ω•v = 0.

  1. Que sea ω ≠ 0 y v ≠ 0. En este caso deberá ser vω, de modo que cada punto del sólido se moverá en un plano perpendicular al eje instantáneo de rotación (o sea, al vector ω). Como para los puntos de dicho eje deberá ser, además, v||ω, la velocidad de dichos puntos será nula. Por consiguiente, el

sólido pasará en cada instante por un estado de rotación pura, con velocidad angular ω, alrededor del eje instantáneo de rotación, pero sin que exista deslizamiento alguno a lo largo de dicho eje. Este movimiento recibe el nombre de movimiento de rodadura y en él los puntos del eje instantáneo de rotación se encuentran instantáneamente en reposo.

Axoides. Representación de Poncelet

 
Figura 18.
 
Figura 19.

Todo nuestro análisis anterior se refiere a un instante determinado y, así, la ecuación que define al eje instantáneo de rotación y deslizamiento, depende de los valores instantáneos de ω y de vO, de modo que representa una recta móvil en el espacio. En efecto, los vectores ω y vO pueden variar de un instante a otro de modo que el eje instantáneo, en general, cambiará constantemente de posición, en el transcurso del tiempo, tanto con respecto a un sistema de ejes fijos en el espacio, como con respecto a otro sistema de ejes ligados al sólido rígido y que se muevan solidariamente con él. El eje instantáneo solo estará indefinido en aquellos instantes en los que el movimiento del sólido sea una traslación pura.

En el transcurso del movimiento del sólido, el eje instantáneo modifica su posición con respecto a un referencial de ejes fijos en el espacio (xyz), generando una superficie reglada que recibe el nombre de axoide fijo. Por otra parte, el eje instantáneo, en su movimiento con respecto al referencial de ejes ligados al sólido (x′y′z′), genera otra superficie reglada que recibe el nombre de axoide móvil. Se comprende que, en cada instante, ambos axoides deben tener una recta común, que es el eje instantáneo correspondiente a dicho instante, de modo que ambos axoides son tangentes a lo largo de la recta mencionada. Además, en cada instante, el sólido rígido realiza una traslación o deslizamiento a lo largo de dicho eje o recta común a ambos axoides, con una velocidad vd que es la velocidad de traslación del movimiento helicoidal tangente, y que es simplemente la proyección del vector velocidad v de cualquier punto del sólido sobre el eje instantáneo de rotación y deslizamiento.

En definitiva, el movimiento general del sólido rígido (rototraslatorio) se puede representar de forma continua suponiendo que el sólido está ligado y se mueve solidariamente con una superficie móvil (axoide móvil) que rueda sobre una superficie fija (axoide fijo) al mismo tiempo que experimenta un deslizamiento a lo largo de la generatriz común instantánea. Tal representación del movimiento del sólido se debe al matemático y general francés Jean-Victor Poncelet (1788-1867).

En el caso de que uno de los puntos del sólido permanezca fijo durante el movimiento, ambos axoides degeneran en conos tangentes entre sí a lo largo de una generatriz y el movimiento continuo de Poncelet se reduce a una rodadura del cono móvil sobre el cono fijo, ya que no habrá deslizamiento por ser nula la velocidad de uno de los puntos del sólido. En la Figura 19 ilustramos este tipo de movimiento.

El sólido rígido (y el cono móvil al cual es solidario) gira con velocidad angular ω1 al mismo tiempo que el eje de ω1 gira con una velocidad angular ω2 alrededor de un eje fijo en el espacio. El resultado de estos dos movimientos combinados es una rodadura del cono móvil sobre el cono fijo, siendo el eje instantáneo de rotación (puntos de velocidad instantánea nula con respecto al sistema de ejes fijos) la generatriz común instantáneamente a ambos conos. Obviamente, será ω = ω1 + ω2, como se ilustra en la Figura 19, siendo ω la velocidad angular instantánea del sólido.

Aceleración

Consideremos un punto genérico P de un sólido rígido en movimiento y sea vP su velocidad. Si consideramos un segundo punto, O, perteneciente al sólido, cuya velocidad sea vO, la relación existente entre ambas velocidades es de la forma

(1) 

donde ω es la velocidad angular resultante, que la podemos considerar localizada sobre un eje que pase por el punto O. Derivando la expresión anterior con respecto al tiempo, obtenemos la aceleración aP del punto P; esto es,

(2) 

o sea

(3) 

donde

  •   es la aceleración del punto O;
  •   es la aceleración tangencial del punto P en su rotación alrededor de un eje en la dirección de ω y que pasa por el punto O;
  •   es la aceleración normal del punto P respecto al eje anteriormente citado.

Obviamente, la suma de las aceleraciones tangencial y normal del punto P en su rotación en torno al eje definido por ω y que pasa por el punto O es igual a  , o sea la aceleración relativa del punto P respecto al punto O.

Vector aceleración angular

 
Aceleración angular. En el caso general, cuando el eje de rotación no mantiene una dirección constante en el espació, la aceleración angular no tiene la dirección del eje de rotación.

Definimos la aceleración angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo. Se denota por la letra griega   y, al igual que la velocidad angular, tiene carácter vectorial. Por definición,

(1) 

siendo   el vector velocidad angular del sólido rígido alrededor del eje de rotación. La aceleración angular se expresa en radianes por segundo al cuadrado, o s-2, ya que el radián es adimensional.

Si denominamos por   el versor asociado al eje de rotación, de modo que sea  , podemos escribir

(2) 

resultando que, en general, el vector   no está localizado sobre el eje de rotación.

En el caso particular de que el eje de rotación mantenga una orientación fija en el espacio (movimiento plano), entonces será   y el vector aceleración angular   estará localizado sobre el eje de rotación. Esto es,

(3) 

de modo que el módulo de la aceleración angular,  , es la derivada de la rapidez angular con respecto al tiempo (o la derivada segunda del ángulo de rotación con respecto al tiempo), su dirección es la de   cuando la rapidez angular aumenta con el tiempo, pero es de dirección opuesta si disminuye.

En el caso general, cuando el eje de rotación no mantiene una dirección fija en el espacio, será  , aunque  , ya que el versor del eje cambia de dirección en el transcurso del movimiento. Puesto que   es un versor, su derivada será un vector perpendicular a  , esto es, al eje instantáneo de rotación.

Así pues, en el caso más general, la aceleración angular   se expresará en la forma

(4) 

siendo   la velocidad angular asociada a la rotación del eje o precesión del eje de rotación (definido por  ) en el espacio.

En la expresión anterior observaremos que el vector aceleración angular tiene dos componentes: una componente longitudinal (i.e., en la dirección del eje de rotación) cuyo módulo es   y una componente transversal (i.e., perpendicular al eje de rotación) cuyo módulo es  .

Así pues, en general,

  • el vector   no tendrá la misma dirección que el vector  .
  • el vector aceleración angular   no tendrá la dirección del eje de rotación.

La dirección de la aceleración angular solo coincide con la del vector velocidad angular, o sea, con el eje de rotación, en el caso de que dicho eje mantenga su orientación fija en el espacio, esto es, en el movimiento plano.

Movimiento plano

En el movimiento plano del sólido rígido, la aceleración angular, al igual que la velocidad angular, tiene la dirección del eje de rotación y viene dada por:

(1) 

donde   representa el ángulo girado en función de   y   la velocidad angular.

(2) 

En el movimiento plano tanto la velocidad angular como la aceleración angular son vectores perpendiculares al plano en el que se produce el movimiento.

Véase también

Referencias

Bibliografía

Enlaces externos

  • Script de Física de Ingeniería Mecánica, desde la página 72, 6º Tema Cinemática del sólido rígido.
  •   Datos: Q8346309

cinemática, sólido, rígido, cinemática, sólido, rígido, aplicación, cinemática, movimiento, objeto, tridimensional, rígido, espacio, movimiento, más, general, sólido, rígido, puede, considerarse, como, superposición, tipos, movimiento, básicos, traslación, rot. La cinematica del solido rigido es una aplicacion de la cinematica al movimiento de un objeto tridimensional rigido en el espacio El movimiento mas general del solido rigido puede considerarse como la superposicion de dos tipos de movimiento basicos de traslacion y de rotacion Indice 1 Introduccion 1 1 Concepto de solido rigido 1 2 Condicion cinematica de rigidez 2 Movimientos de un solido rigido 2 1 Movimiento de traslacion 2 2 Movimiento de rotacion 2 3 Movimiento general 2 4 Vector velocidad angular 3 Principio de superposicion de movimientos 4 Composicion de rotaciones 4 1 Rotaciones cuyos ejes concurren en un punto 4 2 Par de rotaciones 5 Movimiento rototraslatorio 6 Eje instantaneo de rotacion y deslizamiento 7 Teorema de Chasles 8 Axoides Representacion de Poncelet 9 Aceleracion 9 1 Vector aceleracion angular 9 2 Movimiento plano 10 Vease tambien 11 Referencias 11 1 Bibliografia 11 2 Enlaces externosIntroduccion EditarConcepto de solido rigido Editar Figura 1 Concepto de solido rigido Entendemos por solido rigido una idealizacion matematica de un sistema fisico en la que la distancia entre dos puntos materiales cualesquiera de ellas permanece invariable en el transcurso del tiempo Los cuerpos solidos reales de hecho son realmente deformables en mayor o menor grado cuando estan sometidos a las acciones de las fuerzas sin embargo si estas son suficientemente pequenas las deformaciones producidas son despreciables y entonces es util la abstraccion de considerarlos como cuerpos rigidos o indeformables La definicion de solido rigido es solo conceptual por cuanto que el solido rigido en todo rigor no existe En este sentido el solido rigido es solo una idealizacion y extrapolacion del solido real al igual que lo es la particula o punto material Consideremos un solido rigido y un sistema de coordenadas xyz como se muestra en la Figura 1 Indicaremos por ri y rj los vectores de posicion de dos puntos Pi y Pj del solido la condicion geometrica de rigidez se expresa por 1 r i r j 2 r i r j r i r j cte displaystyle left vert mathbf r i mathbf r j right vert 2 equiv mathbf r i mathbf r j cdot mathbf r i mathbf r j mbox cte que es equivalente a r i r j cte displaystyle left vert mathbf r i mathbf r j right vert mbox cte ya que la raiz cuadrada de una constante es otra constante La posicion del solido con respecto al sistema de ejes coordenados queda perfectamente determinada si conocemos la posicion de tres cualesquiera de sus puntos no alineados como los puntos 1 2 y 3 que se indican en la Figura 1 Para especificar la posicion de cada uno de ellos se necesitan tres parametros o coordenadas de modo que en total necesitamos aparentemente nueve parametros o coordenadas para especificar la posicion del solido en el espacio Los tres puntos que hemos tomado como referencia estan ligados por las condiciones de rigidez expresadas por 1 esto es tres ecuaciones 2 x 1 x 2 2 y 1 y 2 2 z 1 z 2 2 k 12 2 x 2 x 3 2 y 2 y 3 2 z 2 z 3 2 k 23 2 x 3 x 1 2 y 3 y 1 2 z 3 z 1 2 k 31 2 displaystyle begin array l x 1 x 2 2 y 1 y 2 2 z 1 z 2 2 k 12 2 x 2 x 3 2 y 2 y 3 2 z 2 z 3 2 k 23 2 x 3 x 1 2 y 3 y 1 2 z 3 z 1 2 k 31 2 end array que nos permiten despejar tres incognitas en funcion de las demas de modo que el numero minimo de parametros o coordenadas necesarias para especificar la posicion del solido es solamente seis Decimos que el solido rigido posee seis grados de libertad Geometricamente esto puede interpretarse de la siguiente forma tres grados de libertad son utilizados para dar las coordenadas de un punto Pi en el espacio Una vez fijo dicho punto cualquier otro punto Pj del cuerpo rigido tiene su posicion limitada por la condicion de rigidez r i r j r i j displaystyle left vert mathbf r i mathbf r j right vert r ij con lo cual el punto Pj solo puede ubicarse en la superficie de la esfera de radio r i j displaystyle scriptstyle r ij y centro en Pi Para dar esta ubicacion solo son necesarios dos grados de libertad Una vez fijados los puntos Pi y Pj el cuerpo rigido puede rotar alrededor del eje que pasa por ambos puntos con lo cual cualquier otro punto Pk solo puede describir una circunferencia alrededor del eje de rotacion Para determinar en que lugar de la circunferencia se encuentra el punto Pk se utiliza el ultimo grado de libertad Condicion cinematica de rigidez Editar Figura 2 Condicion geometrica de rigidez La distancia entre dos puntos cualesquiera permanece constante durante el movimiento Figura 3 Condicion cinematica de rigidez Las velocidades de los puntos alineados pertenecientes a un solido rigido dan identica proyeccion sobre la recta que definen Para describir el movimiento de un solido rigido deberiamos describir el movimiento de cada uno de los puntos o particulas materiales que lo constituyen La situacion puede parecernos demasiado complicada pero afortunadamente la propia condicion de rigidez impone ciertas restricciones al movimiento de los distintos puntos materiales del solido de modo que la situacion se simplifica enormemente Para cada pareja de puntos pertenecientes al solido rigido la Pi Pj por ejemplo podemos escribir la condicion geometrica de rigidez esto es la ec 1 1 que derivada con respecto al tiempo nos conduce a 1 d d t r i r j 2 2 r i r j d r i d t d r j d t 0 displaystyle frac d dt left mathbf r i mathbf r j 2 right 2 mathbf r i mathbf r j cdot left frac d mathbf r i dt frac d mathbf r j dt right 0 que tambien podemos escribir en la forma 2 r i j v i j 0 displaystyle mathbf r ij cdot mathbf v ij 0 donde rij y vij representan respectivamente el vector de posicion y la velocidad de la particula Pi con respecto a la Pj La ec 2 expresa un resultado importante al no ser nulos ninguno de los vectores que intervienen en el producto escalar han de ser perpendiculares entre si Dicho de otro modo todo vector con sus extremos fijos en el solido rigido ya que el rij es valido para cualquier par de puntos constituyentes del solido es perpendicular a su derivada con respecto al tiempo i e a vij La ec 2 puede escribirse en la forma 3 r i j v i r i j v j displaystyle mathbf r ij cdot mathbf v i mathbf r ij cdot mathbf v j o tambien 4 r i j r i j v i r i j r i j v j displaystyle frac mathbf r ij r ij cdot mathbf v i frac mathbf r ij r ij cdot mathbf v j ecuacion que expresa la igualdad entre las proyecciones de las velocidades de los puntos Pi y Pj sobre la recta que los une Este resultado constituye la condicion cinematica de rigidez que se enuncia asi Las velocidades de los puntos alineados pertenecientes al solido rigido dan la misma proyeccion sobre la recta que los une dd Manifiestamente la condicion cinematica de rigidez expresa la imposibilidad de que se modifique la distancia entre dos puntos cualesquiera del solido en el transcurso del movimiento de este ya que al ser siempre sus velocidades iguales en la recta que los une es imposible que alguno se acerque al otro El movimiento mas general del solido rigido puede considerarse como la superposicion de dos tipos de movimiento basicos de traslacion y de rotacion Movimientos de un solido rigido EditarMovimiento de traslacion Editar Figura 4 Movimiento de traslacion Figura 5 En el movimiento de traslacion todos los puntos del solido tienen la misma velocidad Figura 6 Movimiento de traslacion de las barquillas de la noria El movimiento de traslacion es el mas sencillo que puede realizar el solido rigido Desde un punto de vista geometrico lo podemos definir del modo siguiente Se dice que unsolido rigidose encuentra animado de unmovimiento de traslacioncuando todo segmento rectilineo definido por dos puntos de aquel permanece paralelo a si mismo en el transcurso del movimiento dd Consideremos un solido rigido animado de un movimiento de traslacion como se muestra en la Figura 4 En virtud de la condicion geometrica de rigidez el vector rij ri rj debe mantener constante su modulo en el transcurso de cualquier movimiento y ademas en virtud de la definicion geometrica del movimiento de traslacion tambien ha de mantener constante su direccion entonces siendo c un vector constante se puede escribir 1 r i r j c displaystyle mathbf r i mathbf r j mathbf c y derivando con respecto al tiempo 2 r i r j 0 v i v j displaystyle mathbf dot r i mathbf dot r j 0 qquad Rightarrow qquad mathbf v i mathbf v j constituyendo esta igualdad la condicion cinematica del movimiento de traslacion esto es Todos los puntos de unsolido rigidoanimado de un movimiento de traslacion tienen en cada instante la misma velocidad dd Esa velocidad comun a todos los puntos del solido recibe el nombre de velocidad de traslacion del solido y debe ser considerada como un vector libre Las mismas consideraciones pueden aplicarse a la aceleracion En consecuencia una vez definido el movimiento de un punto cualquiera del solido rigido que se traslada tenemos definido el movimiento del solido Otra caracteristica importante del movimiento de traslacion del solido rigido es que las trayectorias recorridas por sus diversos puntos son congruentes es decir una se puede obtener mediante una translacion de la otra En efecto consideremos de nuevo dos puntos cualesquiera Pi y Pj pertenecientes al solido y sean ri y rj sus vectores de posicion con respecto a un cierto origen arbitrario O Imaginemos un desplazamiento experimentado en una traslacion del solido de modo que los vectores de posicion de esos puntos con respecto al mismo origen O sean ahora r i y r j respectivamente La condicion geometrica de rigidez junto con la condicion geometrica que define al movimiento de traslacion nos conducen a 3 r i r j r i r j r i r i r j r j D r i D r j displaystyle mathbf r i mathbf r j mathbf r i mathbf r j qquad Rightarrow qquad mathbf r i mathbf r i mathbf r j mathbf r j qquad Rightarrow qquad Delta mathbf r i Delta mathbf r j de modo que el desplazamiento experimentado por cada uno de los puntos del solido durante un intervalo de tiempo Dt es unico De este resultado junto con la nocion de la linea curva como limite de una poligonal y de la continuidad del movimiento se sigue la congruencia de las trayectorias recorridas por los distintos puntos del solido rigido Es conveniente que insistamos en que el movimiento de traslacion no prejuzga forma alguna para las trayectorias de los distintos puntos que constituyen el solido Evidentemente si la velocidad de traslacion es constante v cte cada uno de los puntos del solido recorrera una trayectoria rectilinea con celeridad constante y todas esas trayectorias seran paralelas entre si movimiento de traslacion uniforme Pero en general la velocidad de traslacion no tiene por que ser constante y la trayectoria puede ser curvilinea Asi por ejemplo las trayectorias recorridas por los distintos puntos del cuerpo pueden ser circunferencias todas ellas del mismo radio congruentes aunque de distinto centro Esta situacion se presenta en una noria de feria de eje horizontal como se muestra en la Figura la armadura de la noria gira en torno al eje rotacion pero las barquillas suspendidas de dicha armadura prescindiendo de pequenas oscilaciones pendulares experimentan una traslacion con trayectoria circular Movimiento de rotacion Editar Articulo principal Movimiento de rotacion Figura 7 Movimiento de rotacion El vector velocidad angular es unico invariante pero cada punto del solido tiene una velocidad diferente de la de los otros Se dice que un solido rigido esta animado de un movimiento de rotacion alrededor de un eje fijo cuando todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas sobre dicho eje y contenidas en planos normales a este El eje de rotacion puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo en el primer caso los puntos del solido que estan sobre el eje permanecen en reposo en tanto que los demas puntos describen circunferencias en torno al eje en el segundo caso todos los puntos del solido estan en movimiento circular alrededor del eje exterior al solido En cualquier caso la velocidad v de un punto P del solido sera tangente a la circunferencia descrita y en un instante dado tendra un modulo tanto mayor cuanto mayor sea la distancia del punto al eje de rotacion Dicha velocidad viene dada por 1 v v e t displaystyle mathbf v v mathbf e text t siendo e t displaystyle mathbf e text t un vector unitario de modulo igual a la unidad tangente a la trayectoria y v el modulo de la velocidad Tengase en cuenta que necesariamente e t displaystyle mathbf e text t cambiara a lo largo del movimiento ya que ira continuamente modificando su direccion hasta llegar de nuevo a la orientacion original tras completar un giro de 2 p displaystyle 2 pi radianes El modulo de la velocidad denominado celeridad se corresponde con 2 v d s d t displaystyle v ds over dt considerando s la distancia que el solido va recorriendo a lo largo de la circunferencia Dada la definicion matematica de angulo 8 s r displaystyle theta s r se verifica que ds rd8 para lo cual habra que expresar el angulo en radianes rad De aqui se deduce que 3 v d s d t r d 8 d t displaystyle v ds over dt r d theta over dt El cociente d8 dt recibe el nombre de celeridad angular y se designa por w 4 w d 8 d t displaystyle omega d theta over dt y podemos expresar la celeridad v de cualquier punto del solido como el producto de la celeridad angular por la distancia r del punto al eje de rotacion 5 v w r displaystyle v omega r La introduccion del concepto de celeridad angular es de gran importancia por la simplificacion que supone en la descripcion del movimiento de rotacion del solido ya que en un instante dado todos los puntos del solido poseen la misma celeridad angular en tanto que a cada uno de ellos le corresponde una celeridad que es funcion de su distancia al eje de rotacion Asi pues la celeridad angular caracteriza al movimiento de rotacion del solido rigido en torno a un eje fijo La celeridad angular se mide en radianes por segundo rad s Movimiento general Editar De lo dicho anteriormente el conjunto de posiciones generales E displaystyle mathcal E de un solido rigido o conjunto de estados se puede representar por el conjunto E R 3 SO 3 displaystyle mathcal E mathbb R 3 times text SO 3 es decir en cada instante el poscionamiento general r t R t displaystyle mathbf r t mathbf R t queda especifiado si se da un vector de tralacion r t R 3 displaystyle mathbf r t in mathbb R 3 que da el movimiento de uno de sus puntos respecto a la posicion inicial y una matriz de rotacion R t SO 3 displaystyle mathbf R t in text SO 3 que define la orientacion del solido rigido en cada momento especificando como ha rotado respecto a su orientacion original En este caso el movimiento general se puede expresar como r t a t R t r 0 displaystyle mathbf r t mathbf a t mathbf R t cdot mathbf r 0 Donde r t x t y t z t displaystyle mathbf r t x t y t z t es la posicion de un punto del solido rigido en un momento dado r 0 r 0 x 0 y 0 z 0 displaystyle mathbf r 0 mathbf r 0 x 0 y 0 z 0 es la posicion inicial del punto R t displaystyle mathbf R t es una matriz de rotacion con la convencion de que R 0 I displaystyle mathbf R 0 mathbf I matriz identidad Es interesante notar que la ecuacion anterior puede escribirse mediante matrices de cuatro por cuatro de la siguiente manera x t y t z t 1 R x x t R x y t R x z t a x t R y x t R y y t R y z t a y t R z x t R z y t R z z t a z t 0 0 0 1 x 0 y 0 z 0 1 displaystyle begin pmatrix x t y t z t 1 end pmatrix begin pmatrix R xx t amp R xy t amp R xz t amp a x t R yx t amp R yy t amp R yz t amp a y t R zx t amp R zy t amp R zz t amp a z t 0 amp 0 amp 0 amp 1 end pmatrix begin pmatrix x 0 y 0 z 0 1 end pmatrix El conjunto de matrices de 4 4 displaystyle 4 times 4 como el anterior constituyen una representacion del grupo euclideo especial tridimensional SE 3 displaystyle text SE 3 que es el grupo de isometrias del espacio euclideo tridimensional Vector velocidad angular Editar Figura 8 Movimiento de rotacion Trayectoria circular de un punto del solido alrededor del eje de rotacion Se define el vector velocidad angular w como un vector situado sobre el eje de rotacion cuyo modulo es la rapidez angular anteriormente definida o sea 1 w d 8 d t displaystyle omega d theta over dt y cuya direccion esta dada por la regla de la mano derecha Si designamos por e al versor paralelo al eje y cuya direccion sea la definido por la regla anterior se tiene 2 w d 8 d t e w e d 8 d t displaystyle mathbf omega d theta over dt mathbf e omega mathbf e d mathbf theta over dt Llamando et y en a los versores tangencial y normal respectivamente a la trayectoria del punto generico P la velocidad de ese punto puede expresarse en la forma 3 v v e t r w e n e r e n w e PO w displaystyle mathbf v v mathbf e t r omega mathbf e n times mathbf e r mathbf e n times omega mathbf e overrightarrow text PO times mathbf omega de modo que podemos afirmar La velocidad v de un punto generico P del solido rigido en rotacion es igual al momento del vector velocidad angular w con respecto a dicho punto P dd Asi pues conocida la velocidad angular w queda determinada la distribucion de velocidades en todos los puntos del solido rigido en rotacion La expresion 3 puede escribirse en la forma 4 v w OP w r displaystyle mathbf v mathbf omega times overrightarrow text OP mathbf omega times mathbf r donde r OP displaystyle mathbf r overrightarrow text OP es el vector de posicion del punto generico P con respecto a un punto cualquiera del eje de rotacion Las definiciones anteriores exigen que el vector velocidad angular w tenga caracter deslizante sobre el eje de rotacion Una forma abstracta demostrar en un movimiento de solido rigido siempre se puede definir una velocidad angular es partir del caracter ortogonal del grupo de rotaciones ya que R t R T t I displaystyle mathbf R t mathbf R T t mathbf I Derivando respecto al tiempo se obtiene que R t R T t R t R T t 0 displaystyle dot mathbf R t mathbf R T t mathbf R t dot mathbf R T t mathbf 0 Por lo que la matriz definida como W R R T displaystyle boldsymbol Omega dot mathbf R mathbf R T resulta ser antisimetrica W T R R T T R R T R R T W displaystyle boldsymbol Omega T dot mathbf R mathbf R T T mathbf R dot mathbf R T dot mathbf R mathbf R T boldsymbol Omega por oque tendra la forma W 0 w z t w y t w z t 0 w x t w y t w x t 0 displaystyle boldsymbol Omega begin pmatrix 0 amp omega z t amp omega y t omega z t amp 0 amp omega x t omega y t amp omega x t amp 0 end pmatrix Las con las tres componentes independientes puede formarse un pseudovector w t w x t w y t w z t displaystyle boldsymbol omega t omega x t omega y t omega z t llamado vector velocidad angular que ademas satisface la siguiente identidad W b w b displaystyle boldsymbol Omega mathbf b boldsymbol omega times mathbf b para cualquier vector b R 3 displaystyle mathbf b in mathbb R 3 Principio de superposicion de movimientos Editar Figura 9 Principio de superposicion de movimientos El principio de superposicion de movimientos en un solido rigido establece que Si un solido rigido esta animado de varios movimientos simultaneos que originan velocidades v v en un punto generico P del solido la velocidad resultante v de ese punto generico es la suma vectorial de las velocidades que le corresponde en cada uno de los movimientos componentes por separado dd Otra forma de enunciar el principio de superposicion es la siguiente Si un solido rigido esta animado de varios movimientos simultaneos para cada uno de los cuales se cumple la condicion cinematica de rigidez el movimiento resultante tambien cumple esa condicion dd Composicion de rotaciones EditarA partir de la definicion del vector velocidad angular y al quedar completamente representado por dicho vector el movimiento de rotacion del solido es facil comprender que componer dos o mas rotaciones se reducira a sumar los vectores de velocidad angular que las representan Consideraremos dos casos sencillos Rotaciones cuyos ejes concurren en un punto Editar Figura 10 Podemos imaginar las dos rotaciones simultaneas del modo que se ilustra en esta figura Esto es el solido esta en rotacion con una velocidad angular w2 alrededor de un cierto eje a su vez este eje esta rotando con una velocidad angular w1 alrededor de un eje fijo en el espacio La rotacion w2 suele denominarse rotacion intrinseca la rotacion w1 recibe el nombre de precesion Consideremos un solido rigido animado de dos rotaciones simultaneas w1 y w2 cuyos ejes concurren en el punto O Figura 10 La velocidad de un punto generico P del solido sera la suma de las velocidades v1 y v2 que le corresponderian a ese punto en cada rotacion por separado i e 1 v 1 w 1 R v 2 w 2 R displaystyle mathbf v 1 boldsymbol omega 1 times mathbf R qquad mathbf v 2 boldsymbol omega 2 times mathbf R de modo que 2 v 1 v 2 w 1 w 2 R w R displaystyle mathbf v 1 mathbf v 2 boldsymbol omega 1 boldsymbol omega 2 times mathbf R boldsymbol omega times mathbf R o sea que El resultado de la superposicion de dos o mas rotaciones simultaneas cuyos ejes concurren en un punto es igual a otra rotacion cuyo eje pasa por dicho punto y cuya velocidad angular es la suma vectorial de las velocidades angulares correspondientes a las rotaciones componentes dd Par de rotaciones Editar Figura 11 Un par de rotaciones equivale a una traslacion Consideremos un solido rigido que este animado simultaneamente de dos movimientos de rotacion en torno a ejes paralelos entre si y de modo que las velocidades angulares correspondientes localizadas sobre dichos ejes tengan el mismo modulo y direcciones contrarias Figura 11 esto es w1 w y w2 w Los vectores w y w constituyen un par de rotaciones cita requerida de bibliografia donde se defina el termino La velocidad de un punto generico P del solido sera 3 v w O 1 P w O 2 P w O 1 P P O 2 displaystyle mathbf v boldsymbol omega times overrightarrow text O 1 text P boldsymbol omega times overrightarrow text O 2 text P boldsymbol omega times overrightarrow text O 1 text P overrightarrow text P text O 2 o sea 4 v w O 1 O 2 O 1 O 2 w displaystyle mathbf v boldsymbol omega times overrightarrow text O 1 text O 2 overrightarrow text O 1 text O 2 times boldsymbol omega resultando ser independientes del punto P Esto es todos los puntos del solido tienen la misma velocidad En consecuencia tenemos un movimiento en el que todos los puntos del solido poseen en un instante dado la misma velocidad Se define el momento de un vector respecto de un punto como el vector que va desde dicho punto al origen del vector del que calculamos su momento multiplicado vectorialmente por este ultimo vector Por lo tanto podemos enunciar Un par de rotaciones equivale a una traslacion cuya velocidad es la expresada por 4 o sea elmomentodelpar de rotaciones dd Y reciprocamente Una traslacion equivale a unpar de rotacionescuyo momento sea la velocidad de traslacion dd Movimiento rototraslatorio Editar Figura 13 Movimiento general el solido rigido El movimiento mas general del solido rigido es el movimiento rototraslatorio esto es el originado por la superposicion de los dos movimientos basicos el movimiento de traslacion y el movimiento de rotacion Consideremos un solido rigido que esta animado simultaneamente de un cierto numero de movimientos de traslacion y de rotacion Cada uno de los movimientos de traslacion quedara completamente definido por la velocidad de traslacion correspondiente esto es v1 v2 vm Analogamente cada una de las rotaciones quedara completamente definida por el vector velocidad angular correspondiente esto es w1 w2 wn Teniendo en cuenta que un movimiento de traslacion es equivalente a un par de rotaciones cuyo momento es igual a la velocidad de traslacion el estado de movimiento del solido rigido estara definido por un conjunto de rotaciones simultaneas w1 w2 wn wn 1 wn 2m cuyos ejes de rotacion pasan por los puntos O1 O2 On 2m Figura 13 La velocidad de un punto generico del solido P viene dada por el momento resultante del sistema de vectores deslizantes wi i 1 2 en el punto P i e 1 v P i P O i w i i w i O i P displaystyle mathbf v text P sum i overrightarrow text P text O i times boldsymbol omega i sum i boldsymbol omega i times overrightarrow text O i text P Por otra parte el momento del sistema de vectores deslizantes en otro punto P del solido i e la velocidad del punto P esta relacionado con el anterior mediante la expresion 2 v P v P w PP displaystyle mathbf v text P mathbf v text P boldsymbol omega times overrightarrow text PP siendo w Swi la resultante general del sistema de vectores deslizantes i e la velocidad angular resultante que es un invariante del sistema primer invariante o invariante vectorial La expresion 33 nos permite decir que la velocidad que le corresponde a un punto P de un solido rigido es igual a la que le corresponde a otro punto arbitrario del mismo P mas la velocidad que le corresponderia al punto P en una rotacion instantanea w alrededor de un eje que pasase por el punto P En definitiva podemos enunciar El movimiento general de un solido rigido movimiento rototraslatorio puede reducirse a una rotacion de velocidad angular w Swi alrededor de un eje paralelo a w y que pasa por un punto arbitrario del solido mas una traslacion cuya velocidad es el momento resultante del sistema de vectores wi i 1 2 con respecto a dicho punto arbitrario dd El enunciado anterior nos indica que cualquier movimiento del solido rigido por complejo que nos parezca puede reducirse siempre a la superposicion de dos movimientos basicos uno de traslacion y otro de rotacion Observese que la velocidad de cualquier punto del solido queda perfectamente determinada con el conocimiento de la velocidad angular w del solido y la velocidad vP de un punto cualquiera del mismo i e por los vectores w y vP a los que denominaremos conjuntamente grupo cinematico en P Eje instantaneo de rotacion y deslizamiento EditarArticulo principal Eje instantaneo de rotacion Figura 16 Eje instantaneo de rotacion y deslizamiento En los apartados anteriores hemos visto como podemos reducir el estudio del movimiento general del solido rigido al del sistema de vectores deslizantes wi i 1 2 que lo representa Asi la velocidad de un punto del solido rigido puede considerarse como el momento de dicho sistema de vectores con respecto al punto considerado 8 1 y la velocidad de un segundo punto del solido esta relacionada con la del anterior por la expresion 8 2 A cada punto del solido le corresponde una velocidad distinta en general pero en un instante dado todas esas velocidades dan la misma proyeccion en la direccion de la velocidad angular resultante w En efecto multiplicando escalarmente por w ambos miembros de la exp 8 2 tenemos 1 w v P w v P w w PP displaystyle boldsymbol omega cdot mathbf v text P boldsymbol omega cdot mathbf v text P boldsymbol omega cdot left boldsymbol omega times overrightarrow text PP right o sea 2 w v P cte displaystyle boldsymbol omega cdot mathbf v text P text cte que es la expresion del segundo invariante o invariante escalar del sistema de vectores deslizantes wi i 1 2 Por tanto podemos enunciar que en un instante dado El producto escalar de los dos vectores del grupo cinematico tiene el mismo valor en todos los puntos del solido i e es invariante dd El modulo de la velocidad v de un punto del solido rigido tendra un valor minimo si dicha velocidad es paralela a la velocidad angular resultante w Pero el lugar geometrico de los puntos cuya velocidad momento es paralela a w resultante sabemos que es una recta definida por la ecuacion 3 OE w v O w 2 l w displaystyle overrightarrow text OE frac boldsymbol omega times mathbf v text O omega 2 lambda omega que es la ecuacion del eje central del sistema de vectores deslizantes wi i 1 2 en un referencial de origen en el punto O Obviamente vO representa la velocidad que le corresponderia al punto O en el caso de que perteneciera al solido Cuando el sistema de vectores deslizantes esta constituido por vectores de velocidad angular wi el eje central del sistema de vectores recibe el nombre de eje instantaneo de rotacion y deslizamiento EIRD Asi pues el EIRD queda definido como el lugar geometrico de los puntos del solido de velocidad minima o bien el lugar geometrico de los puntos del solido cuya velocidad es paralela a la direccion de la velocidad angular del mismo Obviamente el modulo de la velocidad minima puede determinarse proyectando la velocidad v de un punto cualquiera del solido sobre la velocidad angular w del mismo esto es 4 v min w v w displaystyle v text min frac boldsymbol omega cdot mathbf v omega y su direccion es la del vector w i e la del EIRD Teorema de Chasles Editar Figura 17 Cuando el invariante escalar del sistema de rotaciones es distinto de cero i e w v 0 es posible reducir canonicamente el movimiento rototraslatorio a los dos movimientos basicos rotacion y traslacion Tomando un punto E del eje central como centro de reduccion el sistema de rotaciones resulta ser equivalente a una rotacion unica w Swi localizada sobre el eje central del sistema de rotaciones mas una traslacion o deslizamiento a lo largo de dicho eje con una velocidad vd llamada velocidad minima o de deslizamiento dada por 1 v min v d v E i w i O i E displaystyle mathbf v text min mathbf v text d mathbf v text E sum i boldsymbol omega i times overrightarrow text O i text E que constituye la expresion del Teorema de Chasles El movimiento general de un solido rigido resulta equivalente a una rotacion pura alrededor del eje central del sistema de rotaciones wi i 1 2 mas una traslacion a lo largo de dicho eje Por esa razon el eje central de un sistema de rotaciones recibe el nombre de eje instantaneo de rotacion y deslizamiento y el movimiento resultante se denomina movimiento helicoidal tangente Cuando el invariante escalar es nulo o sea w v 0 siendo v la velocidad de un punto generico del solido se nos pueden presentar los siguientes casos Que sea w 0 y v 0 Esta condicion prevalecera para cualquier punto del solido En ese instante el solido se encuentra en reposo Que sea w 0 y v 0 Todos los puntos del solido tienen la misma velocidad En ese instante el movimiento del solido es una traslacion pura Que sea w 0 y v 0 El sistema de rotaciones esta definido por un sistema de vectores deslizantes concurrentes o paralelos Se trata de unarotacion pura alrededor de un eje que pasa por el punto de concurrencia propio o impropio En los demas puntos del solido fuera de la recta de accion de w aparecera una velocidad que sera siempre perpendicular a w por ser w v 0 Que sea w 0 y v 0 En este caso debera ser v w de modo que cada punto del solido se movera en un plano perpendicular al eje instantaneo de rotacion o sea al vector w Como para los puntos de dicho eje debera ser ademas v w la velocidad de dichos puntos sera nula Por consiguiente elsolido pasara en cada instante por un estado de rotacion pura con velocidad angular w alrededor del eje instantaneo de rotacion pero sin que exista deslizamiento alguno a lo largo de dicho eje Este movimiento recibe el nombre de movimiento de rodadura y en el los puntos del eje instantaneo de rotacion se encuentran instantaneamente en reposo Axoides Representacion de Poncelet Editar Figura 18 Figura 19 Todo nuestro analisis anterior se refiere a un instante determinado y asi la ecuacion que define al eje instantaneo de rotacion y deslizamiento depende de los valores instantaneos de w y de vO de modo que representa una recta movil en el espacio En efecto los vectores w y vO pueden variar de un instante a otro de modo que el eje instantaneo en general cambiara constantemente de posicion en el transcurso del tiempo tanto con respecto a un sistema de ejes fijos en el espacio como con respecto a otro sistema de ejes ligados al solido rigido y que se muevan solidariamente con el El eje instantaneo solo estara indefinido en aquellos instantes en los que el movimiento del solido sea una traslacion pura En el transcurso del movimiento del solido el eje instantaneo modifica su posicion con respecto a un referencial de ejes fijos en el espacio xyz generando una superficie reglada que recibe el nombre de axoide fijo Por otra parte el eje instantaneo en su movimiento con respecto al referencial de ejes ligados al solido x y z genera otra superficie reglada que recibe el nombre de axoide movil Se comprende que en cada instante ambos axoides deben tener una recta comun que es el eje instantaneo correspondiente a dicho instante de modo que ambos axoides son tangentes a lo largo de la recta mencionada Ademas en cada instante el solido rigido realiza una traslacion o deslizamiento a lo largo de dicho eje o recta comun a ambos axoides con una velocidad vd que es la velocidad de traslacion del movimiento helicoidal tangente y que es simplemente la proyeccion del vector velocidad v de cualquier punto del solido sobre el eje instantaneo de rotacion y deslizamiento En definitiva el movimiento general del solido rigido rototraslatorio se puede representar de forma continua suponiendo que el solido esta ligado y se mueve solidariamente con una superficie movil axoide movil que rueda sobre una superficie fija axoide fijo al mismo tiempo que experimenta un deslizamiento a lo largo de la generatriz comun instantanea Tal representacion del movimiento del solido se debe al matematico y general frances Jean Victor Poncelet 1788 1867 En el caso de que uno de los puntos del solido permanezca fijo durante el movimiento ambos axoides degeneran en conos tangentes entre si a lo largo de una generatriz y el movimiento continuo de Poncelet se reduce a una rodadura del cono movil sobre el cono fijo ya que no habra deslizamiento por ser nula la velocidad de uno de los puntos del solido En la Figura 19 ilustramos este tipo de movimiento El solido rigido y el cono movil al cual es solidario gira con velocidad angular w1 al mismo tiempo que el eje de w1 gira con una velocidad angular w2 alrededor de un eje fijo en el espacio El resultado de estos dos movimientos combinados es una rodadura del cono movil sobre el cono fijo siendo el eje instantaneo de rotacion puntos de velocidad instantanea nula con respecto al sistema de ejes fijos la generatriz comun instantaneamente a ambos conos Obviamente sera w w1 w2 como se ilustra en la Figura 19 siendo w la velocidad angular instantanea del solido Aceleracion EditarConsideremos un punto generico P de un solido rigido en movimiento y sea vP su velocidad Si consideramos un segundo punto O perteneciente al solido cuya velocidad sea vO la relacion existente entre ambas velocidades es de la forma 1 v P v O w OP displaystyle mathbf v text P mathbf v text O boldsymbol omega times overrightarrow text OP donde w es la velocidad angular resultante que la podemos considerar localizada sobre un eje que pase por el punto O Derivando la expresion anterior con respecto al tiempo obtenemos la aceleracion aP del punto P esto es 2 a P d v P d t d v O d t d w d t OP w d OP d t displaystyle mathbf a text P frac d mathbf v text P dt frac d mathbf v text O dt frac d boldsymbol omega dt times overrightarrow text OP boldsymbol omega times frac d overrightarrow text OP dt o sea 3 a P a O d w d t OP w v P v O a O d w d t OP w w OP displaystyle mathbf a text P mathbf a text O frac d boldsymbol omega dt times overrightarrow text OP boldsymbol omega times mathbf v text P mathbf v text O mathbf a text O frac d boldsymbol omega dt times overrightarrow text OP boldsymbol omega times boldsymbol omega times overrightarrow text OP donde a O displaystyle mathbf a text O es la aceleracion del punto O d w d t OP displaystyle frac d boldsymbol omega dt times overrightarrow text OP es la aceleracion tangencial del punto P en su rotacion alrededor de un eje en la direccion de w y que pasa por el punto O w w OP displaystyle boldsymbol omega times boldsymbol omega times overrightarrow text OP es la aceleracion normal del punto P respecto al eje anteriormente citado Obviamente la suma de las aceleraciones tangencial y normal del punto P en su rotacion en torno al eje definido por w y que pasa por el punto O es igual a a P a O displaystyle mathbf a text P mathbf a text O o sea la aceleracion relativa del punto P respecto al punto O Vector aceleracion angular Editar Aceleracion angular En el caso general cuando el eje de rotacion no mantiene una direccion constante en el espacio la aceleracion angular no tiene la direccion del eje de rotacion Definimos la aceleracion angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo Se denota por la letra griega a displaystyle alpha y al igual que la velocidad angular tiene caracter vectorial Por definicion 1 a d w d t displaystyle boldsymbol alpha frac d boldsymbol omega dt siendo w displaystyle boldsymbol omega el vector velocidad angular del solido rigido alrededor del eje de rotacion La aceleracion angular se expresa en radianes por segundo al cuadrado o s 2 ya que el radian es adimensional Si denominamos por e displaystyle mathbf e el versor asociado al eje de rotacion de modo que sea w w e displaystyle boldsymbol omega omega mathbf e podemos escribir 2 a d w d t d d t w e d w d t e w d e d t displaystyle boldsymbol alpha frac d boldsymbol omega dt frac d dt left omega mathbf e right frac d omega dt mathbf e omega frac d mathbf e dt resultando que en general el vector a displaystyle boldsymbol alpha no esta localizado sobre el eje de rotacion En el caso particular de que el eje de rotacion mantenga una orientacion fija en el espacio movimiento plano entonces sera d e d t 0 displaystyle d mathbf e dt 0 y el vector aceleracion angular a displaystyle boldsymbol alpha estara localizado sobre el eje de rotacion Esto es 3 a d w d t d w d t e a e displaystyle boldsymbol alpha frac d boldsymbol omega dt frac d omega dt mathbf e alpha mathbf e de modo que el modulo de la aceleracion angular a a displaystyle boldsymbol alpha alpha es la derivada de la rapidez angular con respecto al tiempo o la derivada segunda del angulo de rotacion con respecto al tiempo su direccion es la de w displaystyle boldsymbol omega cuando la rapidez angular aumenta con el tiempo pero es de direccion opuesta si disminuye En el caso general cuando el eje de rotacion no mantiene una direccion fija en el espacio sera d e d t 0 displaystyle d mathbf e dt neq 0 aunque e 1 displaystyle mathbf e 1 ya que el versor del eje cambia de direccion en el transcurso del movimiento Puesto que e displaystyle mathbf e es un versor su derivada sera un vector perpendicular a e displaystyle mathbf e esto es al eje instantaneo de rotacion Asi pues en el caso mas general la aceleracion angular a displaystyle boldsymbol alpha se expresara en la forma 4 a d w d t d w d t e W w displaystyle boldsymbol alpha frac d boldsymbol omega dt frac d omega dt mathbf e boldsymbol Omega times boldsymbol omega siendo W displaystyle boldsymbol Omega la velocidad angular asociada a la rotacion del eje o precesion del eje de rotacion definido por e displaystyle mathbf e en el espacio En la expresion anterior observaremos que el vector aceleracion angular tiene dos componentes una componente longitudinal i e en la direccion del eje de rotacion cuyo modulo es d w d t displaystyle d omega dt y una componente transversal i e perpendicular al eje de rotacion cuyo modulo es W w displaystyle boldsymbol Omega times boldsymbol omega Asi pues en general el vector a displaystyle boldsymbol alpha no tendra la misma direccion que el vector w displaystyle boldsymbol omega el vector aceleracion angular a displaystyle boldsymbol alpha no tendra la direccion del eje de rotacion La direccion de la aceleracion angular solo coincide con la del vector velocidad angular o sea con el eje de rotacion en el caso de que dicho eje mantenga su orientacion fija en el espacio esto es en el movimiento plano Movimiento plano Editar Articulo principal Movimiento plano del solido rigido En el movimiento plano del solido rigido la aceleracion angular al igual que la velocidad angular tiene la direccion del eje de rotacion y viene dada por 1 a d 2 8 d t 2 d w d t displaystyle alpha d 2 theta over dt 2 d omega over dt donde 8 displaystyle theta representa el angulo girado en funcion de t displaystyle t y w displaystyle omega la velocidad angular 2 w d 8 d t displaystyle omega d theta over dt En el movimiento plano tanto la velocidad angular como la aceleracion angular son vectores perpendiculares al plano en el que se produce el movimiento Vease tambien EditarCinematica Choque inelastico Mecanica del solido rigido Ecuaciones de Euler para el solido rigidoReferencias EditarBibliografia Editar Ortega Manuel R 1989 2006 Lecciones de Fisica 4 volumenes Monytex ISBN 84 404 4290 4 ISBN 84 398 9218 7 ISBN 84 398 9219 5 ISBN 84 604 4445 7 Marion Jerry B 1996 Dinamica clasica de las particulas y sistemas Barcelona Ed Reverte ISBN 84 291 4094 8 Resnick Robert amp Krane Kenneth S 2001 Physics en ingles New York John Wiley amp Sons ISBN 0 471 32057 9 Curso Interactivo de Fisica en Internet Angel Franco Garcia Enlaces externos Editar Script de Fisica de Ingenieria Mecanica desde la pagina 72 6º Tema Cinematica del solido rigido Datos Q8346309 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Cinematica del solido rigido amp oldid 136376044, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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