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Análisis numérico

El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas encargada de diseñar algoritmos para simular aproximaciones de solución a problemas en análisis matemático. Se distingue del cómputo simbólico en que no manipula expresiones algebraicas, sino números.

Tablilla de arcilla babilónica YBC 7289 (c. 1800-1600 aC) con anotaciones. La aproximación de la raíz cuadrada de 2 son cuatro cifras sexagesimales , que son aproximadamente seis cifras decimales: 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1.41421296...[1]

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.

Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.

Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de números que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback). Esto proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida que va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando de la solución del problema.

Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el de la representación, tanto de los números como de otros conceptos matemáticos como los vectores, polinomios, etc. Por ejemplo, para la representación en ordenadores de números reales, se emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la matemática convencional.

En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos «exactos» o «analíticos» (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de estos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales.

Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales ordinarias aparecen en la mecánica celeste para la predicción de los movimientos de planetas, estrellas y galaxias; el álgebra lineal numérica es importante para el análisis de datos;[2][3][4]​ Las ecuaciones diferenciales estocásticass y las cadenas de Markovs son esenciales en la simulación de células vivas para la medicina y la biología.

Antes de la llegada de los ordenadores modernos, los métodos numéricos dependían a menudo de fórmulas de interpolación manuales aplicadas a los datos de grandes tablas impresas. Desde mediados del siglo XX, los ordenadores calculan las funciones necesarias en su lugar, pero muchas de las mismas fórmulas siguen utilizándose, no obstante, como parte de los algoritmos del software.[5]

El punto de vista numérico se remonta a los primeros escritos matemáticos. Una tablilla de la Colección Babilónica de Yale (YBC 7289), da una aproximación numérica sexagesimal de la raíz cuadrada de 2, la longitud de la diagonal en un cuadrado unitario.

El análisis numérico continúa esta larga tradición: en lugar de respuestas simbólicas exactas, que sólo pueden aplicarse a las mediciones del mundo real mediante la traducción a dígitos, da soluciones aproximadas dentro de límites de error especificados.

Introducción general

El objetivo general del campo del análisis numérico es el diseño y análisis de técnicas para dar soluciones aproximadas pero precisas a problemas difíciles, cuya variedad se sugiere en lo siguiente:

  • Los métodos numéricos avanzados son esenciales para hacer viable la predicción numérica del tiempo.
  • El cálculo de la trayectoria de una nave espacial requiere la solución numérica precisa de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.
  • Las empresas automovilísticas pueden mejorar la seguridad de sus vehículos mediante simulaciones por ordenador de accidentes de tráfico. Estas simulaciones consisten esencialmente en la resolución numérica de ecuaciones diferenciales parciales.
  • Los fondos de cobertura (fondos de inversión privados) utilizan herramientas de todos los campos del análisis numérico para intentar calcular el valor de las acciones y los derivados con mayor precisión que otros participantes en el mercado.
  • Las aerolíneas utilizan sofisticados algoritmos de optimización para decidir el precio de los billetes, la asignación de aviones y tripulaciones y las necesidades de combustible. Históricamente, estos algoritmos se han desarrollado en el campo de la investigación operativa.
  • Las compañías de seguros utilizan programas numéricos para el análisis actuarial.

El resto de esta sección esboza varios temas importantes del análisis numérico.

Historia

El campo del análisis numérico es anterior a la invención de los ordenadores modernos en muchos siglos. La interpolación lineal ya se utilizaba hace más de 2000 años. Muchos grandes matemáticos del pasado se preocuparon por el análisis numérico,[5]​ como se desprende de los nombres de importantes algoritmos como el método de Newton, el polinomio de interpolación de Lagrange, la eliminación gaussiana o el método de Euler.

Para facilitar los cálculos a mano, se produjeron grandes libros con fórmulas y tablas de datos como los puntos de interpolación y los coeficientes de las funciones. Con estas tablas, a menudo calculadas con 16 decimales o más para algunas funciones, se podían buscar valores para introducirlos en las fórmulas dadas y conseguir muy buenas estimaciones numéricas de algunas funciones. El trabajo canónico en este campo es la publicación del NIST editada por Abramowitz y Stegun, un libro de más de 1000 páginas con un gran número de fórmulas y funciones de uso común y sus valores en muchos puntos. Los valores de las funciones ya no son muy útiles cuando se dispone de un ordenador, pero el gran listado de fórmulas puede seguir siendo muy útil.

La calculadora mecánica también se desarrolló como herramienta de cálculo manual. Estas calculadoras evolucionaron hasta convertirse en ordenadores electrónicos en la década de 1940, y entonces se descubrió que estos ordenadores también eran útiles para fines administrativos. Pero la invención del ordenador también influyó en el campo del análisis numérico,[5]​ ya que ahora se podían hacer cálculos más largos y complicados.

Métodos directos e iterativos

Consideremos el problema de resolver

3x3 + 4 = 28

para la cantidad desconocida x.

Método directo
3x3 + 4 = 28.
Restar 4 3x3 = 24.
Dividir por 3 x3 =  8.
Hacer la raíz cúbica x =  2.

Para el método iterativo, apliquemos el método de bisección a f(x) = 3x3 − 24. Los valores iniciales son: a = 0, b = 3, f(a) = −24, f(b) = 57.

Método iterativo
a b mid f(mid)
0 3 1.5 −13.875
1.5 3 2.25 10.17...
1.5 2.25 1.875 −4.22...
1.875 2.25 2.0625 2.32...

De esta tabla se puede concluir que la solución está entre 1,875 y 2,0625. El algoritmo podría devolver cualquier número en ese rango con un error inferior a 0,2.

Discretización e integración numérica

 

En una carrera de dos horas, la velocidad del coche se mide en tres instantes y se registra en la siguiente tabla:

Tiempo 0:20 1:00 1:40
km/h 140 150 180

Una discretización sería decir que la velocidad del coche fue constante de 0:00 a 0:40, luego de 0:40 a 1:20 y finalmente de 1:20 a 2:00. Por ejemplo, la distancia total recorrida en los primeros 40 minutos es aproximadamente (2/3 h × 140 km / h ) = 93,3 kilómetros. Esto nos permitiría estimar la distancia total recorrida como 93,3 kilómetros +100 km +120 km =313,3 km, que es un ejemplo de integración numérica (véase más adelante) utilizando una suma de Riemann, porque el desplazamiento es la integral de la velocidad.

Problema mal condicionado: Tómese la función f(x) = 1/(x − 1). Téngase en cuenta que un cambio en x de menos de 0.1 se convierte en un cambio en f(1.1) = 10 y f(1.001) = 1000, de casi 1000. Evaluar f (x) cerca de x = 1 es un problema mal condicionado.

Problema bien condicionado: por el contrario, evaluar la misma función f(x) = 1/(x − 1) cerca de x = 10 es un problema bien condicionado. Por ejemplo, f(10) = 1/9 ≈ 0.111 y f(11) = 0.1, porlo que un cambio modesto en x conduce a un cambio modesto en f (x).

Los métodos directos calculan la solución de un problema en un número finito de pasos. Estos métodos darían la respuesta precisa si se realizaran en Aritmética de precisión infinita. Algunos ejemplos son la eliminación gaussiana, el método de factorización QR para resolver sistemas de ecuaciones lineales, y el método simplex de programación lineal. En la práctica, se utiliza precisión finita y el resultado es una aproximación de la solución verdadera (asumiendo estabilidad).

A diferencia de los métodos directos, no se espera que los métodos iterativos terminen en un número finito de pasos. Partiendo de una conjetura inicial, los métodos iterativos forman aproximaciones sucesivas que convergen a la solución exacta sólo en el límite. Se especifica una prueba de convergencia, que a menudo implica el residuo, para decidir cuándo se ha encontrado (con suerte) una solución suficientemente exacta. Incluso utilizando aritmética de precisión infinita, estos métodos no alcanzarían, en general, la solución en un número finito de pasos. Algunos ejemplos son el método de Newton, el método de bisección y el método de Jacobi. En el álgebra matricial computacional, los métodos iterativos son generalmente necesarios para problemas grandes.[6][7][8][9]

Los métodos iterativos son más comunes que los métodos directos en el análisis numérico. Algunos métodos son directos en principio, pero suelen utilizarse como si no lo fueran, por ejemplo, el GMRES y el método del gradiente conjugado. Para estos métodos el número de pasos necesarios para obtener la solución exacta es tan grande que se acepta una aproximación de la misma manera que para un método iterativo.

Problemas

Los problemas de esta disciplina se pueden dividir en dos grupos fundamentales:

  • Problemas de dimensión infinita: problemas en cuya solución o planteamiento intervienen elementos descritos por una cantidad infinita de números, como integración y derivación numéricas, cálculo de ecuaciones diferenciales, interpolación, etc.

Clasificación atendiendo a su naturaleza o motivación

Asimismo, existe una subclasificación de estos dos grandes apartados en tres categorías de problemas, atendiendo a su naturaleza o motivación para el empleo del cálculo numérico:

  • Problemas de tal complejidad que no poseen solución analítica.
  • Problemas en los cuales existe una solución analítica, pero ésta, por complejidad u otros motivos, no puede explotarse de forma sencilla en la práctica.
  • Problemas para los cuales existen métodos sencillos pero que, para elementos que se emplean en la práctica, requieren una cantidad de cálculos excesiva; mayor que la necesaria para un método numérico.

Áreas de estudio

El análisis numérico se divide en diferentes disciplinas de acuerdo con el problema que resolver.

Cálculo de los valores de una función

Uno de los problemas más sencillos es la evaluación de una función en un punto dado. Para polinomios, uno de los métodos más utilizados es el algoritmo de Horner, ya que reduce el número de operaciones a realizar. En general, es importante estimar y controlar los errores de redondeo que se producen por el uso de la aritmética de punto flotante.

La extrapolación es muy similar a la interpolación, excepto que ahora queremos encontrar el valor de la función desconocida en un punto que no está comprendido entre los puntos dados.

La regresión es también similar, pero tiene en cuenta que los datos son imprecisos. Dados algunos puntos, y una medida del valor de la función en los mismos (con un error debido a la medición), queremos determinar la función desconocida. El método de los mínimos cuadrados es una forma popular de conseguirlo.

Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones

Otro problema fundamental es calcular la solución de una ecuación o sistema de ecuaciones dado. Se distinguen dos casos dependiendo de si la ecuación o sistema de ecuaciones es o no lineal. Por ejemplo, la ecuación   es lineal mientras que la ecuación de segundo grado   no lo es.

Mucho esfuerzo se ha puesto en el desarrollo de métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Métodos directos, i.e., métodos que utilizan alguna factorización de la matriz son el método de eliminación de Gauss, la descomposición LU, la descomposición de Cholesky para matrices simétricas (o hermíticas) definidas positivas, y la descomposición QR. Métodos iterativos como el método de Jacobi, el método de Gauss-Seidel, el método de las aproximaciones sucesivas y el método del gradiente conjugado se utilizan frecuentemente para grandes sistemas.

En la resolución numérica de ecuaciones no lineales algunos de los métodos más conocidos son los métodos de bisección, de la secante y de la falsa posición. Si la función es además derivable y la derivada se conoce, el método de Newton es muy utilizado. Este método es un método de iteración de punto fijo. La linealización es otra técnica para resolver ecuaciones no lineales.

Las ecuaciones algebraicas polinomiales poseen una gran cantidad de métodos numéricos para enumerar :

  • Método de Gräeffe (o método de Lobachevsky o de Lobachevsky-Dandelin-Gräeffe o del cuadrado de las raíces)
  • Método de Laguerre
  • Método de Bairstow (o método de Lin-Bairstow)
  • Método de Bernoulli
  • Método de Horner
  • Método de Householder
  • Método de Newton-Raphson especializado para polinomios
  • Método de Richmond especializado para polinomios
  • Método modificado de Richmond
  • Método de Newton-Horner
  • Método de Richmond-Horner
  • Método de Birge-Biète
  • Método de Jenkins-Traub

Descomposición espectral y en valores singulares

Bastantes problemas importantes pueden ser expresados en términos de descomposición espectral (el cálculo de los vectores y valores propios de una matriz) o de descomposición en valores singulares. Por ejemplo, el análisis de componentes principales utiliza la descomposición en vectores y valores propios.

Optimización

Los problemas de optimización buscan el punto para el cual una función dada alcanza su máximo o mínimo. A menudo, el punto también satisface cierta restricción.

Ejemplos de, problemas de optimización son la programación lineal en que tanto la función objetivo como las restricciones son lineales. Un método famoso de programación lineal es el método simplex.

El método de los multiplicadores de Lagrange puede usarse para reducir los problemas de optimización con restricciones a problemas sin restricciones.

Evaluación de integrales

La integración numérica, también conocida como cuadratura numérica, busca calcular el valor de una integral definida. Métodos populares utilizan alguna de las fórmulas de Newton-Cotes (como la regla del rectángulo o la regla de Simpson) o de cuadratura gaussiana. Estos métodos se basan en una estrategia de «divide y vencerás», dividiendo el intervalo de integración en subintervalos y calculando la integral como la suma de las integrales en cada subintervalo, pudiéndose mejorar posteriormente el valor de la integral obtenido mediante el método de Romberg. Para el cálculo de integrales múltiples estos métodos requieren demasiado esfuerzo computacional, siendo útil el método de Monte Carlo.

Ecuaciones diferenciales

El análisis numérico también puede calcular soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales, bien ecuaciones diferenciales ordinarias, bien ecuaciones en derivadas parciales. Los métodos utilizados suelen basarse en discretizar la ecuación correspondiente. Es útil ver la derivación numérica.

Para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias los métodos más utilizados son el método de Euler y los métodos de Runge-Kutta.

Las ecuaciones en derivadas parciales se resuelven primero discretizando la ecuación, llevándola a un subespacio de dimensión finita. Esto puede hacerse mediante un método de los elementos finitos.

Fuentes de error y su impacto

Los algoritmos de los métodos numéricos suelen implementarse por medio de computadoras. Estas poseen algunas propiedades que causan fallas al emplearlas para hallar la solución numérica de problemas matemáticos, entre las que se encuentran las siguientes:[10]

  1. Las computadoras son capaces de almacenar un número finito de dígitos, por lo que no pueden almacenar el conjunto de los números reales en su totalidad para realizar operaciones numéricas con estos. En cambio, cuentan con un subconjunto de los números reales al cual se conoce como números de punto flotante o números de máquina. Al error al que conlleva esta limitante se le llama error de redondeo.
  2. Existen problemas que involucran muchos cálculos para su solución. En ocasiones, las soluciones son sensibles a la precisión de los cálculos intermedios, en cuyo caso se dice que las soluciones pueden haber sido perturbadas por los datos.
  3. A mayor número de operaciones realizadas se tendrá un error de redondeo mayor. La velocidad que proveen las computadoras para el procesamiento ha agilizado significativamente la rapidez con la que se calculan operaciones. Sin embargo, la propagación de errores de redondeo por los cálculos realizados por computadoras puede derivar en la inestabilidad de los resultados arrojados por los algoritmos programados en ellas.

Las fallas en los cálculos intermedios realizados por una computadora para arrojar un resultado final son, con frecuencia, desconocidos para los programadores y muy difíciles de detectar: la suma y el producto de números de punto flotante son operaciones conmutativas, pero no son asociativas y tampoco distributivas. Al no verificar estas dos propiedades de los números reales, el manejo de las operaciones realizadas con números de punto flotante resulta una tarea complicada. Por otra parte, el orden de las operaciones puede incidir en la precisión de los resultados devueltos por la máquina, pues dos expresiones equivalentes en un sentido algebraico pueden dar resultados distintos en el contexto de los números de máquina.

Afortunadamente, existen algunas técnicas para prevenir y atacar el error de redondeo. En[11]​ se discuten algunas de las implicaciones de estas estrategias para las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división. También en[11]​ se discuten algunos estándares de punto flotante de la IEEE y las conexiones entre el punto flotante y el diseño de sistemas computacionales.

El mejoramiento en la precisión de los números de punto flotante sigue siendo motivo de estudio en nuestros días. En 2015, investigadores de la Universidad de Washington desarrollaron una herramienta computacional a la que llamaron Herbie y que «detecta automáticamente las transformaciones necesarias para que un programa mejore su precisión».[12]Herbie evalúa el error de una expresión de punto flotante e identifica qué operaciones contribuyen de forma más significativa a la acumulación de errores, luego genera alternativas para realizar estas operaciones y hace un comparativo para finalmente determinar la expresión equivalente óptima (aquella que minimiza el error) para corregir el programa.

El interés en asegurar cierto nivel de precisión en los resultados numéricos provistos una computadora se debe a sus posibles repercusiones en la práctica. Por ejemplo, en el ámbito académico se han dado casos de artículos de investigación en los que el error de redondeo ha impedido que los resultados sean reproducibles y, en ocasiones, este ha sido incluso motivo de rechazo para su publicación ([13]​ y[14]​). Este tipo de error también ha permeado la regulación legal financiera de algunos países[12]​ y distorsionado índices del mercado bursátil.[15]

La limitante en la representación de números reales mediante el punto flotante también tiene repercusiones en las gráficas generadas por medio de una computadora. Cuando un número es menor a lo que se conoce como el épsilon de máquina, la computadora es incapaz de representarlo. Esto puede provocar que las gráficas asociadas a valores numéricos menores al épsilon presenten falsos comportamientos y afectar la toma de decisiones basadas en ellas, con consecuencias insospechadas, por ejemplo, al realizar pronósticos, área en la que la precisión juega un papel crucial.[16]

Existen otros tipos de error en el contexto de los métodos numéricos que merecen igual atención y cuidado. Errores de truncamiento y de conversión, entre otros, han dado origen a múltiples catástrofes: la falla del misil Patriot, la explosión del cohete Ariane 5, el hundimiento de la plataforma petrolera Sleipner son solo algunos ejemplos de ello.[17]​ De ahí la importancia de reconocer estas fuentes de error para anticiparse a ellas y, en su caso, detectarlas y corregirlas.

Otros temas de análisis numérico

Referencias

  1. . Archivado desde el original el 13 August 2012. Consultado el 2 October 2006. 
  2. Demmel, J. W. (1997). Applied numerical linear algebra. SIAM.
  3. Ciarlet, P. G., Miara, B., & Thomas, J. M. (1989). Introduction to numerical linear algebra and optimization. Cambridge University Press.
  4. Trefethen, Lloyd; Bau III, David (1997). Numerical Linear Algebra (1ª ed.). Philadelphia: SIAM.
  5. Brezinski, C., & Wuytack, L. (2012). Análisis numérico: Desarrollos históricos en el siglo XX. Elsevier.
  6. Saad, Y. (2003). Métodos iterativos para sistemas lineales dispersos. SIAM.
  7. Hageman, L. A., & Young, D. M. (2012). Métodos iterativos aplicados. Courier Corporation.
  8. Traub, J. F. (1982). Métodos iterativos para la solución de ecuaciones. American Mathematical Society.
  9. Greenbaum, A. (1997). Métodos iterativos para la resolución de sistemas lineales. SIAM.
  10. Forsythe, George E. (1 de enero de 1970). «Pitfalls in Computation, or why a Math Book isn't Enough». The American Mathematical Monthly 77 (9): 931-956. doi:10.2307/2318109. Consultado el 2 de marzo de 2016. 
  11. Goldberg, David (1 de marzo de 1991). «What Every Computer Scientist Should Know About Floating-point Arithmetic». ACM Comput. Surv. 23 (1): 5-48. ISSN 0360-0300. doi:10.1145/103162.103163. Consultado el 2 de marzo de 2016. 
  12. Panchekha, Pavel; Sanchez-Stern, Alex; Wilcox, James R.; Tatlock, Zachary (1 de enero de 2015). «Automatically Improving Accuracy for Floating Point Expressions». Proceedings of the 36th ACM SIGPLAN Conference on Programming Language Design and Implementation. PLDI 2015 (ACM): 1-11. ISBN 9781450334686. doi:10.1145/2737924.2737959. Consultado el 2 de marzo de 2016. 
  13. Altman, Micah; Gill, Jeff; McDonald, Michael P. (15 de febrero de 2004). Numerical Issues in Statistical Computing for the Social Scientist (en inglés). John Wiley & Sons. ISBN 9780471475743. Consultado el 2 de marzo de 2016. 
  14. Altman, Micah; McDonald, Michael P. (1 de agosto de 2003). «Replication with Attention to Numerical Accuracy». Political Analysis (en inglés) 11 (3): 302-307. ISSN 1047-1987. doi:10.1093/pan/mpg016. Consultado el 2 de marzo de 2016. 
  15. McCullough, B. D.; Vinod, H. D. (1 de enero de 1999). «The Numerical Reliability of Econometric Software». Journal of Economic Literature 37 (2): 633-665. Consultado el 2 de marzo de 2016. 
  16. McCullough, B. D. (2000). «Is it safe to assume that software is accurate?». International Journal of Forecasting 16 (3): 349-357. 
  17. «Computer Arithmetic Tragedies page of Kees Vuik». ta.twi.tudelft.nl. Consultado el 2 de marzo de 2016. 

Bibliografía

  • Golub, Gene H.; Charles F. Van Loan (1986). Matrix Computations (3rd edición). Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5413-X. 
  • Higham, Nicholas J. (1996). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 0-89871-355-2. (requiere registro). 
  • Hildebrand, F. B. (1974). Introduction to Numerical Analysis (2nd edición). McGraw-Hill. ISBN 0-07-028761-9. 
  • Leader, Jeffery J. (2004). Numerical Analysis and Scientific Computation. Addison Wesley. ISBN 0-201-73499-0. 
  • Wilkinson, J.H. (1965). The Algebraic Eigenvalue Problem. Clarendon Press. (requiere registro). 
  • Kahan, W. (1972). «A survey of error-analysis». Proc. IFIP Congress 71 in LjubljanaInfo. Processing 71 2 (Amsterdam: North-Holland Publishing): 1214-39.  (examples of the importance of accurate arithmetic).
  • Trefethen, Lloyd N. (2006). "Numerical analysis", 20 pages. In: Timothy Gowers and June Barrow-Green (editors), Princeton Companion of Mathematics, Princeton University Press.

Enlaces externos

En español

En inglés

  • wikibooks:Numerical Methods
  • Numerical analysis DMOZ category
  • Alternatives to Numerical Recipes

Publicaciones

  • gdz.sub.uni-goettingen, Numerische Mathematik, volumes 1-66, Springer, 1959-1994 (searchable; pages are images). Plantilla:In lang
  • Numerische Mathematik, volumes 1–112, Springer, 1959–2009
  • Journal on Numerical Analysis, volumes 1-47, SIAM, 1964–2009

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El analisis numerico o calculo numerico es la rama de las matematicas encargada de disenar algoritmos para simular aproximaciones de solucion a problemas en analisis matematico Se distingue del computo simbolico en que no manipula expresiones algebraicas sino numeros Tablilla de arcilla babilonica YBC 7289 c 1800 1600 aC con anotaciones La aproximacion de la raiz cuadrada de 2 son cuatro cifras sexagesimales que son aproximadamente seis cifras decimales 1 24 60 51 602 10 603 1 41421296 1 El analisis numerico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores Los ordenadores son utiles para calculos matematicos extremadamente complejos pero en ultima instancia operan con numeros binarios y operaciones matematicas simples Desde este punto de vista el analisis numerico proporcionara todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matematicos susceptibles de expresarse algoritmicamente basandose en algoritmos que permitan su simulacion o calculo en procesos mas sencillos empleando numeros Definido el error junto con el error admisible pasamos al concepto de estabilidad de los algoritmos Muchas de las operaciones matematicas pueden llevarse adelante a traves de la generacion de una serie de numeros que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo feedback Esto proporciona un poder de calculo y refinamiento importantisimo a la maquina que a medida que va completando un ciclo va llegando a la solucion El problema ocurre en determinar hasta cuando debera continuar con el ciclo o si nos estamos alejando de la solucion del problema Finalmente otro concepto paralelo al analisis numerico es el de la representacion tanto de los numeros como de otros conceptos matematicos como los vectores polinomios etc Por ejemplo para la representacion en ordenadores de numeros reales se emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la matematica convencional En general estos metodos se aplican cuando se necesita un valor numerico como solucion a un problema matematico y los procedimientos exactos o analiticos manipulaciones algebraicas teoria de ecuaciones diferenciales metodos de integracion etc son incapaces de dar una respuesta Debido a ello son procedimientos de uso frecuente por fisicos e ingenieros y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de estos de obtener soluciones aunque la precision no sea completa Debe recordarse que la fisica experimental por ejemplo nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoria de resultados experimentales obtenidos ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenomeno arrojen valores exactamente iguales Por ejemplo las ecuaciones diferenciales ordinarias aparecen en la mecanica celeste para la prediccion de los movimientos de planetas estrellas y galaxias el algebra lineal numerica es importante para el analisis de datos 2 3 4 Las ecuaciones diferenciales estocasticass y las cadenas de Markovs son esenciales en la simulacion de celulas vivas para la medicina y la biologia Antes de la llegada de los ordenadores modernos los metodos numericos dependian a menudo de formulas de interpolacion manuales aplicadas a los datos de grandes tablas impresas Desde mediados del siglo XX los ordenadores calculan las funciones necesarias en su lugar pero muchas de las mismas formulas siguen utilizandose no obstante como parte de los algoritmos del software 5 El punto de vista numerico se remonta a los primeros escritos matematicos Una tablilla de la Coleccion Babilonica de Yale YBC 7289 da una aproximacion numerica sexagesimal de la raiz cuadrada de 2 la longitud de la diagonal en un cuadrado unitario El analisis numerico continua esta larga tradicion en lugar de respuestas simbolicas exactas que solo pueden aplicarse a las mediciones del mundo real mediante la traduccion a digitos da soluciones aproximadas dentro de limites de error especificados Indice 1 Introduccion general 1 1 Historia 1 2 Metodos directos e iterativos 1 2 1 Discretizacion e integracion numerica 2 Problemas 2 1 Clasificacion atendiendo a su naturaleza o motivacion 3 Areas de estudio 3 1 Calculo de los valores de una funcion 3 2 Resolucion de ecuaciones y sistemas de ecuaciones 3 3 Descomposicion espectral y en valores singulares 3 4 Optimizacion 3 5 Evaluacion de integrales 3 6 Ecuaciones diferenciales 4 Fuentes de error y su impacto 5 Otros temas de analisis numerico 6 Referencias 7 Bibliografia 8 Enlaces externos 8 1 En espanol 8 2 En ingles 8 3 Publicaciones 8 4 Textos on line 8 5 Material del cursos on lineIntroduccion general EditarEl objetivo general del campo del analisis numerico es el diseno y analisis de tecnicas para dar soluciones aproximadas pero precisas a problemas dificiles cuya variedad se sugiere en lo siguiente Los metodos numericos avanzados son esenciales para hacer viable la prediccion numerica del tiempo El calculo de la trayectoria de una nave espacial requiere la solucion numerica precisa de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias Las empresas automovilisticas pueden mejorar la seguridad de sus vehiculos mediante simulaciones por ordenador de accidentes de trafico Estas simulaciones consisten esencialmente en la resolucion numerica de ecuaciones diferenciales parciales Los fondos de cobertura fondos de inversion privados utilizan herramientas de todos los campos del analisis numerico para intentar calcular el valor de las acciones y los derivados con mayor precision que otros participantes en el mercado Las aerolineas utilizan sofisticados algoritmos de optimizacion para decidir el precio de los billetes la asignacion de aviones y tripulaciones y las necesidades de combustible Historicamente estos algoritmos se han desarrollado en el campo de la investigacion operativa Las companias de seguros utilizan programas numericos para el analisis actuarial El resto de esta seccion esboza varios temas importantes del analisis numerico Historia Editar El campo del analisis numerico es anterior a la invencion de los ordenadores modernos en muchos siglos La interpolacion lineal ya se utilizaba hace mas de 2000 anos Muchos grandes matematicos del pasado se preocuparon por el analisis numerico 5 como se desprende de los nombres de importantes algoritmos como el metodo de Newton el polinomio de interpolacion de Lagrange la eliminacion gaussiana o el metodo de Euler Para facilitar los calculos a mano se produjeron grandes libros con formulas y tablas de datos como los puntos de interpolacion y los coeficientes de las funciones Con estas tablas a menudo calculadas con 16 decimales o mas para algunas funciones se podian buscar valores para introducirlos en las formulas dadas y conseguir muy buenas estimaciones numericas de algunas funciones El trabajo canonico en este campo es la publicacion del NIST editada por Abramowitz y Stegun un libro de mas de 1000 paginas con un gran numero de formulas y funciones de uso comun y sus valores en muchos puntos Los valores de las funciones ya no son muy utiles cuando se dispone de un ordenador pero el gran listado de formulas puede seguir siendo muy util La calculadora mecanica tambien se desarrollo como herramienta de calculo manual Estas calculadoras evolucionaron hasta convertirse en ordenadores electronicos en la decada de 1940 y entonces se descubrio que estos ordenadores tambien eran utiles para fines administrativos Pero la invencion del ordenador tambien influyo en el campo del analisis numerico 5 ya que ahora se podian hacer calculos mas largos y complicados Metodos directos e iterativos Editar Consideremos el problema de resolver 3x3 4 28para la cantidad desconocida x Metodo directo 3x3 4 28 Restar 4 3x3 24 Dividir por 3 x3 8 Hacer la raiz cubica x 2 Para el metodo iterativo apliquemos el metodo de biseccion a f x 3x3 24 Los valores iniciales son a 0 b 3 f a 24 f b 57 Metodo iterativo a b mid f mid 0 3 1 5 13 8751 5 3 2 25 10 17 1 5 2 25 1 875 4 22 1 875 2 25 2 0625 2 32 De esta tabla se puede concluir que la solucion esta entre 1 875 y 2 0625 El algoritmo podria devolver cualquier numero en ese rango con un error inferior a 0 2 Discretizacion e integracion numerica Editar En una carrera de dos horas la velocidad del coche se mide en tres instantes y se registra en la siguiente tabla Tiempo 0 20 1 00 1 40km h 140 150 180Una discretizacion seria decir que la velocidad del coche fue constante de 0 00 a 0 40 luego de 0 40 a 1 20 y finalmente de 1 20 a 2 00 Por ejemplo la distancia total recorrida en los primeros 40 minutos es aproximadamente 2 3 h 140 km h 93 3 kilometros Esto nos permitiria estimar la distancia total recorrida como 93 3 kilometros 100 km 120 km 313 3 km que es un ejemplo de integracion numerica vease mas adelante utilizando una suma de Riemann porque el desplazamiento es la integral de la velocidad Problema mal condicionado Tomese la funcion f x 1 x 1 Tengase en cuenta que un cambio en x de menos de 0 1 se convierte en un cambio en f 1 1 10 y f 1 001 1000 de casi 1000 Evaluar f x cerca de x 1 es un problema mal condicionado Problema bien condicionado por el contrario evaluar la misma funcion f x 1 x 1 cerca de x 10 es un problema bien condicionado Por ejemplo f 10 1 9 0 111 y f 11 0 1 porlo que un cambio modesto en x conduce a un cambio modesto en f x Los metodos directos calculan la solucion de un problema en un numero finito de pasos Estos metodos darian la respuesta precisa si se realizaran en Aritmetica de precision infinita Algunos ejemplos son la eliminacion gaussiana el metodo de factorizacion QR para resolver sistemas de ecuaciones lineales y el metodo simplex de programacion lineal En la practica se utiliza precision finita y el resultado es una aproximacion de la solucion verdadera asumiendo estabilidad A diferencia de los metodos directos no se espera que los metodos iterativos terminen en un numero finito de pasos Partiendo de una conjetura inicial los metodos iterativos forman aproximaciones sucesivas que convergen a la solucion exacta solo en el limite Se especifica una prueba de convergencia que a menudo implica el residuo para decidir cuando se ha encontrado con suerte una solucion suficientemente exacta Incluso utilizando aritmetica de precision infinita estos metodos no alcanzarian en general la solucion en un numero finito de pasos Algunos ejemplos son el metodo de Newton el metodo de biseccion y el metodo de Jacobi En el algebra matricial computacional los metodos iterativos son generalmente necesarios para problemas grandes 6 7 8 9 Los metodos iterativos son mas comunes que los metodos directos en el analisis numerico Algunos metodos son directos en principio pero suelen utilizarse como si no lo fueran por ejemplo el GMRES y el metodo del gradiente conjugado Para estos metodos el numero de pasos necesarios para obtener la solucion exacta es tan grande que se acepta una aproximacion de la misma manera que para un metodo iterativo Problemas EditarLos problemas de esta disciplina se pueden dividir en dos grupos fundamentales Problemas de dimension finita aquellos cuya respuesta son un conjunto finito de numeros como las ecuaciones algebraicas los determinantes los problemas de valores propios etc Problemas de dimension infinita problemas en cuya solucion o planteamiento intervienen elementos descritos por una cantidad infinita de numeros como integracion y derivacion numericas calculo de ecuaciones diferenciales interpolacion etc Clasificacion atendiendo a su naturaleza o motivacion Editar Asimismo existe una subclasificacion de estos dos grandes apartados en tres categorias de problemas atendiendo a su naturaleza o motivacion para el empleo del calculo numerico Problemas de tal complejidad que no poseen solucion analitica Problemas en los cuales existe una solucion analitica pero esta por complejidad u otros motivos no puede explotarse de forma sencilla en la practica Problemas para los cuales existen metodos sencillos pero que para elementos que se emplean en la practica requieren una cantidad de calculos excesiva mayor que la necesaria para un metodo numerico Areas de estudio EditarEl analisis numerico se divide en diferentes disciplinas de acuerdo con el problema que resolver Calculo de los valores de una funcion Editar Uno de los problemas mas sencillos es la evaluacion de una funcion en un punto dado Para polinomios uno de los metodos mas utilizados es el algoritmo de Horner ya que reduce el numero de operaciones a realizar En general es importante estimar y controlar los errores de redondeo que se producen por el uso de la aritmetica de punto flotante La extrapolacion es muy similar a la interpolacion excepto que ahora queremos encontrar el valor de la funcion desconocida en un punto que no esta comprendido entre los puntos dados La regresion es tambien similar pero tiene en cuenta que los datos son imprecisos Dados algunos puntos y una medida del valor de la funcion en los mismos con un error debido a la medicion queremos determinar la funcion desconocida El metodo de los minimos cuadrados es una forma popular de conseguirlo Resolucion de ecuaciones y sistemas de ecuaciones Editar Otro problema fundamental es calcular la solucion de una ecuacion o sistema de ecuaciones dado Se distinguen dos casos dependiendo de si la ecuacion o sistema de ecuaciones es o no lineal Por ejemplo la ecuacion 2 x 5 3 displaystyle 2x 5 3 es lineal mientras que la ecuacion de segundo grado 2 x 2 5 3 displaystyle 2x 2 5 3 no lo es Mucho esfuerzo se ha puesto en el desarrollo de metodos para la resolucion de sistemas de ecuaciones lineales Metodos directos i e metodos que utilizan alguna factorizacion de la matriz son el metodo de eliminacion de Gauss la descomposicion LU la descomposicion de Cholesky para matrices simetricas o hermiticas definidas positivas y la descomposicion QR Metodos iterativos como el metodo de Jacobi el metodo de Gauss Seidel el metodo de las aproximaciones sucesivas y el metodo del gradiente conjugado se utilizan frecuentemente para grandes sistemas En la resolucion numerica de ecuaciones no lineales algunos de los metodos mas conocidos son los metodos de biseccion de la secante y de la falsa posicion Si la funcion es ademas derivable y la derivada se conoce el metodo de Newton es muy utilizado Este metodo es un metodo de iteracion de punto fijo La linealizacion es otra tecnica para resolver ecuaciones no lineales Las ecuaciones algebraicas polinomiales poseen una gran cantidad de metodos numericos para enumerar Metodo de Graeffe o metodo de Lobachevsky o de Lobachevsky Dandelin Graeffe o del cuadrado de las raices Metodo de LaguerreMetodo de Bairstow o metodo de Lin Bairstow Metodo de BernoulliMetodo de HornerMetodo de HouseholderMetodo de Newton Raphson especializado para polinomiosMetodo de Richmond especializado para polinomiosMetodo modificado de RichmondMetodo de Newton HornerMetodo de Richmond HornerMetodo de Birge BieteMetodo de Jenkins TraubDescomposicion espectral y en valores singulares Editar Bastantes problemas importantes pueden ser expresados en terminos de descomposicion espectral el calculo de los vectores y valores propios de una matriz o de descomposicion en valores singulares Por ejemplo el analisis de componentes principales utiliza la descomposicion en vectores y valores propios Optimizacion Editar Articulo principal Optimizacion matematica Los problemas de optimizacion buscan el punto para el cual una funcion dada alcanza su maximo o minimo A menudo el punto tambien satisface cierta restriccion Ejemplos de problemas de optimizacion son la programacion lineal en que tanto la funcion objetivo como las restricciones son lineales Un metodo famoso de programacion lineal es el metodo simplex El metodo de los multiplicadores de Lagrange puede usarse para reducir los problemas de optimizacion con restricciones a problemas sin restricciones Evaluacion de integrales Editar Articulo principal Integracion numerica La integracion numerica tambien conocida como cuadratura numerica busca calcular el valor de una integral definida Metodos populares utilizan alguna de las formulas de Newton Cotes como la regla del rectangulo o la regla de Simpson o de cuadratura gaussiana Estos metodos se basan en una estrategia de divide y venceras dividiendo el intervalo de integracion en subintervalos y calculando la integral como la suma de las integrales en cada subintervalo pudiendose mejorar posteriormente el valor de la integral obtenido mediante el metodo de Romberg Para el calculo de integrales multiples estos metodos requieren demasiado esfuerzo computacional siendo util el metodo de Monte Carlo Ecuaciones diferenciales Editar El analisis numerico tambien puede calcular soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales bien ecuaciones diferenciales ordinarias bien ecuaciones en derivadas parciales Los metodos utilizados suelen basarse en discretizar la ecuacion correspondiente Es util ver la derivacion numerica Para la resolucion de ecuaciones diferenciales ordinarias los metodos mas utilizados son el metodo de Euler y los metodos de Runge Kutta Las ecuaciones en derivadas parciales se resuelven primero discretizando la ecuacion llevandola a un subespacio de dimension finita Esto puede hacerse mediante un metodo de los elementos finitos Fuentes de error y su impacto EditarLos algoritmos de los metodos numericos suelen implementarse por medio de computadoras Estas poseen algunas propiedades que causan fallas al emplearlas para hallar la solucion numerica de problemas matematicos entre las que se encuentran las siguientes 10 Las computadoras son capaces de almacenar un numero finito de digitos por lo que no pueden almacenar el conjunto de los numeros reales en su totalidad para realizar operaciones numericas con estos En cambio cuentan con un subconjunto de los numeros reales al cual se conoce como numeros de punto flotante o numeros de maquina Al error al que conlleva esta limitante se le llama error de redondeo Existen problemas que involucran muchos calculos para su solucion En ocasiones las soluciones son sensibles a la precision de los calculos intermedios en cuyo caso se dice que las soluciones pueden haber sido perturbadas por los datos A mayor numero de operaciones realizadas se tendra un error de redondeo mayor La velocidad que proveen las computadoras para el procesamiento ha agilizado significativamente la rapidez con la que se calculan operaciones Sin embargo la propagacion de errores de redondeo por los calculos realizados por computadoras puede derivar en la inestabilidad de los resultados arrojados por los algoritmos programados en ellas Las fallas en los calculos intermedios realizados por una computadora para arrojar un resultado final son con frecuencia desconocidos para los programadores y muy dificiles de detectar la suma y el producto de numeros de punto flotante son operaciones conmutativas pero no son asociativas y tampoco distributivas Al no verificar estas dos propiedades de los numeros reales el manejo de las operaciones realizadas con numeros de punto flotante resulta una tarea complicada Por otra parte el orden de las operaciones puede incidir en la precision de los resultados devueltos por la maquina pues dos expresiones equivalentes en un sentido algebraico pueden dar resultados distintos en el contexto de los numeros de maquina Afortunadamente existen algunas tecnicas para prevenir y atacar el error de redondeo En 11 se discuten algunas de las implicaciones de estas estrategias para las operaciones basicas de suma resta multiplicacion y division Tambien en 11 se discuten algunos estandares de punto flotante de la IEEE y las conexiones entre el punto flotante y el diseno de sistemas computacionales El mejoramiento en la precision de los numeros de punto flotante sigue siendo motivo de estudio en nuestros dias En 2015 investigadores de la Universidad de Washington desarrollaron una herramienta computacional a la que llamaron Herbie y que detecta automaticamente las transformaciones necesarias para que un programa mejore su precision 12 Herbie evalua el error de una expresion de punto flotante e identifica que operaciones contribuyen de forma mas significativa a la acumulacion de errores luego genera alternativas para realizar estas operaciones y hace un comparativo para finalmente determinar la expresion equivalente optima aquella que minimiza el error para corregir el programa El interes en asegurar cierto nivel de precision en los resultados numericos provistos una computadora se debe a sus posibles repercusiones en la practica Por ejemplo en el ambito academico se han dado casos de articulos de investigacion en los que el error de redondeo ha impedido que los resultados sean reproducibles y en ocasiones este ha sido incluso motivo de rechazo para su publicacion 13 y 14 Este tipo de error tambien ha permeado la regulacion legal financiera de algunos paises 12 y distorsionado indices del mercado bursatil 15 La limitante en la representacion de numeros reales mediante el punto flotante tambien tiene repercusiones en las graficas generadas por medio de una computadora Cuando un numero es menor a lo que se conoce como el epsilon de maquina la computadora es incapaz de representarlo Esto puede provocar que las graficas asociadas a valores numericos menores al epsilon presenten falsos comportamientos y afectar la toma de decisiones basadas en ellas con consecuencias insospechadas por ejemplo al realizar pronosticos area en la que la precision juega un papel crucial 16 Existen otros tipos de error en el contexto de los metodos numericos que merecen igual atencion y cuidado Errores de truncamiento y de conversion entre otros han dado origen a multiples catastrofes la falla del misil Patriot la explosion del cohete Ariane 5 el hundimiento de la plataforma petrolera Sleipner son solo algunos ejemplos de ello 17 De ahi la importancia de reconocer estas fuentes de error para anticiparse a ellas y en su caso detectarlas y corregirlas Otros temas de analisis numerico Editarerror de aproximacion error absoluto y error relativo orden de convergencia redondeo sistema de numeracion truncamientoReferencias Editar Photograph illustration and description of the root 2 tablet from the Yale Babylonian Collection Archivado desde el original el 13 August 2012 Consultado el 2 October 2006 Demmel J W 1997 Applied numerical linear algebra SIAM Ciarlet P G Miara B amp Thomas J M 1989 Introduction to numerical linear algebra and optimization Cambridge University Press Trefethen Lloyd Bau III David 1997 Numerical Linear Algebra 1ª ed Philadelphia SIAM a b c Brezinski C amp Wuytack L 2012 Analisis numerico Desarrollos historicos en el siglo XX Elsevier Saad Y 2003 Metodos iterativos para sistemas lineales dispersos SIAM Hageman L A amp Young D M 2012 Metodos iterativos aplicados Courier Corporation Traub J F 1982 Metodos iterativos para la solucion de ecuaciones American Mathematical Society Greenbaum A 1997 Metodos iterativos para la resolucion de sistemas lineales SIAM Forsythe George E 1 de enero de 1970 Pitfalls in Computation or why a Math Book isn t Enough The American Mathematical Monthly 77 9 931 956 doi 10 2307 2318109 Consultado el 2 de marzo de 2016 a b Goldberg David 1 de marzo de 1991 What Every Computer Scientist Should Know About Floating point Arithmetic ACM Comput Surv 23 1 5 48 ISSN 0360 0300 doi 10 1145 103162 103163 Consultado el 2 de marzo de 2016 a b Panchekha Pavel Sanchez Stern Alex Wilcox James R Tatlock Zachary 1 de enero de 2015 Automatically Improving Accuracy for Floating Point Expressions Proceedings of the 36th ACM SIGPLAN Conference on Programming Language Design and Implementation PLDI 2015 ACM 1 11 ISBN 9781450334686 doi 10 1145 2737924 2737959 Consultado el 2 de marzo de 2016 Altman Micah Gill Jeff McDonald Michael P 15 de febrero de 2004 Numerical Issues in Statistical Computing for the Social Scientist en ingles John Wiley amp Sons ISBN 9780471475743 Consultado el 2 de marzo de 2016 Altman Micah McDonald Michael P 1 de agosto de 2003 Replication with Attention to Numerical Accuracy Political Analysis en ingles 11 3 302 307 ISSN 1047 1987 doi 10 1093 pan mpg016 Consultado el 2 de marzo de 2016 McCullough B D Vinod H D 1 de enero de 1999 The Numerical Reliability of Econometric Software Journal of Economic Literature 37 2 633 665 Consultado el 2 de marzo de 2016 McCullough B D 2000 Is it safe to assume that software is accurate International Journal of Forecasting 16 3 349 357 Computer Arithmetic Tragedies page of Kees Vuik ta twi tudelft nl Consultado el 2 de marzo de 2016 Bibliografia EditarGolub Gene H Charles F Van Loan 1986 Matrix Computations 3rd edicion Johns Hopkins University Press ISBN 0 8018 5413 X Higham Nicholas J 1996 Accuracy and Stability of Numerical Algorithms Society for Industrial and Applied Mathematics ISBN 0 89871 355 2 requiere registro Hildebrand F B 1974 Introduction to Numerical Analysis 2nd edicion McGraw Hill ISBN 0 07 028761 9 Leader Jeffery J 2004 Numerical Analysis and Scientific Computation Addison Wesley ISBN 0 201 73499 0 Wilkinson J H 1965 The Algebraic Eigenvalue Problem Clarendon Press requiere registro Kahan W 1972 A survey of error analysis Proc IFIP Congress 71 in LjubljanaInfo Processing 71 2 Amsterdam North Holland Publishing 1214 39 examples of the importance of accurate arithmetic Trefethen Lloyd N 2006 Numerical analysis 20 pages In Timothy Gowers and June Barrow Green editors Princeton Companion of Mathematics Princeton University Press Enlaces externos Editar Wikimedia Commons alberga una categoria multimedia sobre Analisis numerico En espanol Editar Articulo sobre analisis numerico en la Enciclopedia libre universal en espanol http docencia udea edu co ingenieria analisis numerico http mat21 etsii upm es matesp index htm Archivado el 19 de noviembre de 2005 en Wayback Machine Grupo de metodos numericos en ingenieria ETS Ingenieros de Caminos de la Universidad de La 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Library of Mathematical FunctionsMaterial del cursos on line Editar Numerical Methods enlace roto disponible en este archivo Stuart Dalziel University of Cambridge Lectures on Numerical Analysis Dennis Deturck and Herbert S Wilf University of Pennsylvania Numerical methods John D Fenton University of Karlsruhe Numerical Methods for Physicists Anthony O Hare Oxford University Lectures in Numerical Analysis archived R Radok Mahidol University Introduction to Numerical Analysis for Engineering Henrik Schmidt Massachusetts Institute of Technology Numerical Analysis for Engineering D W Harder University of Waterloo Datos Q11216 Multimedia Numerical analysis Obtenido de https es wikipedia org w index php title Analisis numerico amp oldid 139157492, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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