En matemáticas, más específicamente en (álgebra abstracta), un *-álgebra (o álgebra involutiva) es una estructura matemática que consta de dos anillos involutivos y , donde es conmutativo y tiene la estructura de un (álgebra asociativa) sobre . Las álgebras involutivas generalizan la idea de la conjugación en un sistema numérico, por ejemplo los números complejos y (conjugación compleja), (matrices) sobre los (números complejos) y la (conjugada traspuesta), y (operadores lineales) sobre un (espacio de Hilbert) y el (Operador adjunto). Aun así, puede pasar que una álgebra no admite ninguna (involución) en absoluto.
Definición
*-Anillo
Un *-anillo es un (anillo) con una función , el cual es un antiautomorphism y una involución. De una forma más precisa, dados se cumplen las condiciones[1]
- Linealidad: .
- Contravariante: .
- Idempotencia: .
Esto también puede ser llamado como anillo involutivo o anillo con involución. Note que si el anillo tiene unidad multiplicativa, digamos , entonces .
Elementos tales que son llamados auto-adjuntos.[2]
También, es posible definir *-versiones de objetos algebraicos, como (ideales) y (subanillos), con el requisito de ser *-invariante, por ejemplo si es un ideal y entonces si diremos que es un *-ideal.
*-Álgebra
Una *-álgebra es un *-anillo, con una involución * que es una (álgebra asociativa) sobre un *-anillo conmutativo con involución , tal que para todo y . A menudo el anillo corresponde a los números complejos (con como conjugación compleja).
Sigue de los axiomas que * en es antilineal en , es decir,
para todo
Un *-homomorfismo es un homomorfismo de *-álgeras que es compatible con las involuciones de y , es decir, para todo (donde y son las involuciones de y respectivamente).[2]
- El ejemplo más familiar de un *-anillo y una *-álgebra sobre los reales , es el cuerpo de los números complejos dónde * es la (conjugación compleja).
- Una (extensión de cuerpos) hecha al adjuntar una (raíz cuadrada) (como la (unidad imaginaria) ) es una *-álgebra sobre el cuerpo original, considerado como un *-anillo trivial (involucón trivial). La involución * corresponde al cambio de signo de aquella raíz cuadrada.
- (Cuaterniones), (números complejos hiperbólicos) y (números duales). Note que ninguno de estos ejemplos es una álgebra compleja.
- (Los cuaterniones de Hurwitz) forman un *-anillo conmutativo.
- El álgebra de matrices , donde * corresponde a la (transposición).
- El álgebra de matrices , donde * corresponde a la (traspuesta conjugada).
- En el álgebra de los (operadores lineales acotados) sobre un espacio de Hilbert , la operación * corresponde al (operador adjunto).
Álgebras sin involución
No toda álgebra admite una involución (no trivial). Considerando las (matrices) 2×2 sobre los números complejos ,podemos tomar la siguiente subalgebra:
Cualquier antiautomorfismo no trivial necesariamente tiene la forma:
para cualquier número complejo . Luego podemos ver que este antiautomorfismo falla en ser idempotente (esto es, ):
de este modo concluimos que no admite involución alguna.
Véase también
- (C*-álgebra)
- (Álgebra de von Neumann)
- (Álgebra de operadores)
- (Conjugación (Álgebra))
- (Construcción de Cayley-Dickson)
Referencias
- (Weisstein, Eric W.) (2015). «C-Star Algebra». Wolfram MathWorld.
- (Baez, John) (2015). «Octonions». Department of Mathematics. University of California, Riverside. Archivado desde el original el 25 de marzo de 2015. Consultado el 27 de enero de 2015.
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