Árbol de Pitágoras

El Árbol de Pitágoras es un plano fractal construido a partir de cuadrados inventado por el profesor Albert E. Bosman en 1942. Lleva el nombre del matemático griego llamado Pitágoras ya que en cada unión de 3 cuadrados se forma un triángulo rectángulo en una configuración tradicional utilizado para representar el teorema de Pitágoras. Si el cuadrado más grande tiene un tamaño de L x L, todo el árbol de Pitágoras encajará perfectamente dentro de una caja del tamaño de 6L × 4L.^[1]​^[2]​ Los detalles más finos de los árboles se asemejan a la curva de Lévy C.

El Árbol de Pitágoras.

Construcción

La construcción del árbol de Pitágoras comienza con un cuadrado. Sobre esta plaza se construyen dos cuadrados, cada uno reducido por un factor lineal de ½√2 de tal manera que las esquinas de las plazas coinciden dos a dos. Este mismo procedimiento se aplica de forma recursiva para las dos plazas más pequeñas, hasta el infinito. La siguiente imagen muestra las primeras iteraciones en el proceso de construcción.^[1]​^[2]​

Order 0	Order 1	Order 2	Order 3

El límite de esta sucesión de conjuntos existe^[3]​ y es el fractal llamado árbol de Pitágoras.

Área

La iteración n en la construcción suma 2ⁿ cuadrados de tamaño (½√2)ⁿ para un área total de 1. Así el área de del árbol puede parecer que crece sin límite en el límite n→∞. Sin embargo, algunos de los cuadrados se superponen a partir de la orden de iteración 5, y el árbol en realidad tiene un área finita, ya que encaja dentro de una caja de 6 x 4.^[1]​

Se puede demostrar fácilmente que el área A del árbol de Pitágoras debe estar en el rango de 5 <A <18, que puede ser reducido aún más con un esfuerzo adicional. Poco se sabe acerca el valor real de A.

Propiedades

• El número total de cuadrados en el paso ${\displaystyle n}$  es ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}2^{k}}$ .
• Presenta autosimilitud exacta.
• Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es 2.^[4]​
• Se puede generar mediante el sistema de funciones iteradas no contractivo formado por las siguientes funciones:^[5]​

${\displaystyle f_{1}(x,y)=(x,y)}$ 

${\displaystyle f_{2}(x,y)={\frac {1}{2}}(x-y,x+y)+(0,1)}$ 

${\displaystyle f_{3}(x,y)={\frac {1}{2}}(x+y,-x+y)+\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}}\right)}$ 

• Si se elimina la primera función del sistema de funciones iteradas, se tiene un sistema contractivo que genera un fractal parecido a la curva C de Lévy:

Ramas finales del árbol de Pitágoras.

Variantes

Si se cambian los ángulos que forman los cuadrados (y, por tanto, sus tamaños), se obtienen otros árboles fractales. Por ejemplo, con ángulos de 60 y 30 grados y 9 iteraciones se tiene el siguiente árbol (en este ejemplo, el conjunto inicial es el borde de un cuadrado):

Para los ángulos ${\displaystyle \alpha }$  y ${\displaystyle 90^{\circ }-\alpha }$ , la razón de contracción de los cuadrados ha de ser ${\displaystyle cos(\alpha )}$  y ${\displaystyle sin(\alpha )}$ , respectivamente.^[4]​

Historia

El Árbol de Pitágoras se construyó por primera vez por el profesor de matemáticas Albert E. Bosman (1891-1961), en Holanda en 1942.^[6]​^[1]​

Uso

Es posible que el árbol de Pitágoras sería muy útil para antenas fractales con ajustes menores. Esta suposición se basa en la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.

Véase también

• Anexo:Fractales por dimensión de Hausdorff

Referencias

1. Bosman, Albert E. «De boom van Pythagoras». De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs (en holandés). Consultado el 10 de marzo de 2012. 
2. Pourahmadazar, J.; Ghobadi, C.; Nourinia, J. (2011). Novel Modified Pythagorean Tree Fractal Monopole Antennas for UWB Applications. New York: IEEE. doi:10.1109/LAWP.2011.2154354. 
3. Riddle, Lawrence H. «Hausdorff convergence for Pythagorean tree» (en inglés). Consultado el 29 de marzo de 2019. 
4. «Árbol de Pitágoras». Consultado el 29 de marzo de 2019. 
5. Llopis, José L. «Fractales autosemejantes». Consultado el 29 de marzo de 2019. 
6. (en holandés). Archivado desde el original el 18 de enero de 2009. Consultado el 10 de marzo de 2012. 

Enlaces externos

•   Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Árbol de Pitágoras.

•   Datos: Q1324910
•   Multimedia: Pythagoras trees