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Característica de Euler

En matemática y, en particular, en topología algebraica, la característica de Euler o característica de Euler-Poincaré es un invariante topológico, un número definido que sirve para describir la forma o la estructura de una clase de espacios topológicos. Es denotada generalmente por (la letra griega Ji). La característica de Euler fue definida en un principio solo para poliedros y sirvió para demostrar algunos teoremas como la clasificación de los sólidos platónicos. Su nombre se refiere a Leonhard Euler, que fue el responsable de los primeros resultados.

Característica de Euler en poliedros

La característica de Euler de un politopo de tres dimensiones (poliedro) se puede calcular usando la fórmula siguiente:

 

donde V, A y C son los números de vértices, de aristas y de caras, respectivamente. En particular, para cualquier poliedro homeomorfo a una esfera tenemos


 

Por ejemplo, para un cubo tenemos 6 + 8 - 12 = 2 y para un tetraedro tenemos 4 + 4 - 6= 2. La fórmula anterior también se llama la fórmula de Euler, que se puede demostrar por inducción matemática o mapeos sobre una esfera.

Otros ejemplos se pueden encontrar en la siguiente tabla

Nombre Imagen Vértices
V
Aristas
A
Caras
C
Característica de Euler:
VA + C
Tetraedro   4 6 4 2
Cubo   8 12 6 2
Octaedro   6 12 8 2
Dodecaedro   20 30 12 2
Icosaedro   12 30 20 2

Un poliedro que no sea homeomorfo a una esfera, como el Poliedro toroidal de la figura, que tiene 48 caras, 22 vértices y 70 aristas obtendremos 22 - 70 + 48 = 0.

 

Tabla con las característica de Euler de otros poliedros

Nombre Imagen Vértices
V
Aristas
A
Caras
C
Característica de Euler :
VA + C
Tetrahemihexaedro   6 12 7 1
Octahemioctaedro   12 24 12 0
Cubohemioctaedro   12 24 10 −2
Gran Icosaedro   12 30 20 2

Generalización a las superficies

 
Esfera triangulada a partir de un icosaedro.

Una superficie compacta como la esfera, el toro, el bi-toro, un disco con borde, etc. surgen de deformar de forma continua un poliedro. Por ejemplo, si deformamos un icosaedro hasta obtener una esfera las aristas se transformarán en curvas sobre la esfera, las caras serán "triángulos" y los vértices serán puntos sobre las mismas. Así la esfera quedará "triangulada" (Véase triangulación). Para definir la característica de una superficie se usaran estas triangulaciones realizando la fórmula análoga χ(S) = Triángulos - Lados + Vértices. En realidad las triangulaciones no deben ser hechas necesariamente con triángulos, sino con cualquier polígono, teniendo en cuenta que dos polígonos solo compartan una arista como máximo, y que, si comparten un lado, solo compartan los dos vértices de ese lado. Así la generalización de la característica de Euler para una superficie cerrada S es

 

La característica de Euler de superficies orientadas cerradas se relaciona con su género g, que es un número que describe la cantidad de «asas» que tiene la superficie. La relación es dada por:

 

Por ejemplo: El toro (la rosquilla) tiene una asa y por lo tanto  .

Definición general y propiedades

Para un CW-complejo finito y en particular para un complejo simplicial finito, la característica de Euler se puede definir como la suma alternada

 

donde ki denota el número de células de dimensión i.

Entonces, se puede definir la característica de Euler de una variedad como la característica de Euler de un complejo simplicial homeomorfo a él. Por ejemplo, el círculo y el toro tienen característica de Euler 0 y las bolas sólidas tienen característica de Euler 1.


La característica de Euler es independiente de la triangulación. La fórmula se puede también utilizar para las descomposiciones en polígonos arbitrarios.

Para las variedades cerradas, la característica de Euler coincide con el número de Euler, es decir, la clase de Euler de su fibrado tangente evaluado en la clase fundamental de la variedad.

Para las variedades de Riemann cerradas, la característica de Euler puede encontrarse también integrando la curvatura -- vea el teorema de Gauss-Bonnet para el caso de dos dimensiones y el teorema de Gauss-Bonnet generalizado para el caso general. Un análogo discreto del teorema de Gauss-Bonnet es el teorema de Descartes que el "defecto total" de un poliedro, medido en círculos completos, es la característica de Euler del poliedro; vea defecto (geometría).

Más generalmente aún, para cualquier espacio topológico, podemos definir el n-ésimo número de Betti bn como el rango del n-ésimo grupo de homología. La característica de Euler se puede entonces definir como la suma alternada

 

Esta definición tiene sentido si los números de Betti son todos finitos y cero más allá de cierto índice n0.

Dos espacios topológicos que son equivalentes homotópicos tienen grupos isomorfos de homología y por lo tanto la misma característica de Euler.

De esta definición y la dualidad de Poincaré, se sigue que la característica de Euler de cualquier variedad cerrada de dimensión impar es cero.

Si M y N son espacios topológicos, entonces la característica de Euler de su producto M × N es

 .

Conjunto parcialmente ordenado

El concepto de característica de Euler de un poset finito acotado es otra generalización, importante en combinatoria. Un poset es acotado si tiene elementos mínimos y máximos, que podemos llamar 0 y 1. La característica de Euler de tal poset es μ(0,1), donde μ es la función de Möbius en el álgebra de incidencia de ese poset.

Véase también

Referencias

Enlaces externos

  •   Datos: Q852973

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En matematica y en particular en topologia algebraica la caracteristica de Euler o caracteristica de Euler Poincare es un invariante topologico un numero definido que sirve para describir la forma o la estructura de una clase de espacios topologicos Es denotada generalmente por x displaystyle chi la letra griega Ji La caracteristica de Euler fue definida en un principio solo para poliedros y sirvio para demostrar algunos teoremas como la clasificacion de los solidos platonicos Su nombre se refiere a Leonhard Euler que fue el responsable de los primeros resultados Indice 1 Caracteristica de Euler en poliedros 2 Generalizacion a las superficies 3 Definicion general y propiedades 4 Conjunto parcialmente ordenado 5 Vease tambien 6 Referencias 7 Enlaces externosCaracteristica de Euler en poliedros EditarArticulo principal Teorema de Euler para poliedros La caracteristica de Euler de un politopo de tres dimensiones poliedro se puede calcular usando la formula siguiente x V A C displaystyle chi V A C donde V A y C son los numeros de vertices de aristas y de caras respectivamente En particular para cualquier poliedro homeomorfo a una esfera tenemos x V A C 2 displaystyle chi V A C 2 Por ejemplo para un cubo tenemos 6 8 12 2 y para un tetraedro tenemos 4 4 6 2 La formula anterior tambien se llama la formula de Euler que se puede demostrar por induccion matematica o mapeos sobre una esfera Otros ejemplos se pueden encontrar en la siguiente tabla Nombre Imagen VerticesV AristasA CarasC Caracteristica de Euler V A CTetraedro 4 6 4 2Cubo 8 12 6 2Octaedro 6 12 8 2Dodecaedro 20 30 12 2Icosaedro 12 30 20 2Un poliedro que no sea homeomorfo a una esfera como el Poliedro toroidal de la figura que tiene 48 caras 22 vertices y 70 aristas obtendremos 22 70 48 0 Tabla con las caracteristica de Euler de otros poliedros Nombre Imagen VerticesV AristasA CarasC Caracteristica de Euler V A CTetrahemihexaedro 6 12 7 1Octahemioctaedro 12 24 12 0Cubohemioctaedro 12 24 10 2Gran Icosaedro 12 30 20 2Generalizacion a las superficies Editar Esfera triangulada a partir de un icosaedro Una superficie compacta como la esfera el toro el bi toro un disco con borde etc surgen de deformar de forma continua un poliedro Por ejemplo si deformamos un icosaedro hasta obtener una esfera las aristas se transformaran en curvas sobre la esfera las caras seran triangulos y los vertices seran puntos sobre las mismas Asi la esfera quedara triangulada Vease triangulacion Para definir la caracteristica de una superficie se usaran estas triangulaciones realizando la formula analoga x S Triangulos Lados Vertices En realidad las triangulaciones no deben ser hechas necesariamente con triangulos sino con cualquier poligono teniendo en cuenta que dos poligonos solo compartan una arista como maximo y que si comparten un lado solo compartan los dos vertices de ese lado Asi la generalizacion de la caracteristica de Euler para una superficie cerrada S es x S Poligonos Lados Puntos displaystyle chi S mbox Poligonos Lados Puntos La caracteristica de Euler de superficies orientadas cerradas se relaciona con su genero g que es un numero que describe la cantidad de asas que tiene la superficie La relacion es dada por x S 2 2 g displaystyle chi S 2 2g Por ejemplo El toro la rosquilla tiene una asa y por lo tanto x 2 2 g 2 2 0 displaystyle chi 2 2g 2 2 0 Definicion general y propiedades EditarPara un CW complejo finito y en particular para un complejo simplicial finito la caracteristica de Euler se puede definir como la suma alternada x k 0 k 1 k 2 displaystyle chi k 0 k 1 k 2 cdots donde ki denota el numero de celulas de dimension i Entonces se puede definir la caracteristica de Euler de una variedad como la caracteristica de Euler de un complejo simplicial homeomorfo a el Por ejemplo el circulo y el toro tienen caracteristica de Euler 0 y las bolas solidas tienen caracteristica de Euler 1 La caracteristica de Euler es independiente de la triangulacion La formula se puede tambien utilizar para las descomposiciones en poligonos arbitrarios Para las variedades cerradas la caracteristica de Euler coincide con el numero de Euler es decir la clase de Euler de su fibrado tangente evaluado en la clase fundamental de la variedad Para las variedades de Riemann cerradas la caracteristica de Euler puede encontrarse tambien integrando la curvatura vea el teorema de Gauss Bonnet para el caso de dos dimensiones y el teorema de Gauss Bonnet generalizado para el caso general Un analogo discreto del teorema de Gauss Bonnet es el teorema de Descartes que el defecto total de un poliedro medido en circulos completos es la caracteristica de Euler del poliedro vea defecto geometria Mas generalmente aun para cualquier espacio topologico podemos definir el n esimo numero de Betti bn como el rango del n esimo grupo de homologia La caracteristica de Euler se puede entonces definir como la suma alternada x b 0 b 1 b 2 b 3 displaystyle chi b 0 b 1 b 2 b 3 cdots Esta definicion tiene sentido si los numeros de Betti son todos finitos y cero mas alla de cierto indice n0 Dos espacios topologicos que son equivalentes homotopicos tienen grupos isomorfos de homologia y por lo tanto la misma caracteristica de Euler De esta definicion y la dualidad de Poincare se sigue que la caracteristica de Euler de cualquier variedad cerrada de dimension impar es cero Si M y N son espacios topologicos entonces la caracteristica de Euler de su producto M N es x M N x M x N displaystyle chi M times N chi M cdot chi N Conjunto parcialmente ordenado EditarEl concepto de caracteristica de Euler de un poset finito acotado es otra generalizacion importante en combinatoria Un poset es acotado si tiene elementos minimos y maximos que podemos llamar 0 y 1 La caracteristica de Euler de tal poset es m 0 1 donde m es la funcion de Mobius en el algebra de incidencia de ese poset Vease tambien EditarTeorema de Euler para poliedros GeneroReferencias EditarEuler characteristic en Encyclopaedia of Mathematics en ingles Caracteristica de Euler in the Encyclopaedia of MathematicsEnlaces externos EditarWeisstein Eric W Euler characteristic En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Weisstein Eric W Polyhedral formula En Weisstein Eric W ed MathWorld en ingles Wolfram Research Datos Q852973Obtenido de https es wikipedia org w index php title Caracteristica de Euler amp oldid 125625708, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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