Carta (matemática)

Carta se incluye en terminología matemática en el sentido cartográfico, el objetivo es el de unir una serie de cartas o “mapas” para que nos permitan definir completamente una atlas o “colección de mapas” de la totalidad de un espacio topológico al que queremos estudiar.

Para una ampliación contextual de la definición vea variedades diferenciables.

Definición de cartas

Dado ${\displaystyle M_{}^{}}$  un espacio topológico, llamaremos carta de dimensión ${\displaystyle m_{}^{}}$  en ${\displaystyle M_{}^{}}$  a un par ${\displaystyle (U,\Phi _{}^{})}$  tal que la aplicación ${\displaystyle \Phi :U={\stackrel {\circ }{U}}\subset M\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$  cumpla que ${\displaystyle \Phi _{}^{}(U)}$  sea un abierto y ${\displaystyle \Phi _{}^{}}$  sea un homeomorfismo(biyectiva, continua e inversa continua).

Notas

• Diremos que ${\displaystyle U_{}^{}}$  es un abierto coordenado.
• Si ${\displaystyle p\in U}$ , diremos que ${\displaystyle U_{}^{}}$  es un entorno coordenado de ${\displaystyle p_{}^{}}$ .

• Si ${\displaystyle \Phi (p)=0_{}^{}}$ , diremos que la carta está centrada en ${\displaystyle p_{}^{}}$ .

Ejemplos triviales

1) Si ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$  podemos ver que ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\;id:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n})}$  es carta ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :n>0}$ .

2) Si ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$  pordemos ver que ${\displaystyle ((a,b),\;i:(a,b)\hookrightarrow \mathbb {R} )}$  es carta ${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} :a<b}$ .

3) Si ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$  podemos ver que ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\;x\mapsto x^{3})}$  es carta, también lo es ${\displaystyle x^{2n+1}\forall n>1}$ .

Demostración:

${\displaystyle \mathbb {R} }$  es espacio topológico, ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\;\exists !x^{3},\exists !{\sqrt[{3}]{x}}}$ , luego es biyectiva y como es continua tenemos un homeomorfismo.

4) Si ${\displaystyle M=S^{1}\subset \mathbb {R^{2}} \cong \mathbb {C} }$  podemos ver que ${\displaystyle (S^{1}\ \{i\},\;\phi )}$  es carta para:

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi :&{S^{1}\ \{i\}}&\longrightarrow {}&{(-{\frac {3\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}\\&z&\longmapsto &{\theta :=\det -\arg _{(-{\frac {3\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}(z)}\end{matrix}}}$ .

 

5) Si ${\displaystyle M=S^{1}\subset \mathbb {R^{2}} \cong \mathbb {C} }$  podemos ver que ${\displaystyle (S^{1}\ \{i\},\;\psi )}$  es carta para:

la proyección estereográfica ${\displaystyle {\begin{matrix}\psi :&{S^{1}\ \{i\}}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&z&\longmapsto &{x:={\frac {cos(arg(z))}{1-sen(arg(z))}}}\end{matrix}}}$ .

 

Caso particular en el que n=2

6) Si ${\displaystyle M=S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}}$  podemos ver que ${\displaystyle (S^{n}\ \{(0,\;\dots ,\;0,\;1)\},\;\phi )}$  es carta para:

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi :&{S^{n}\ \{(0,\;\dots ,\;0,\;1)\}}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} ^{n}\\&(x_{1},\;\dots ,\;x_{n+1})&\longmapsto &{\frac {(x_{1},\;\dots ,\;x_{n})}{1-x_{n+1}}}\end{matrix}}}$ .

Bibliografía

• William M. Boothby, An Introduction to Differenciable Manifolds and Riemannian Geometry, 2nd ed. San Diego: Academic Press, 1986.
• Carmo, M. do, Riemannian Geometry. Boston: Birkhäuser, 1993.
• Currás Bosch, C. Geometria diferencial: varietats diferenciables i varietats de Riemann. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 2003.
• Girbau, J. Geometria diferencial i relativitat. Bellaterra: Publicacions de la Universitat Autònoma de Barcelona,1993.
• Hicks, N. J. Notas sobre la geometría diferencial. Barcelona: Hispano Europea, 1973.
• Kobayashi, S., Nomizu, K. Foundations of Differential Geometry, vol. I. New York [etc.] : Interscience, 1963.
• Spivak, M. A. Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Boston [Mass.]: Publish or Perish, 1970-1975.

Volumen I,II,IV.

• Warner, F. W. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. New York : Springer, 1983.
• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer Graduate Texts in Mathematics 218.
• Roger Penrose: El camino de la realidad, Ed. Debate, Barcelona, 2006, p. 464, ISBN 84-8306-681-5.
• Spivak, Michael, Cálculo en variedades. Reverté (1988), ISBN 84-291-5142-7
• Spivak, Michael, A comprehensive introduction to differential geometry,volume I, Publish or Perish, Inc, Houston, Texas, 1999, ISBN 0-914098-87-X.

•   Datos: Q3828144