En topología un espacio topológico se dice que es conexo por arcos o arcoconexo si dos elementos cualesquiera pueden conectarse mediante una curva homeomorfa al intervalo unidad.
Definición
Sea un espacio topológico. Un arco en es un embebimiento, es decir, una aplicación continua que es un homeomorfismo restringida a su rango . Obviamente se puede sustituir por cualquier otro intervalo cerrado , ya que son todos homeomorfos.
Se dice que es un espacio conexo por arcos o arcoconexo si para cada par de puntos distintos , existe un arco tal que y .
Conexión por arcos y por caminos
Es obvio que todos los espacios conexos por arcos son conexos por caminos. El recíproco no es en general cierto. Como contraejemplo basta considerar la recta con dos orígenes: Tómense dos copias de la recta real, y . Definimos la recta con dos orígenes como el espacio cociente que se obtiene al identificar con si . Intuitivamente, este espacio es como la recta real, pero posee dos orígenes (las clases de equivalencia de y ) que son imposibles de separar. Luego este espacio no es de Hausdorff. Más aún, no existe ningún arco que una ambos orígenes. Por lo tanto no es arcoconexo, pero es sencillo comprobar que sí es conexo por caminos.
A pesar de que en general ambas nociones son distintas coinciden en una de las clases más importantes de espacios topológicos, los Hausdorff.
Datos:Q11679929
Enero 14, 2022
arco, conexo, topología, espacio, topológico, dice, conexo, arcos, arcoconexo, elementos, cualesquiera, pueden, conectarse, mediante, curva, homeomorfa, intervalo, unidad, definición, editarsea, displaystyle, mathcal, espacio, topológico, arco, displaystyle, e. En topologia un espacio topologico se dice que es conexo por arcos o arcoconexo si dos elementos cualesquiera pueden conectarse mediante una curva homeomorfa al intervalo unidad Definicion EditarSea X T displaystyle X mathcal T un espacio topologico Un arco en X displaystyle X es un embebimiento s 0 1 X displaystyle sigma 0 1 longrightarrow X es decir una aplicacion continua que es un homeomorfismo restringida a su rango s 0 1 s 0 1 displaystyle sigma 0 1 longrightarrow sigma 0 1 Obviamente se puede sustituir 0 1 displaystyle 0 1 por cualquier otro intervalo cerrado a b displaystyle a b ya que son todos homeomorfos Se dice que X T displaystyle X mathcal T es un espacio conexo por arcos o arcoconexo si para cada par de puntos distintos x y X displaystyle x y in X existe un arco s displaystyle sigma tal que s 0 x displaystyle sigma 0 x y s 1 y displaystyle sigma 1 y Conexion por arcos y por caminos EditarEs obvio que todos los espacios conexos por arcos son conexos por caminos El reciproco no es en general cierto Como contraejemplo basta considerar la recta con dos origenes Tomense dos copias de la recta real R 0 displaystyle mathbb R times 0 y R 1 displaystyle mathbb R times 1 Definimos la recta con dos origenes como el espacio cociente R displaystyle R que se obtiene al identificar t 0 displaystyle t 0 con t 1 displaystyle t 1 si t 0 displaystyle t neq 0 Intuitivamente este espacio es como la recta real pero posee dos origenes las clases de equivalencia de 0 0 displaystyle 0 0 y 0 1 displaystyle 0 1 que son imposibles de separar Luego este espacio no es de Hausdorff Mas aun no existe ningun arco que una ambos origenes Por lo tanto R displaystyle R no es arcoconexo pero es sencillo comprobar que si es conexo por caminos A pesar de que en general ambas nociones son distintas coinciden en una de las clases mas importantes de espacios topologicos los Hausdorff Datos Q11679929 Obtenido de https es wikipedia org w index php title Arco conexo amp oldid 122032152, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,
