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Cinemática

La cinemática (del griego κινέιν kinéin 'mover,desplazar') es la rama de la mecánica que describe el movimiento de los objetos sólidos sin considerar las causas que lo originan (las fuerzas) y se limita, principalmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo. Para ello utiliza velocidades y aceleraciones, que describen cómo cambia la posición en función del tiempo. La velocidad se determina como el cociente entre el desplazamiento y el tiempo utilizado, mientras que la aceleración es el cociente entre el cambio de velocidad y el tiempo utilizado.

Representación de la trayectoria de una partícula (verde), mostrando la posición (azul) en un momento dado de dicha trayectoria.

Historia

Los primeros en descubrir el movimiento fueron los astrónomos y los filósofos griegos. Hacia el año 1605, Galileo Galilei hizo sus famosos estudios del movimiento de caída libre y de esferas en planos inclinados a fin de comprender aspectos del movimiento relevantes a su tiempo, como el movimiento de los planetas y de las balas de cañón.[1]​ Posteriormente, el estudio de la cicloide realizado por Evangelista Torricelli fue configurando lo que se conocería como geometría del movimiento.

Luego, las aportaciones de Nicolás Copérnico, Tycho Brahe y Johannes Kepler expandieron los horizontes en la descripción del movimiento durante el siglo XVI. En 1687, con la publicación de los Principia, Isaac Newton hizo la mayor aportación conocida al estudio sistemático del movimiento. Entre otros numerosos aportes, estableció las tres leyes del movimiento que llevan su nombre, con lo que contribuyó al campo de la dinámica, además de postular la ley de gravitación universal.

El nacimiento de la cinemática moderna tiene lugar con la alocución de Pierre Varignon el 20 de enero de 1700, ante la Academia Real de las Ciencias de París.[2]​ Fue allí cuando definió la noción de aceleración y mostró cómo es posible deducirla de la velocidad instantánea utilizando un simple procedimiento de cálculo diferencial.

En la segunda mitad del siglo XVIII se produjeron más contribuciones por Jean Le Rond d'Alembert, Leonhard Euler y André-Marie Ampère y continuaron con el enunciado de la ley fundamental del centro instantáneo de rotación en el movimiento plano, de Daniel Bernoulli.

Terminología

El vocablo cinemática fue creado por André-Marie Ampère, quien delimitó el contenido de esta disciplina y aclaró su posición dentro del campo de la mecánica. Desde entonces, la cinemática ha continuado su desarrollo hasta adquirir una estructura propia.

Con la teoría de la relatividad especial de Albert Einstein en 1905, se inició una nueva etapa, la cinemática relativista, donde el tiempo y el espacio no son absolutos, y sí lo es la velocidad de la luz.

Elementos básicos de la cinemática

Los elementos básicos de la cinemática son el espacio, el tiempo y un móvil.

En la mecánica clásica, se admite la existencia de un espacio absoluto, es decir, un espacio anterior a todos los objetos materiales e independientes de la existencia de estos. Este espacio es el escenario donde ocurren todos los fenómenos físicos, y se supone que todas las leyes de la física se cumplen rigurosamente en todas las regiones del mismo. El espacio físico se representa en la mecánica clásica mediante un espacio euclídeo.

Análogamente, la mecánica clásica admite la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todas las regiones del Universo y que es independiente de la existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia de los fenómenos físicos.

El móvil más simple que se puede considerar es el punto material o partícula; cuando en la cinemática se estudia este caso particular de móvil, se denomina Cinemática de la partícula, y cuando el móvil bajo estudio es un cuerpo rígido se lo puede considerar un sistema de partículas y hacer extensivos análogos conceptos; en este caso se le denomina cinemática del sólido rígido o del cuerpo rígido.

Fundamento de la cinemática clásica

La cinemática trata del estudio del movimiento de los cuerpos en general y, en particular, el caso simplificado del movimiento de un punto material, mas no estudia por qué se mueven los cuerpos sino que se limita a describir sus trayectorias y modo de reorientarse en su avance. Para sistemas de muchas partículas, por ejemplo los fluidos, las leyes de movimiento se estudian en la mecánica de fluidos.

El movimiento trazado por una partícula lo mide un observador respecto a un sistema de referencia. Desde el punto de vista matemático, la cinemática expresa cómo varían las coordenadas de posición de la partícula (o partículas) en función del tiempo. La función matemática que describe la trayectoria recorrida por el cuerpo (o partícula) depende de la velocidad (la rapidez con la que cambia de posición un móvil) y de la aceleración (variación de la velocidad respecto del tiempo).

El movimiento de una partícula (o cuerpo rígido) se puede describir según los valores de velocidad y aceleración, que son magnitudes vectoriales:

  • Si la aceleración es nula, da lugar a un movimiento rectilíneo uniforme y la velocidad permanece constante a lo largo del tiempo.
  • Si la aceleración es constante con igual dirección que la velocidad, da lugar al movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y la velocidad variará a lo largo del tiempo.
  • Si la aceleración es constante con dirección perpendicular a la velocidad, da lugar al movimiento circular uniforme, donde el módulo de la velocidad es constante, cambiando su dirección con el tiempo.
  • Cuando la aceleración es constante y está en el mismo plano que la velocidad y la trayectoria, tiene lugar el movimiento parabólico, donde la componente de la velocidad en la dirección de la aceleración se comporta como un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, y la componente perpendicular se comporta como un movimiento rectilíneo uniforme, y se genera una trayectoria parabólica al componer ambas.
  • Cuando la aceleración es constante pero no está en el mismo plano que la velocidad y la trayectoria, se observa el efecto de Coriolis.[cita requerida]
  • En el movimiento armónico simple se tiene un movimiento periódico de vaivén, como el del péndulo, en el cual un cuerpo oscila a un lado y a otro desde la posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos iguales de tiempo. La aceleración y la velocidad son funciones, en este caso, sinusoidales del tiempo.

Al considerar el movimiento de traslación de un cuerpo extenso, en el caso de ser un cuerpo rígido, conociendo como se mueve una de las partículas, se deduce como se mueven las demás. Más concretamente:

  • En un movimiento plano bidimensional si se conoce el movimiento de 2 puntos del sólido, el movimiento de todo el sólido está determinado
  • En un movimiento general tridimensional, el movimiento queda determinado si se conoce el movimiento de 4 puntos del sólido.

Así, considerando un punto del cuerpo, por ejemplo el centro de masa del cuerpo o cualquier otro, el movimiento de todo el cuerpo se puede expresar como:

 

donde:

 , es la posición de un punto del cuerpo en el instante t.
 , es la posición del punto de referencia (por ejemplo el centro de gravedad) en el instante t.
 , es una matriz de rotación que da cuenta del giro del cuerpo alrededor de sí mismo en el instante t, para poder calcular esta matriz basta conocer la posición de otros 3 puntos además del punto de referencia (o 1 punto más si el movimiento es plano).

En la descripción del movimiento de rotación dado por   hay que considerar el eje de rotación respecto del cual rota el cuerpo y la distribución de partículas respecto al eje de giro. El estudio del movimiento de rotación de un sólido rígido suele incluirse en la temática de la mecánica del sólido rígido, por ser más complicado (la dirección principal de   asociada al autovalor 1, da el eje de giro en cada instante t).

Un movimiento interesante es el de una peonza, que al girar puede tener un movimiento de precesión y de nutación. Cuando un cuerpo posee varios movimientos simultáneamente, como por ejemplo uno de traslación y otro de rotación, se puede estudiar cada uno por separado en el sistema de referencia que sea apropiado para cada uno, y luego, superponer los movimientos.

Sistemas de coordenadas

 

En el estudio del movimiento, los sistemas de coordenadas más útiles se encuentran viendo los límites de la trayectoria a recorrer o analizando el efecto geométrico de la aceleración que afecta al movimiento. Así, para describir el movimiento de un talón obligado a desplazarse a lo largo de un aro circular, la coordenada más útil sería el ángulo trazado sobre el aro. Del mismo modo, para describir el movimiento de una partícula sometida a la acción de una fuerza central, las coordenadas polares serían las más útiles.

En la gran mayoría de los casos, el estudio cinemático se hace sobre un sistema de coordenadas cartesianas, usando una, dos o tres dimensiones, según la trayectoria seguida por el cuerpo.

Registro del movimiento

La tecnología hoy en día nos ofrece muchas formas de registrar el movimiento efectuado por un cuerpo. Así, para medir la velocidad de los vehículos se dispone del radar de tráfico cuyo funcionamiento se basa en el efecto Doppler. El tacómetro es un indicador de la velocidad de un vehículo basado en la frecuencia de rotación de las ruedas. Los caminantes disponen de podómetros que detectan las vibraciones características del paso y, suponiendo una distancia media característica para cada paso, permiten calcular la distancia recorrida. El vídeo, unido al análisis informático de las imágenes, permite igualmente determinar la posición y la velocidad de los vehículos.

Tipos de movimientos

Movimiento rectilíneo

El movimiento rectilíneo es aquel en el que el móvil describe una trayectoria en línea recta.

Movimiento rectilíneo uniforme

 
Figura 1. Variación en el tiempo de la posición y la velocidad para un movimiento rectilíneo uniforme.

En el movimiento rectilíneo uniforme el móvil se desplaza por una recta a velocidad V constante; la aceleración a es cero todo el tiempo. Esto corresponde al movimiento de un objeto lanzado en el espacio fuera de toda interacción, o al movimiento de un objeto que se desliza sin fricción. Siendo la velocidad V constante, la posición variará linealmente respecto del tiempo, según la ecuación:

 
 
 
 
 
 

donde   es la posición inicial del móvil respecto al centro de coordenadas, es decir para  .

Si   la ecuación anterior corresponde a una recta que pasa por el origen, en una representación gráfica de la función  , tal como la mostrada en la figura 1.

 

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado o variado

 
Figura 2. Variación en el tiempo de la posición, la velocidad y la aceleración en un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

En este movimiento la aceleración es constante, por lo que la velocidad de móvil varía linealmente y la posición cuadráticamente con tiempo. Las ecuaciones que rigen este movimiento son las siguientes:

 
 
 
 
 
 
 

la velocidad final es igual a la velocidad inicial del móvil más la aceleración por el incremento de tiempo. si   entonces:

 

la velocidad final es igual a la velocidad inicial más la aceleración por el tiempo.

Partiendo de la relación que calcula la velocidad:

 
 
 
 
 
 
 

Donde   ,   es la posición final y   su velocidad inicial, aquella que tiene para  , tenemos.

 

Obsérvese que si la aceleración fuese nula, las ecuaciones anteriores corresponderían a las de un movimiento rectilíneo uniforme, es decir, con velocidad   constante. Si el cuerpo parte del reposo acelerando uniformemente, entonces la  .

Dos casos específicos de MRUA son la caída libre y el tiro vertical. La caída libre es el movimiento de un objeto que cae en dirección al centro de la Tierra con una aceleración equivalente a la aceleración de la gravedad (que en el caso del planeta Tierra al nivel del mar es de aproximadamente 9,8 m/s2). El tiro vertical, en cambio, corresponde al de un objeto arrojado en la dirección opuesta al centro de la tierra, ganando altura. En este caso la aceleración de la gravedad, provoca que el objeto vaya perdiendo velocidad, en lugar de ganarla, hasta llegar al estado de reposo; seguidamente, y a partir de allí, comienza un movimiento de caída libre con velocidad inicial nula.

Movimiento armónico simple

 

Es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de una posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos iguales de tiempo. Matemáticamente, la trayectoria recorrida se expresa en función del tiempo usando funciones trigonométricas, que son periódicas. Así por ejemplo, la ecuación de posición respecto del tiempo, para el caso de movimiento en una dimensión es:

 

o

 

la que corresponde a una función sinusoidal de frecuencia  , de amplitud A y fase de inicial  .

Los movimientos del péndulo, de una masa unida a un muelle o la vibración de los átomos en las redes cristalinas son de estas características.

La aceleración que experimenta el cuerpo es proporcional al desplazamiento del objeto y de dirección contraria, desde el punto de equilibrio. Matemáticamente:

 

donde   es una constante positiva y   se refiere a la elongación (desplazamiento del cuerpo desde la posición de equilibrio).

 
Figura 3. Variación de la posición respecto del tiempo para el movimiento oscilatorio armónico.

La solución a esa ecuación diferencial lleva a funciones trigonométricas de la forma anterior. Lógicamente, un movimiento periódico oscilatorio real se ralentiza en el tiempo (por fricción mayormente), por lo que la expresión de la aceleración es más complicada, necesitando agregar nuevos términos relacionados con la fricción. Una buena aproximación a la realidad es el estudio del movimiento oscilatorio amortiguado.

Movimiento parabólico

 
Figura 4. Esquema de la trayectoria del movimiento balístico.
 
Objeto disparado con un ángulo inicial   desde un punto   que sigue una trayectoria parabólica.

El movimiento parabólico se puede analizar como la composición de dos movimientos rectilíneos distintos: uno horizontal (según el eje x) de velocidad constante y otro vertical (según eje y) uniformemente acelerado, con la aceleración gravitatoria; la composición de ambos da como resultado una trayectoria parabólica.

Claramente, la componente horizontal de la velocidad permanece invariable, pero la componente vertical y el ángulo θ cambian en el transcurso del movimiento.

En la figura 4 se observa que el vector velocidad inicial   forma un ángulo inicial   respecto al eje x; y, como se dijo, para el análisis se descompone en los dos tipos de movimiento mencionados; bajo este análisis, las componentes según x e y de la velocidad inicial serán:

 

 

El desplazamiento horizontal está dado por la ley del movimiento uniforme, por tanto sus ecuaciones serán (si se considera  ):

 

 

 

En tanto que el movimiento según el eje   será rectilíneo uniformemente acelerado, siendo sus ecuaciones:

 

 

 

Si se reemplaza y opera para eliminar el tiempo, con las ecuaciones que dan las posiciones   e  , se obtiene la ecuación de la trayectoria en el plano xy:

 

que tiene la forma general

 

y representa una parábola en el plano y(x). En la figura 4 se muestra esta representación, pero en ella se ha considerado   (no así en la animación respectiva). En esa figura también se observa que la altura máxima en la trayectoria parabólica se producirá en H, cuando la componente vertical de la velocidad   sea nula (máximo de la parábola); y que el alcance horizontal   ocurrirá cuando el cuerpo retorne al suelo, en   (donde la parábola corta al eje  ).

Movimiento circular

El movimiento circular en la práctica es un tipo muy común de movimiento: Lo experimentan, por ejemplo, las partículas de un disco que gira sobre su eje, las de una noria, las de las agujas de un reloj, las de las paletas de un ventilador, etc. Para el caso de un disco en rotación alrededor de un eje fijo, cualquiera de sus puntos describe trayectorias circulares, realizando un cierto número de vueltas durante determinado intervalo de tiempo. Para la descripción de este movimiento resulta conveniente referirse ángulos recorridos; ya que estos últimos son idénticos para todos los puntos del disco (referido a un mismo centro). La longitud del arco recorrido por un punto del disco depende de su posición y es igual al producto del ángulo recorrido por su distancia al eje o centro de giro. La velocidad angular (ω) se define como el desplazamiento angular respecto del tiempo, y se representa mediante un vector perpendicular al plano de rotación; su dirección se determina aplicando la «regla de la mano derecha» o del sacacorchos. La aceleración angular (α) resulta ser variación de velocidad angular respecto del tiempo, y se representa por un vector análogo al de la velocidad angular, pero puede o no tener la misma dirección (según acelere o retarde).

La velocidad (v) de una partícula es una magnitud vectorial cuyo módulo expresa la longitud del arco recorrido (espacio) por unidad de tiempo tiempo; dicho módulo también se denomina rapidez o celeridad. Se representa mediante un vector cuya dirección es tangente a la trayectoria circular y coincide con el del movimiento.

La aceleración (a) de una partícula es una magnitud vectorial que indica la rapidez con que cambia la velocidad respecto del tiempo; esto es, el cambio del vector velocidad por unidad de tiempo. La aceleración tiene generalmente dos componentes: la aceleración tangencial a la trayectoria y la aceleración normal a ésta. La aceleración tangencial es la que causa la variación del módulo de la velocidad (celeridad) respecto del tiempo, mientras que la aceleración normal es la responsable del cambio de dirección de la velocidad. Los módulos de ambas componentes de la aceleración dependen de la distancia a la que se encuentre la partícula respecto del eje de giro.

Movimiento circular uniforme

 
Figura 5. Dirección de magnitudes físicas en una trayectoria circular de radio 1.

Se caracteriza por tener una velocidad variable o estructural constante por lo que la aceleración angular es nula. La velocidad lineal de la partícula no varía en módulo, pero sí en dirección. La aceleración tangencial es nula; pero existe aceleración centrípeta (la aceleración normal), que es causante del cambio de dirección.

Matemáticamente, la velocidad angular se expresa como:

 

donde   es la velocidad angular (constante),   es la variación del ángulo barrido por la partícula y   es la variación del tiempo. El ángulo recorrido en un intervalo de tiempo es:

 

Movimiento circular uniformemente acelerado

En este movimiento, la velocidad angular varía linealmente respecto del tiempo, por estar sometido el móvil a una aceleración angular constante. Las ecuaciones de movimiento son análogas a las del rectilíneo uniformemente acelerado, pero usando ángulos en vez de distancias:

 

 

 

siendo   la aceleración angular constante.

Movimiento armónico complejo

Es un tipo de movimiento bidimensional o tridimensional que puede construir como combinación de movimientos armónicos simples en direcciones diferentes. Cuando una estructura se ve sometida a vibraciones el movimiento de un punto material concreto frecuentemente puede modelizarse por un movimiento armónico complejo si la amplitud del movimiento es pequeña.

El movimiento armónico complejo es interesante porque usualmente no es un movimiento periódico sino un movimiento cuasiperiódico que nunca se repite exactamente igual, aunque ejecuta casi ciclos sin repetirse exactamente. La forma vectorial de un punto que ejecuta este movimiento resulta ser:

 

donde   son las amplitudes máximas en las tres direcciones del espacio,   son las frecuencias de oscilización y   las fases iniciales (las condiciones iniciales permiten calcular tanto las amplitudes como las fases). Las frecuencias dependen de las características del sistema (masa, rigidez, etc.).

El movimiento circular uniforme de hecho es un caso de movimiento armónico complejo en el que las amplitudes en dos direcciones son iguales al radio del círculo  , las frecuencias en las dos direcciones coinciden   y existe una relación de desfases concreta  . Si las amplitudes no son iguales o el desfase no es exactamente el indicado, pero las frecuencias sí son iguales, resulta ser el caso de un movimiento elíptico, cuya trayectoria describe una elipse.

Movimiento de sólido rígido

Todos los movimientos descritos anteriormente se refieren a puntos materiales concretos, o corpúsculos, es decir cuerpos físicos cuyas dimensiones pequeñas respecto al tamaño de la trayectoria por lo que pueden aproximarse por puntos materiales. Sin embargo, los cuerpos físicos macroscópicos no son puntuales, en muchas situaciones el movimiento del cuerpo como un todo, requiere una descripción más compleja que la de asumir que todos sus puntos siguen una trayectoria mucho mayor que las distancias entre puntos del cuerpo, por lo que la descripción del cuerpo como punto material es inadecuada y la cinemática del punto material es demasiado simple para describir adecuadamente la cinemática del cuerpo. En esos casos debe emplearse la cinemática del sólido rígido, en la que la «trayectoria» del cuerpo se da un espacio más complejo o rico que el simple espacio euclídeo tridimensional, ya que se requiere definir no sólo el desplazamiento del cuerpo a través de dicho espacio, sino especificar los cambios de orientación del cuerpo en su movimiento, mediante movimientos de rotación.

Formulación matemática con el cálculo diferencial

La velocidad es la derivada temporal del vector de posición y la aceleración es la derivada temporal de la velocidad:

 

o bien sus expresiones integrales:

 

donde   son las condiciones iniciales.

Movimiento sobre la Tierra

Al observar el movimiento sobre la Tierra de cuerpos tales como masas de aire en meteorología o de proyectiles, se encuentran unas desviaciones provocadas por el llamado Efecto Coriolis. Ellas son usadas para probar que la Tierra está rotando sobre su eje. Desde el punto de vista cinemático es interesante explicar lo que ocurre al considerar la trayectoria observada desde un sistema de referencia que está en rotación, la Tierra.

Supongamos que un cañón situado en el ecuador lanza un proyectil hacia el norte a lo largo de un meridiano. Un observador situado al norte sobre el meridiano observa que el proyectil cae al este de lo predicho, desviándose a la derecha de la trayectoria. De forma análoga, si el proyectil se hubiera disparado a lo largo del meridiano hacia el sur, el proyectil también se habría desviado hacia el este, en este caso hacia la izquierda de la trayectoria seguida. La explicación de esta «desviación», provocada por el Efecto Coriolis, es debida a la rotación de la Tierra. El proyectil tiene una velocidad con tres componentes: las dos que afectan al tiro parabólico, hacia el norte (o el sur) y hacia arriba, respectivamente, más una tercera componente perpendicular a las anteriores debida a que el proyectil, antes de salir del cañón, tiene una velocidad igual a la velocidad de rotación de la Tierra en el ecuador. Esta última componente de velocidad es la causante de la desviación observada pues si bien la velocidad angular de rotación de la Tierra es constante sobre toda su superficie, no lo es la velocidad lineal de rotación, la cual es máxima en el ecuador y nula en el centro de los polos. Así, el proyectil conforme avanza hacia el norte (o el sur), se mueve más rápido hacia el este que la superficie de la Tierra, por lo que se observa la desviación mencionada. Lógicamente, si la Tierra no estuviese rotando sobre sí misma, no se daría esta desviación.

Otro caso interesante de movimiento sobre la Tierra es el del péndulo de Foucault. El plano de oscilación del péndulo no permanece fijo, sino que lo observamos girar, girando en sentido horario en el hemisferio norte y en sentido antihorario en el hemisferio sur. Si el péndulo se pone a oscilar en el ecuador, el plano de oscilación no cambia. En cambio, en los polos, el giro del plano de oscilación toma un día. Para latitudes intermedias toma valores mayores, dependiendo de la latitud. La explicación de tal giro se basa en los mismos principios hechos anteriormente para el proyectil de artillería.

Cinemática relativista

 
Movimiento relativista bajo fuerza constante: aceleración (azul), velocidad (verde) y desplazamiento (rojo).

En la relatividad, lo que es absoluto es la velocidad de la luz en el vacío, no el espacio o el tiempo. Todo observador en un sistema de referencia inercial, no importa su velocidad relativa, va a medir la misma velocidad para la luz que otro observador en otro sistema. Esto no es posible desde el punto de vista clásico. Las transformaciones de movimiento entre dos sistemas de referencia deben tener en cuenta este hecho, de lo que surgieron las transformaciones de Lorentz. En ellas se ve que las dimensiones espaciales y el tiempo están relacionadas, por lo que en relatividad es normal hablar del espacio-tiempo y de un espacio cuatridimensional.

Hay muchas evidencias experimentales de los efectos relativistas. Por ejemplo, el tiempo medido en un laboratorio para la desintegración de una partícula que ha sido generada con una velocidad próxima a la de la luz es superior al de desintegración medido cuando la partícula se genera en reposo respecto al laboratorio. Esto se explica por la dilatación temporal relativista que ocurre en el primer caso.

La Cinemática es un caso especial de geometría diferencial de curvas, en el que todas las curvas se parametrizan de la misma forma: con el tiempo. Para el caso relativista, el tiempo coordenado es una medida relativa para cada observador, por tanto se requiere el uso de algún tipo de medida invariante como el intervalo relativista o equivalentemente para partículas con masa el tiempo propio. La relación entre el tiempo coordenado de un observador y el tiempo propio viene dado por el factor de Lorentz.[3]

Véase también

Referencias

  1. J J O'Connor and E F Robertson (University of St Andrews, Scotland). «Galileo biography» (en inglés). Consultado el 12 de febrero de 2008. 
  2. Varignon, Pierre (1700). . pp. 83-101. Archivado desde el original el 26 de octubre de 2007. Consultado el 9 de enero de 2008. 
  3. Juan José Gómez Cardenas (2007). . Archivado desde el original el 20 de mayo de 2006. Consultado el 12 de febrero de 2008. 

Bibliografía

  1. Marcelo Alonso, Edward J. Finn (1976). Física. Fondo Educativo Interamericano. ISBN 84-03-20234-2. 
  2. Richard Feynman (1974). Feynman lectures on Physics Volume 2 (en inglés). Addison Wesley Longman. ISBN 0-201-02115-3. 
  3. Robert Resnick, David Halliday (2004). Física 4ta. Edición Vol. 1. CECSA, México. ISBN 970-24-0257-3. 

Enlaces externos

  •   Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Cinemática.
  •   Wikilibros alberga un libro o manual sobre Cinemática.
  •   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Cinemática.
  •   Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre Cinemática.
  • Física por ordenador
  •   Datos: Q11476
  •   Multimedia: Kinematics

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La cinematica del griego kinein kinein mover desplazar es la rama de la mecanica que describe el movimiento de los objetos solidos sin considerar las causas que lo originan las fuerzas y se limita principalmente al estudio de la trayectoria en funcion del tiempo Para ello utiliza velocidades y aceleraciones que describen como cambia la posicion en funcion del tiempo La velocidad se determina como el cociente entre el desplazamiento y el tiempo utilizado mientras que la aceleracion es el cociente entre el cambio de velocidad y el tiempo utilizado Representacion de la trayectoria de una particula verde mostrando la posicion azul en un momento dado de dicha trayectoria Indice 1 Historia 2 Terminologia 3 Elementos basicos de la cinematica 3 1 Fundamento de la cinematica clasica 3 2 Sistemas de coordenadas 4 Registro del movimiento 5 Tipos de movimientos 5 1 Movimiento rectilineo 5 1 1 Movimiento rectilineo uniforme 5 1 2 Movimiento rectilineo uniformemente acelerado o variado 5 1 3 Movimiento armonico simple 5 2 Movimiento parabolico 5 3 Movimiento circular 5 3 1 Movimiento circular uniforme 5 3 2 Movimiento circular uniformemente acelerado 5 4 Movimiento armonico complejo 5 5 Movimiento de solido rigido 6 Formulacion matematica con el calculo diferencial 7 Movimiento sobre la Tierra 8 Cinematica relativista 9 Vease tambien 10 Referencias 11 Bibliografia 12 Enlaces externosHistoria EditarLos primeros en descubrir el movimiento fueron los astronomos y los filosofos griegos Hacia el ano 1605 Galileo Galilei hizo sus famosos estudios del movimiento de caida libre y de esferas en planos inclinados a fin de comprender aspectos del movimiento relevantes a su tiempo como el movimiento de los planetas y de las balas de canon 1 Posteriormente el estudio de la cicloide realizado por Evangelista Torricelli fue configurando lo que se conoceria como geometria del movimiento Luego las aportaciones de Nicolas Copernico Tycho Brahe y Johannes Kepler expandieron los horizontes en la descripcion del movimiento durante el siglo XVI En 1687 con la publicacion de los Principia Isaac Newton hizo la mayor aportacion conocida al estudio sistematico del movimiento Entre otros numerosos aportes establecio las tres leyes del movimiento que llevan su nombre con lo que contribuyo al campo de la dinamica ademas de postular la ley de gravitacion universal El nacimiento de la cinematica moderna tiene lugar con la alocucion de Pierre Varignon el 20 de enero de 1700 ante la Academia Real de las Ciencias de Paris 2 Fue alli cuando definio la nocion de aceleracion y mostro como es posible deducirla de la velocidad instantanea utilizando un simple procedimiento de calculo diferencial En la segunda mitad del siglo XVIII se produjeron mas contribuciones por Jean Le Rond d Alembert Leonhard Euler y Andre Marie Ampere y continuaron con el enunciado de la ley fundamental del centro instantaneo de rotacion en el movimiento plano de Daniel Bernoulli Terminologia EditarEl vocablo cinematica fue creado por Andre Marie Ampere quien delimito el contenido de esta disciplina y aclaro su posicion dentro del campo de la mecanica Desde entonces la cinematica ha continuado su desarrollo hasta adquirir una estructura propia Con la teoria de la relatividad especial de Albert Einstein en 1905 se inicio una nueva etapa la cinematica relativista donde el tiempo y el espacio no son absolutos y si lo es la velocidad de la luz Elementos basicos de la cinematica EditarLos elementos basicos de la cinematica son el espacio el tiempo y un movil En la mecanica clasica se admite la existencia de un espacio absoluto es decir un espacio anterior a todos los objetos materiales e independientes de la existencia de estos Este espacio es el escenario donde ocurren todos los fenomenos fisicos y se supone que todas las leyes de la fisica se cumplen rigurosamente en todas las regiones del mismo El espacio fisico se representa en la mecanica clasica mediante un espacio euclideo Analogamente la mecanica clasica admite la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todas las regiones del Universo y que es independiente de la existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia de los fenomenos fisicos El movil mas simple que se puede considerar es el punto material o particula cuando en la cinematica se estudia este caso particular de movil se denomina Cinematica de la particula y cuando el movil bajo estudio es un cuerpo rigido se lo puede considerar un sistema de particulas y hacer extensivos analogos conceptos en este caso se le denomina cinematica del solido rigido o del cuerpo rigido Fundamento de la cinematica clasica Editar La cinematica trata del estudio del movimiento de los cuerpos en general y en particular el caso simplificado del movimiento de un punto material mas no estudia por que se mueven los cuerpos sino que se limita a describir sus trayectorias y modo de reorientarse en su avance Para sistemas de muchas particulas por ejemplo los fluidos las leyes de movimiento se estudian en la mecanica de fluidos El movimiento trazado por una particula lo mide un observador respecto a un sistema de referencia Desde el punto de vista matematico la cinematica expresa como varian las coordenadas de posicion de la particula o particulas en funcion del tiempo La funcion matematica que describe la trayectoria recorrida por el cuerpo o particula depende de la velocidad la rapidez con la que cambia de posicion un movil y de la aceleracion variacion de la velocidad respecto del tiempo El movimiento de una particula o cuerpo rigido se puede describir segun los valores de velocidad y aceleracion que son magnitudes vectoriales Si la aceleracion es nula da lugar a un movimiento rectilineo uniforme y la velocidad permanece constante a lo largo del tiempo Si la aceleracion es constante con igual direccion que la velocidad da lugar al movimiento rectilineo uniformemente acelerado y la velocidad variara a lo largo del tiempo Si la aceleracion es constante con direccion perpendicular a la velocidad da lugar al movimiento circular uniforme donde el modulo de la velocidad es constante cambiando su direccion con el tiempo Cuando la aceleracion es constante y esta en el mismo plano que la velocidad y la trayectoria tiene lugar el movimiento parabolico donde la componente de la velocidad en la direccion de la aceleracion se comporta como un movimiento rectilineo uniformemente acelerado y la componente perpendicular se comporta como un movimiento rectilineo uniforme y se genera una trayectoria parabolica al componer ambas Cuando la aceleracion es constante pero no esta en el mismo plano que la velocidad y la trayectoria se observa el efecto de Coriolis cita requerida En el movimiento armonico simple se tiene un movimiento periodico de vaiven como el del pendulo en el cual un cuerpo oscila a un lado y a otro desde la posicion de equilibrio en una direccion determinada y en intervalos iguales de tiempo La aceleracion y la velocidad son funciones en este caso sinusoidales del tiempo Al considerar el movimiento de traslacion de un cuerpo extenso en el caso de ser un cuerpo rigido conociendo como se mueve una de las particulas se deduce como se mueven las demas Mas concretamente En un movimiento plano bidimensional si se conoce el movimiento de 2 puntos del solido el movimiento de todo el solido esta determinado En un movimiento general tridimensional el movimiento queda determinado si se conoce el movimiento de 4 puntos del solido Asi considerando un punto del cuerpo por ejemplo el centro de masa del cuerpo o cualquier otro el movimiento de todo el cuerpo se puede expresar como r t r G t R t r 0 r G 0 displaystyle mathbf r t mathbf r G t mathbf R t cdot mathbf r 0 mathbf r G 0 donde r t displaystyle mathbf r t es la posicion de un punto del cuerpo en el instante t r G t displaystyle mathbf r G t es la posicion del punto de referencia por ejemplo el centro de gravedad en el instante t R t displaystyle mathbf R t es una matriz de rotacion que da cuenta del giro del cuerpo alrededor de si mismo en el instante t para poder calcular esta matriz basta conocer la posicion de otros 3 puntos ademas del punto de referencia o 1 punto mas si el movimiento es plano En la descripcion del movimiento de rotacion dado por R t displaystyle mathbf R t hay que considerar el eje de rotacion respecto del cual rota el cuerpo y la distribucion de particulas respecto al eje de giro El estudio del movimiento de rotacion de un solido rigido suele incluirse en la tematica de la mecanica del solido rigido por ser mas complicado la direccion principal de R t displaystyle mathbf R t asociada al autovalor 1 da el eje de giro en cada instante t Un movimiento interesante es el de una peonza que al girar puede tener un movimiento de precesion y de nutacion Cuando un cuerpo posee varios movimientos simultaneamente como por ejemplo uno de traslacion y otro de rotacion se puede estudiar cada uno por separado en el sistema de referencia que sea apropiado para cada uno y luego superponer los movimientos Sistemas de coordenadas Editar Articulo principal Sistema de coordenadas En el estudio del movimiento los sistemas de coordenadas mas utiles se encuentran viendo los limites de la trayectoria a recorrer o analizando el efecto geometrico de la aceleracion que afecta al movimiento Asi para describir el movimiento de un talon obligado a desplazarse a lo largo de un aro circular la coordenada mas util seria el angulo trazado sobre el aro Del mismo modo para describir el movimiento de una particula sometida a la accion de una fuerza central las coordenadas polares serian las mas utiles En la gran mayoria de los casos el estudio cinematico se hace sobre un sistema de coordenadas cartesianas usando una dos o tres dimensiones segun la trayectoria seguida por el cuerpo Registro del movimiento EditarLa tecnologia hoy en dia nos ofrece muchas formas de registrar el movimiento efectuado por un cuerpo Asi para medir la velocidad de los vehiculos se dispone del radar de trafico cuyo funcionamiento se basa en el efecto Doppler El tacometro es un indicador de la velocidad de un vehiculo basado en la frecuencia de rotacion de las ruedas Los caminantes disponen de podometros que detectan las vibraciones caracteristicas del paso y suponiendo una distancia media caracteristica para cada paso permiten calcular la distancia recorrida El video unido al analisis informatico de las imagenes permite igualmente determinar la posicion y la velocidad de los vehiculos Tipos de movimientos EditarMovimiento rectilineo Editar Articulo principal Movimiento rectilineo El movimiento rectilineo es aquel en el que el movil describe una trayectoria en linea recta Movimiento rectilineo uniforme Editar Articulo principal Movimiento rectilineo uniforme Figura 1 Variacion en el tiempo de la posicion y la velocidad para un movimiento rectilineo uniforme En el movimiento rectilineo uniforme el movil se desplaza por una recta a velocidad V constante la aceleracion a es cero todo el tiempo Esto corresponde al movimiento de un objeto lanzado en el espacio fuera de toda interaccion o al movimiento de un objeto que se desliza sin friccion Siendo la velocidad V constante la posicion variara linealmente respecto del tiempo segun la ecuacion V constante displaystyle V text constante d x d t V displaystyle cfrac d x d t V d x V d t displaystyle d x V d t x 0 x 1 d x t 0 t 1 V d t displaystyle int x 0 x 1 d x int t 0 t 1 V d t x 0 x 1 d x V t 0 t 1 d t displaystyle int x 0 x 1 d x V int t 0 t 1 d t x 1 x 0 V t 1 t 0 displaystyle x 1 x 0 V t 1 t 0 donde x 0 displaystyle x 0 es la posicion inicial del movil respecto al centro de coordenadas es decir para t 0 displaystyle t 0 Si x 0 0 t 0 0 displaystyle x 0 0 t 0 0 la ecuacion anterior corresponde a una recta que pasa por el origen en una representacion grafica de la funcion x t V t displaystyle x t V t tal como la mostrada en la figura 1 x V t displaystyle x V t Movimiento rectilineo uniformemente acelerado o variado Editar Articulo principal Movimiento rectilineo uniformemente acelerado Figura 2 Variacion en el tiempo de la posicion la velocidad y la aceleracion en un movimiento rectilineo uniformemente acelerado En este movimiento la aceleracion es constante por lo que la velocidad de movil varia linealmente y la posicion cuadraticamente con tiempo Las ecuaciones que rigen este movimiento son las siguientes a constante displaystyle a text constante d V d t a displaystyle cfrac d V d t a d V a d t displaystyle d V a d t V 0 V 1 d V t 0 t 1 a d t displaystyle int V 0 V 1 d V int t 0 t 1 a d t V 0 V 1 d V a t 0 t 1 d t displaystyle int V 0 V 1 d V a int t 0 t 1 d t V 1 V 0 a t 1 t 0 displaystyle V 1 V 0 a t 1 t 0 V 1 V 0 a t 1 t 0 displaystyle V 1 V 0 a t 1 t 0 la velocidad final es igual a la velocidad inicial del movil mas la aceleracion por el incremento de tiempo si t 0 0 displaystyle t 0 0 entonces V V 0 a t displaystyle V V 0 a t la velocidad final es igual a la velocidad inicial mas la aceleracion por el tiempo Partiendo de la relacion que calcula la velocidad V V 0 a t displaystyle V V 0 a t d r d t V V 0 a t displaystyle cfrac d r d t V V 0 a t d r V 0 a t d t displaystyle d r V 0 a t d t r 0 r 1 d r t 0 t 1 V 0 a t d t displaystyle int r 0 r 1 d r int t 0 t 1 V 0 a t d t r 0 r 1 d r V 0 t 0 t 1 d t a t 0 t 1 t d t displaystyle int r 0 r 1 d r V 0 int t 0 t 1 d t a int t 0 t 1 t d t r 1 r 0 V 0 t 1 t 0 1 2 a t 1 2 t 0 2 displaystyle r 1 r 0 V 0 t 1 t 0 cfrac 1 2 a t 1 2 t 0 2 r 1 r 0 V 0 t 1 t 0 1 2 a t 1 2 t 0 2 displaystyle r 1 r 0 V 0 t 1 t 0 cfrac 1 2 a t 1 2 t 0 2 Donde t 0 0 displaystyle t 0 0 x 1 displaystyle x 1 es la posicion final y V 0 displaystyle V 0 su velocidad inicial aquella que tiene para t 0 displaystyle t 0 tenemos r r 0 V 0 t 1 2 a t 2 displaystyle r r 0 V 0 t cfrac 1 2 at 2 Observese que si la aceleracion fuese nula las ecuaciones anteriores corresponderian a las de un movimiento rectilineo uniforme es decir con velocidad V V 0 displaystyle V V 0 constante Si el cuerpo parte del reposo acelerando uniformemente entonces la V 0 0 displaystyle V 0 0 Dos casos especificos de MRUA son la caida libre y el tiro vertical La caida libre es el movimiento de un objeto que cae en direccion al centro de la Tierra con una aceleracion equivalente a la aceleracion de la gravedad que en el caso del planeta Tierra al nivel del mar es de aproximadamente 9 8 m s2 El tiro vertical en cambio corresponde al de un objeto arrojado en la direccion opuesta al centro de la tierra ganando altura En este caso la aceleracion de la gravedad provoca que el objeto vaya perdiendo velocidad en lugar de ganarla hasta llegar al estado de reposo seguidamente y a partir de alli comienza un movimiento de caida libre con velocidad inicial nula Movimiento armonico simple Editar Articulo principal Movimiento armonico simple Es un movimiento periodico de vaiven en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de una posicion de equilibrio en una direccion determinada y en intervalos iguales de tiempo Matematicamente la trayectoria recorrida se expresa en funcion del tiempo usando funciones trigonometricas que son periodicas Asi por ejemplo la ecuacion de posicion respecto del tiempo para el caso de movimiento en una dimension es x t A sin 2 p f t ϕ displaystyle x t A sin left 2 pi ft phi right o x t A cos 2 p f t ϕ displaystyle x t A cos left 2 pi ft phi right la que corresponde a una funcion sinusoidal de frecuencia f displaystyle f de amplitud A y fase de inicial ϕ displaystyle phi Los movimientos del pendulo de una masa unida a un muelle o la vibracion de los atomos en las redes cristalinas son de estas caracteristicas La aceleracion que experimenta el cuerpo es proporcional al desplazamiento del objeto y de direccion contraria desde el punto de equilibrio Matematicamente a d 2 x d t 2 k x displaystyle a frac d 2 x dt 2 kx donde k displaystyle k es una constante positiva y x displaystyle x se refiere a la elongacion desplazamiento del cuerpo desde la posicion de equilibrio Figura 3 Variacion de la posicion respecto del tiempo para el movimiento oscilatorio armonico La solucion a esa ecuacion diferencial lleva a funciones trigonometricas de la forma anterior Logicamente un movimiento periodico oscilatorio real se ralentiza en el tiempo por friccion mayormente por lo que la expresion de la aceleracion es mas complicada necesitando agregar nuevos terminos relacionados con la friccion Una buena aproximacion a la realidad es el estudio del movimiento oscilatorio amortiguado Vease tambien Oscilador armonico Movimiento parabolico Editar Articulo principal Movimiento parabolico Figura 4 Esquema de la trayectoria del movimiento balistico Objeto disparado con un angulo inicial 8 0 displaystyle theta 0 desde un punto y x 0 displaystyle y x 0 que sigue una trayectoria parabolica El movimiento parabolico se puede analizar como la composicion de dos movimientos rectilineos distintos uno horizontal segun el eje x de velocidad constante y otro vertical segun eje y uniformemente acelerado con la aceleracion gravitatoria la composicion de ambos da como resultado una trayectoria parabolica Claramente la componente horizontal de la velocidad permanece invariable pero la componente vertical y el angulo 8 cambian en el transcurso del movimiento En la figura 4 se observa que el vector velocidad inicial v 0 displaystyle v 0 forma un angulo inicial 8 0 displaystyle theta 0 respecto al eje x y como se dijo para el analisis se descompone en los dos tipos de movimiento mencionados bajo este analisis las componentes segun x e y de la velocidad inicial seran v 0 x v 0 cos 8 0 displaystyle v 0x v 0 cos theta 0 v 0 y v 0 sin 8 0 displaystyle v 0y v 0 sin theta 0 El desplazamiento horizontal esta dado por la ley del movimiento uniforme por tanto sus ecuaciones seran si se considera x 0 0 displaystyle x 0 0 a x 0 displaystyle a x 0 v x v 0 x displaystyle v x v 0x x v 0 x t displaystyle x v 0x t En tanto que el movimiento segun el eje y displaystyle y sera rectilineo uniformemente acelerado siendo sus ecuaciones a y g displaystyle a y g v y v 0 y g t displaystyle v y v 0y gt y y 0 v 0 y t 1 2 g t 2 displaystyle y y 0 v 0y t frac 1 2 g t 2 Si se reemplaza y opera para eliminar el tiempo con las ecuaciones que dan las posiciones x displaystyle x e y displaystyle y se obtiene la ecuacion de la trayectoria en el plano xy y g 2 v 0 2 cos 2 8 0 x 2 tan 8 0 x y 0 displaystyle y frac g 2v 0 2 cos 2 theta 0 x 2 tan theta 0 x y 0 que tiene la forma general y a x 2 b x c displaystyle y a x 2 bx c y representa una parabola en el plano y x En la figura 4 se muestra esta representacion pero en ella se ha considerado y 0 0 displaystyle y 0 0 no asi en la animacion respectiva En esa figura tambien se observa que la altura maxima en la trayectoria parabolica se producira en H cuando la componente vertical de la velocidad v y displaystyle v y sea nula maximo de la parabola y que el alcance horizontal x displaystyle x ocurrira cuando el cuerpo retorne al suelo en y 0 displaystyle y 0 donde la parabola corta al eje x displaystyle x Movimiento circular Editar Articulo principal Movimiento circular El movimiento circular en la practica es un tipo muy comun de movimiento Lo experimentan por ejemplo las particulas de un disco que gira sobre su eje las de una noria las de las agujas de un reloj las de las paletas de un ventilador etc Para el caso de un disco en rotacion alrededor de un eje fijo cualquiera de sus puntos describe trayectorias circulares realizando un cierto numero de vueltas durante determinado intervalo de tiempo Para la descripcion de este movimiento resulta conveniente referirse angulos recorridos ya que estos ultimos son identicos para todos los puntos del disco referido a un mismo centro La longitud del arco recorrido por un punto del disco depende de su posicion y es igual al producto del angulo recorrido por su distancia al eje o centro de giro La velocidad angular w se define como el desplazamiento angular respecto del tiempo y se representa mediante un vector perpendicular al plano de rotacion su direccion se determina aplicando la regla de la mano derecha o del sacacorchos La aceleracion angular a resulta ser variacion de velocidad angular respecto del tiempo y se representa por un vector analogo al de la velocidad angular pero puede o no tener la misma direccion segun acelere o retarde La velocidad v de una particula es una magnitud vectorial cuyo modulo expresa la longitud del arco recorrido espacio por unidad de tiempo tiempo dicho modulo tambien se denomina rapidez o celeridad Se representa mediante un vector cuya direccion es tangente a la trayectoria circular y coincide con el del movimiento La aceleracion a de una particula es una magnitud vectorial que indica la rapidez con que cambia la velocidad respecto del tiempo esto es el cambio del vector velocidad por unidad de tiempo La aceleracion tiene generalmente dos componentes la aceleracion tangencial a la trayectoria y la aceleracion normal a esta La aceleracion tangencial es la que causa la variacion del modulo de la velocidad celeridad respecto del tiempo mientras que la aceleracion normal es la responsable del cambio de direccion de la velocidad Los modulos de ambas componentes de la aceleracion dependen de la distancia a la que se encuentre la particula respecto del eje de giro Movimiento circular uniforme Editar Figura 5 Direccion de magnitudes fisicas en una trayectoria circular de radio 1 Articulo principal Movimiento circular uniforme Se caracteriza por tener una velocidad variable o estructural constante por lo que la aceleracion angular es nula La velocidad lineal de la particula no varia en modulo pero si en direccion La aceleracion tangencial es nula pero existe aceleracion centripeta la aceleracion normal que es causante del cambio de direccion Matematicamente la velocidad angular se expresa como w w 0 const w D f D t displaystyle omega omega 0 text const qquad omega frac Delta varphi Delta t donde w displaystyle omega es la velocidad angular constante D f displaystyle Delta varphi es la variacion del angulo barrido por la particula y D t displaystyle Delta t es la variacion del tiempo El angulo recorrido en un intervalo de tiempo es f f 0 w t displaystyle varphi varphi 0 omega t Movimiento circular uniformemente acelerado Editar Articulo principal Movimiento circular uniformemente acelerado En este movimiento la velocidad angular varia linealmente respecto del tiempo por estar sometido el movil a una aceleracion angular constante Las ecuaciones de movimiento son analogas a las del rectilineo uniformemente acelerado pero usando angulos en vez de distancias a a 0 const displaystyle alpha alpha 0 text const w w 0 a t displaystyle omega omega 0 alpha t f f 0 w 0 t 1 2 a t 2 displaystyle varphi varphi 0 omega 0 t frac 1 2 alpha t 2 siendo a displaystyle alpha la aceleracion angular constante Movimiento armonico complejo Editar Articulo principal Movimiento armonico complejo Es un tipo de movimiento bidimensional o tridimensional que puede construir como combinacion de movimientos armonicos simples en direcciones diferentes Cuando una estructura se ve sometida a vibraciones el movimiento de un punto material concreto frecuentemente puede modelizarse por un movimiento armonico complejo si la amplitud del movimiento es pequena El movimiento armonico complejo es interesante porque usualmente no es un movimiento periodico sino un movimiento cuasiperiodico que nunca se repite exactamente igual aunque ejecuta casi ciclos sin repetirse exactamente La forma vectorial de un punto que ejecuta este movimiento resulta ser r t A x cos w x t ϕ x i A y cos w y t ϕ y j A z cos w z t ϕ z k displaystyle mathbf r t A x cos omega x t phi x mathbf i A y cos omega y t phi y mathbf j A z cos omega z t phi z mathbf k donde A x A y A z displaystyle A x A y A z son las amplitudes maximas en las tres direcciones del espacio w x w y w z displaystyle omega x omega y omega z son las frecuencias de oscilizacion y ϕ x ϕ y ϕ z displaystyle phi x phi y phi z las fases iniciales las condiciones iniciales permiten calcular tanto las amplitudes como las fases Las frecuencias dependen de las caracteristicas del sistema masa rigidez etc El movimiento circular uniforme de hecho es un caso de movimiento armonico complejo en el que las amplitudes en dos direcciones son iguales al radio del circulo A x A y R A z 0 displaystyle A x A y R A z 0 las frecuencias en las dos direcciones coinciden w x w y w displaystyle omega x omega y omega y existe una relacion de desfases concreta ϕ x ϕ y p 2 displaystyle phi x phi y pm pi 2 Si las amplitudes no son iguales o el desfase no es exactamente el indicado pero las frecuencias si son iguales resulta ser el caso de un movimiento eliptico cuya trayectoria describe una elipse Movimiento de solido rigido Editar Articulo principal Cinematica del solido rigido Todos los movimientos descritos anteriormente se refieren a puntos materiales concretos o corpusculos es decir cuerpos fisicos cuyas dimensiones pequenas respecto al tamano de la trayectoria por lo que pueden aproximarse por puntos materiales Sin embargo los cuerpos fisicos macroscopicos no son puntuales en muchas situaciones el movimiento del cuerpo como un todo requiere una descripcion mas compleja que la de asumir que todos sus puntos siguen una trayectoria mucho mayor que las distancias entre puntos del cuerpo por lo que la descripcion del cuerpo como punto material es inadecuada y la cinematica del punto material es demasiado simple para describir adecuadamente la cinematica del cuerpo En esos casos debe emplearse la cinematica del solido rigido en la que la trayectoria del cuerpo se da un espacio mas complejo o rico que el simple espacio euclideo tridimensional ya que se requiere definir no solo el desplazamiento del cuerpo a traves de dicho espacio sino especificar los cambios de orientacion del cuerpo en su movimiento mediante movimientos de rotacion Formulacion matematica con el calculo diferencial EditarLa velocidad es la derivada temporal del vector de posicion y la aceleracion es la derivada temporal de la velocidad v d x t d t x t d t 2 v x displaystyle mathbf v frac d mathbf x t dt mathbf mathbf x t dt 2 mathbf dot v mathbf ddot x o bien sus expresiones integrales v t v 0 0 t a t d t x 0 v 0 t 0 t t t a t d t displaystyle mathbf v t mathbf v 0 int 0 t mathbf a t dt qquad mathbf x 0 mathbf v 0 t int 0 t t tau mathbf a tau d tau donde x 0 v 0 displaystyle mathbf x 0 mathbf v 0 son las condiciones iniciales Movimiento sobre la Tierra EditarAl observar el movimiento sobre la Tierra de cuerpos tales como masas de aire en meteorologia o de proyectiles se encuentran unas desviaciones provocadas por el llamado Efecto Coriolis Ellas son usadas para probar que la Tierra esta rotando sobre su eje Desde el punto de vista cinematico es interesante explicar lo que ocurre al considerar la trayectoria observada desde un sistema de referencia que esta en rotacion la Tierra Supongamos que un canon situado en el ecuador lanza un proyectil hacia el norte a lo largo de un meridiano Un observador situado al norte sobre el meridiano observa que el proyectil cae al este de lo predicho desviandose a la derecha de la trayectoria De forma analoga si el proyectil se hubiera disparado a lo largo del meridiano hacia el sur el proyectil tambien se habria desviado hacia el este en este caso hacia la izquierda de la trayectoria seguida La explicacion de esta desviacion provocada por el Efecto Coriolis es debida a la rotacion de la Tierra El proyectil tiene una velocidad con tres componentes las dos que afectan al tiro parabolico hacia el norte o el sur y hacia arriba respectivamente mas una tercera componente perpendicular a las anteriores debida a que el proyectil antes de salir del canon tiene una velocidad igual a la velocidad de rotacion de la Tierra en el ecuador Esta ultima componente de velocidad es la causante de la desviacion observada pues si bien la velocidad angular de rotacion de la Tierra es constante sobre toda su superficie no lo es la velocidad lineal de rotacion la cual es maxima en el ecuador y nula en el centro de los polos Asi el proyectil conforme avanza hacia el norte o el sur se mueve mas rapido hacia el este que la superficie de la Tierra por lo que se observa la desviacion mencionada Logicamente si la Tierra no estuviese rotando sobre si misma no se daria esta desviacion Otro caso interesante de movimiento sobre la Tierra es el del pendulo de Foucault El plano de oscilacion del pendulo no permanece fijo sino que lo observamos girar girando en sentido horario en el hemisferio norte y en sentido antihorario en el hemisferio sur Si el pendulo se pone a oscilar en el ecuador el plano de oscilacion no cambia En cambio en los polos el giro del plano de oscilacion toma un dia Para latitudes intermedias toma valores mayores dependiendo de la latitud La explicacion de tal giro se basa en los mismos principios hechos anteriormente para el proyectil de artilleria Cinematica relativista EditarArticulos principales Relatividad Especialy Cinematica relativista Movimiento relativista bajo fuerza constante aceleracion azul velocidad verde y desplazamiento rojo En la relatividad lo que es absoluto es la velocidad de la luz en el vacio no el espacio o el tiempo Todo observador en un sistema de referencia inercial no importa su velocidad relativa va a medir la misma velocidad para la luz que otro observador en otro sistema Esto no es posible desde el punto de vista clasico Las transformaciones de movimiento entre dos sistemas de referencia deben tener en cuenta este hecho de lo que surgieron las transformaciones de Lorentz En ellas se ve que las dimensiones espaciales y el tiempo estan relacionadas por lo que en relatividad es normal hablar del espacio tiempo y de un espacio cuatridimensional Hay muchas evidencias experimentales de los efectos relativistas Por ejemplo el tiempo medido en un laboratorio para la desintegracion de una particula que ha sido generada con una velocidad proxima a la de la luz es superior al de desintegracion medido cuando la particula se genera en reposo respecto al laboratorio Esto se explica por la dilatacion temporal relativista que ocurre en el primer caso La Cinematica es un caso especial de geometria diferencial de curvas en el que todas las curvas se parametrizan de la misma forma con el tiempo Para el caso relativista el tiempo coordenado es una medida relativa para cada observador por tanto se requiere el uso de algun tipo de medida invariante como el intervalo relativista o equivalentemente para particulas con masa el tiempo propio La relacion entre el tiempo coordenado de un observador y el tiempo propio viene dado por el factor de Lorentz 3 Vease tambien EditarDinamica Dinamica de sistemas Mecanica Teoria de la relatividad especial Cinematica del solido rigido Cinematica inversaReferencias Editar J J O Connor and E F Robertson University of St Andrews Scotland Galileo biography en ingles Consultado el 12 de febrero de 2008 Varignon Pierre 1700 Du mouvement en generale par toutes sortes de courbes amp des forces centrales tant centrifuges que centripetes necessaires aux corps qui les decrivent pp 83 101 Archivado desde el original el 26 de octubre de 2007 Consultado el 9 de enero de 2008 Juan Jose Gomez Cardenas 2007 Cinematica relativista Archivado desde el original el 20 de mayo de 2006 Consultado el 12 de febrero de 2008 Bibliografia EditarMarcelo Alonso Edward J Finn 1976 Fisica Fondo Educativo Interamericano ISBN 84 03 20234 2 Richard Feynman 1974 Feynman lectures on Physics Volume 2 en ingles Addison Wesley Longman ISBN 0 201 02115 3 Robert Resnick David Halliday 2004 Fisica 4ta Edicion Vol 1 CECSA Mexico ISBN 970 24 0257 3 Enlaces externos Editar Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Cinematica Wikilibros alberga un libro o manual sobre Cinematica Wikimedia Commons alberga una categoria multimedia sobre Cinematica Wikcionario tiene definiciones y otra informacion sobre Cinematica Fisica por ordenador Ejercicios Resueltos de Cinematica Datos Q11476 Multimedia Kinematics Obtenido de https es wikipedia org w index php title Cinematica amp oldid 139923513, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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