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Ábaco neperiano

El ábaco de Napier es un ábaco inventado por John Napier quien publicó la descripción del mismo en una obra impresa en Edimburgo a finales de 1617 titulada Rhabdologia. Por este método, los productos se reducen a operaciones de suma y los cocientes a restas; al igual que con las tablas de logaritmos, inventadas por él mismo se transforman las potencias en productos y las raíces en divisiones.

Ábaco neperiano

Descripción

El ábaco consta de un tablero con reborde en el que se colocarán las varillas neperianas para realizar las operaciones de multiplicación o división. El tablero tiene su reborde izquierdo dividido en 9 casillas en las que se escriben los números 1 a 9.

Las varillas neperianas son tiras de madera, metal o cartón grueso. La cara anterior está dividida en 9 cuadrados, salvo el superior, divididos en dos mitades por un trazo diagonal.

En la primera casilla de cada varilla se escribe el número, rellenando las siguientes con el duplo, triplo, cuádruplo y así sucesivamente hasta el nónuplo del número al que corresponda la varilla.

Los dígitos resultados del producto se escriben uno a cada lado de la diagonal y en aquellos casos en los que sea inferior a 10, se escriben en la casilla inferior, escribiendo en la superior un cero.

Un juego consta de 9 varillas correspondientes a los dígitos 1 a 9. En la figura se ha representado además la varilla 0, que realmente no es necesaria para los cálculos.

Multiplicación

Provistos del conjunto descrito, supongamos que deseamos calcular el producto del número 46785399 por 7.

En el tablero colocaremos las varillas correspondientes al número, tal como muestra la figura, haciendo posteriormente la lectura del resultado en la faja horizontal correspondiente al 7 del casillero del tablero, operación que solo requiere sencillas sumas, naturalmente con acarreo de los dígitos situados en diagonal.

 

Comenzando por la derecha obtendremos las unidades (3), las decenas (6+3=9), las centenas (6+1=7), etc.

Si algún dígito del número que deseamos multiplicar fuera cero, bastaría dejar un hueco entre las varillas.

Supongamos que queremos multiplicar el número anterior por 96.431; operando análogamente al caso anterior obtendremos rápidamente los productos parciales del número por 9, 6, 4, 3 y 1, colocándolos correctamente y sumando, obtendremos el resultado total.

 

División

Igualmente podrían realizarse divisiones una vez conocidos los 9 productos parciales del dividendo; determinados éstos mediante el ábaco, basta seleccionar el inmediatamente inferior al resto sin necesidad de realizar los molestos tanteos que requieren las divisiones realizadas a mano.

En el ejemplo, para hacer la operación anterior, se sigue el método siguiente:

  • El dividendo (46.785.399) tiene ocho dígitos y el divisor (96.431) tiene cinco. Por tanto, el cociente tendrá 8 - 5 = 3 dígitos. Como máximo, el cociente podría tener 8 - 5 + 1 = 4 dígitos, pero al ser el 4 del dividendo menor que el 9 del divisor, el cociente es de 3 dígitos. Estas cuestiones pertenecen a la aritmética.
Eso hace que haya que desplazar los 3 - 1 = 2 dígitos del dividendo, quedando el número 467.853 como el minuendo al que hay que buscarle el substraendo adecuado.
Usando la tabla neperiana obtenida, se busca el número menor más cercano a 467.853, que resulta ser el 385.724, que es substraendo de la operación y cuyo número asociado en la tabla neperiana es el 4, número que forma parte del cociente. El resultado de la resta es 82.129.
  • Al número resultante (82.129), se le añade un nueve que antes había sido despreciado, quedando el 821.299.
De nuevo, hay que realizar la operación de resta a 821.299 (minuendo) con el substraendo menor más cercano de la tabla neperiana, que es el 771.448, cuyo número asociado es ocho y cuya resta obtiene el 49.851.
  • Al número más próximo, que es el 482.155, cuyo número asociado es el cinco. La resta tiene por resultado 16.364.
  • Puesto que el 16.364 es menor que cualquiera de los números de la tabla neperiana y, además, ya se han obtenido los tres dígitos del cociente: 4, 8 y 5, ya se ha obtenido el resto de la operación.

El resultado es por tanto el siguiente (como se puede ver en la tabla):

Nombre Valor
Dividendo 46.785.399
Divisor 96.431
Cociente 485
Resto 16.364

Raíz cuadrada

Como sabemos, para extraer una raíz cuadrada primeramente, debe agruparse los dígitos de dos en dos desde la coma, tanto hacia la derecha como la izquierda, quedando el número de la forma siguiente:

... xx xx xx xx, xx xx xx...

Por ejemplo: el número 458938,34 quedaría 45 89 38, 34.

Tomando el par (que podrá ser un solo dígito) de la izquierda (xx), se obtiene la cifra a entera tal que su cuadrado sea igual o menor que el par. Ésta será la primera cifra de la solución. Restando del par el cuadrado del entero así encontrado, obtenemos el resto:

ra = xx - a² (Si el primer par fuera 07, la cifra a sería 2, y el resto 7-4=3)

Posteriormente, y de forma iterativa, se añade al resto el siguiente par, quedando un número de la forma yxx (y, el resto anterior, xx el par añadido) que llamaremos Ra. La siguiente cifra de la solución deberá ser tal que el cuadrado de la solución parcial ab (siendo ab un número de dos dígitos, no un producto) sea menor que xxxx (los dos primeros pares del radicando):

(ab)² = (a·10 + b)² = (a·10)² + 2·a·10·b + b² < xxxx

Despejando:

2·a·10·b + b² < xxxx - (a·10)² = R
(2·a·10 + b)·b < Ra (I)

Operando de igual modo una vez conocidas las cifras ab, deberá determinarse la tercera cifra de la solución (c) y siguientes (d, e, ...) que, como fácilmente se puede demostrar operando análogamente al caso anterior, deberán cumplir:

(2·(ab)·10 + c)·c < Rb (II)
(2·(abc)·10 + d)·d < Rb (III)
(2·(abcd)·10 + e)·e < Rb (IV)
...

Los productos indicados pueden obtenerse fácilmente con el ábaco de Napier, pero para ello es necesaria una varilla auxiliar tal que en cada faja horizontal recoja los cuadrados de los números correspondientes.

Conocida la primera cifra a, colocamos en el ábaco la (o las) varillas correspondientes al duplo de a. Hecho esto, bastará añadir la varilla de los cuadrados para encontrar el número tal que se cumpla la ecuación (I), que será el correspondiente a la faja b. Dicho número deberá sustraerse de Ra para encontrar Rb.

Encontrado b, retiramos la varilla auxiliar de los cuadrados y colocamos en el tablero la varilla correspondiente a 2·b; pueden darse dos casos, si b es menor que 5, el doble tendrá solo una cifra con la que bastará colocar la varilla; en caso contrario (igual o mayor que 5) el duplo será mayor de 10, por lo que será necesario incrementar la última varilla colocada en una unidad.

Veámoslo con un ejemplo. Deseamos obtener la raíz cuadrada del número 46 78 53 99. Tomamos el primer par (46) y determinamos el cuadrado inmediatamente inferior, que resulta ser 36 (49 que es el siguiente es mayor que 46), de modo que la primera cifra de la solución es 6, y el resto: 46 - 6·6 = 46 - 36 = 10.

Colocamos las varillas de 6·2 = 12 en el tablero, y seguidamente la varilla auxiliar de los cuadrados. Componemos el resto y el siguiente par obteniendo el número 1078 que no deberá ser superado por el cuadrado de (6b). Leemos en el ábaco (1) el valor 1024, encontrando que b= 8 y el nuevo resto 1078 - 1024 = 54, descendiendo el siguiente par, obtenemos un valor de 545312.

Colocamos las varillas correspondientes al doble de 8; por ser 16 (>10), retiraremos la última varilla, la del 2, sustituyéndola por la del 3 (es decir, le sumamos una unidad) y añadimos la varilla del 6. El ábaco queda como se muestra en (2a). Como puede observarse, las cifras colocadas son las correspondientes al doble de la solución encontrada hasta el momento (68·2 = 136); es decir, el 2abc de las ecuaciones anteriores.

 

Hecho esto, volvemos a colocar la varilla auxiliar, y operando como en el caso anterior, obtenemos (2b) la tercera cifra: 3, siendo el resto 1364. Descendemos el siguiente par obteniendo un valor 136499, colocamos la varilla 6 (3·2) y encontramos el siguiente dígito 9 y el resto 13478. Mientras el resto sea distinto de cero se puede seguir obteniendo cifras significativas.

Por ejemplo, para obtener el primer decimal, bajaríamos el par 00 obteniendo el número 1347800 y colocaríamos las varillas del 9·2 = 18, quedando en el tablero las siguientes: 1-3-6-7(6+1)-8-auxiliar. Haciendo la comprobación, se obtiene el primer decimal = 9.

Modificaciones

 

Durante el siglo XIX, el ábaco neperiano sufrió una transformación para facilitar la lectura. Las varillas comenzaron a fabricarse con una inclinación del orden de 65º, de modo que los triángulos que debían sumarse quedaran alineados verticalmente. En este caso, en cada casilla de la varilla se consigna la unidad a la derecha y la decena (o el cero) a la izquierda.

Las varillas estaban fabricadas de modo tal que el grabado vertical y horizontal era más visible que las juntas entre las varillas, facilitándose mucho la lectura al quedar el par de componentes de cada dígito del resultado en un rectángulo.

Así, en la figura se aprecia inmediatamente que:

987654321 x 5 = 4938271605

Ábaco de fichas

 
Detalle

Además del ábaco anterior, Napier construyó un ábaco de fichas. Ambos reunidos en un único aparato constituyen una joya histórica, única en Europa, que posee el Museo Arqueológico Nacional español.

El aparato es una magnífica caja de madera con incrustaciones de hueso. En la parte superior contiene el ábaco rabdológico, mientras que en la inferior se encuentra el segundo ábaco que consta de 300 fichas almacenadas en 30 cajones de las que 100 están cubiertas de cifras y doscientas muestran pequeños taladros triangulares que permiten ver únicamente ciertas cifras de las fichas de números cuando se superponen a aquellas, de forma tal que merced a la hábil colocación de unos y otros pueden realizarse multiplicaciones hasta el asombroso límite de un número de 100 cifras por otro de 200.

En las portezuelas de la caja se encuentran además las primeras potencias de los números dígitos, los coeficientes de los términos de las primeras potencias del binomio y los datos numéricos de los poliedros regulares.

Se desconoce quién fue el autor de esta riquísima joya, ni si es de autoría española o vino del extranjero, aunque es probable que originalmente perteneciera a la Academia de Matemáticas creada por Felipe II o que la trajese como regalo el Príncipe de Gales. Lo único que puede asegurarse es que se conservaba en Palacio, de donde pasó a la Biblioteca Nacional y posteriormente al Museo Arqueológico Nacional, donde aún se conserva.

En 1876, el gobierno español envió el aparato a la exposición de instrumentos científicos celebrada en Kensington, donde llamó extraordinariamente la atención, hasta el punto de que varias sociedades consultaron a la representación española acerca del origen y uso del aparato, lo que motivó que D. Felipe Picatoste escribiera una monografía que fue posteriormente enviada a todas las naciones, sorprendiendo el hecho de que el ábaco solo fuera conocido en Inglaterra, país de origen de su inventor.

Bibliografía

  • Diccionario Enciclopédico Hispano-Americano. Barcelona (España): Montaner i Simon. 1887. pp. 19-20. 


  •   Datos: Q1358538
  •   Multimedia: Napier's bones

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El abaco de Napier es un abaco inventado por John Napier quien publico la descripcion del mismo en una obra impresa en Edimburgo a finales de 1617 titulada Rhabdologia Por este metodo los productos se reducen a operaciones de suma y los cocientes a restas al igual que con las tablas de logaritmos inventadas por el mismo se transforman las potencias en productos y las raices en divisiones Abaco neperiano Indice 1 Descripcion 1 1 Multiplicacion 1 2 Division 1 3 Raiz cuadrada 1 4 Modificaciones 1 5 Abaco de fichas 2 BibliografiaDescripcion EditarEl abaco consta de un tablero con reborde en el que se colocaran las varillas neperianas para realizar las operaciones de multiplicacion o division El tablero tiene su reborde izquierdo dividido en 9 casillas en las que se escriben los numeros 1 a 9 Las varillas neperianas son tiras de madera metal o carton grueso La cara anterior esta dividida en 9 cuadrados salvo el superior divididos en dos mitades por un trazo diagonal En la primera casilla de cada varilla se escribe el numero rellenando las siguientes con el duplo triplo cuadruplo y asi sucesivamente hasta el nonuplo del numero al que corresponda la varilla Los digitos resultados del producto se escriben uno a cada lado de la diagonal y en aquellos casos en los que sea inferior a 10 se escriben en la casilla inferior escribiendo en la superior un cero Un juego consta de 9 varillas correspondientes a los digitos 1 a 9 En la figura se ha representado ademas la varilla 0 que realmente no es necesaria para los calculos Multiplicacion Editar Provistos del conjunto descrito supongamos que deseamos calcular el producto del numero 46785399 por 7 En el tablero colocaremos las varillas correspondientes al numero tal como muestra la figura haciendo posteriormente la lectura del resultado en la faja horizontal correspondiente al 7 del casillero del tablero operacion que solo requiere sencillas sumas naturalmente con acarreo de los digitos situados en diagonal Comenzando por la derecha obtendremos las unidades 3 las decenas 6 3 9 las centenas 6 1 7 etc Si algun digito del numero que deseamos multiplicar fuera cero bastaria dejar un hueco entre las varillas Supongamos que queremos multiplicar el numero anterior por 96 431 operando analogamente al caso anterior obtendremos rapidamente los productos parciales del numero por 9 6 4 3 y 1 colocandolos correctamente y sumando obtendremos el resultado total Division Editar Igualmente podrian realizarse divisiones una vez conocidos los 9 productos parciales del dividendo determinados estos mediante el abaco basta seleccionar el inmediatamente inferior al resto sin necesidad de realizar los molestos tanteos que requieren las divisiones realizadas a mano En el ejemplo para hacer la operacion anterior se sigue el metodo siguiente El dividendo 46 785 399 tiene ocho digitos y el divisor 96 431 tiene cinco Por tanto el cociente tendra 8 5 3 digitos Como maximo el cociente podria tener 8 5 1 4 digitos pero al ser el 4 del dividendo menor que el 9 del divisor el cociente es de 3 digitos Estas cuestiones pertenecen a la aritmetica Eso hace que haya que desplazar los 3 1 2 digitos del dividendo quedando el numero 467 853 como el minuendo al que hay que buscarle el substraendo adecuado Usando la tabla neperiana obtenida se busca el numero menor mas cercano a 467 853 que resulta ser el 385 724 que es substraendo de la operacion y cuyo numero asociado en la tabla neperiana es el 4 numero que forma parte del cociente El resultado de la resta es 82 129 dd Al numero resultante 82 129 se le anade un nueve que antes habia sido despreciado quedando el 821 299 De nuevo hay que realizar la operacion de resta a 821 299 minuendo con el substraendo menor mas cercano de la tabla neperiana que es el 771 448 cuyo numero asociado es ocho y cuya resta obtiene el 49 851 dd Al numero mas proximo que es el 482 155 cuyo numero asociado es el cinco La resta tiene por resultado 16 364 Puesto que el 16 364 es menor que cualquiera de los numeros de la tabla neperiana y ademas ya se han obtenido los tres digitos del cociente 4 8 y 5 ya se ha obtenido el resto de la operacion El resultado es por tanto el siguiente como se puede ver en la tabla Nombre ValorDividendo 46 785 399Divisor 96 431Cociente 485Resto 16 364 dd Raiz cuadrada Editar Como sabemos para extraer una raiz cuadrada primeramente debe agruparse los digitos de dos en dos desde la coma tanto hacia la derecha como la izquierda quedando el numero de la forma siguiente xx xx xx xx xx xx xx Por ejemplo el numero 458938 34 quedaria 45 89 38 34 Tomando el par que podra ser un solo digito de la izquierda xx se obtiene la cifra a entera tal que su cuadrado sea igual o menor que el par Esta sera la primera cifra de la solucion Restando del par el cuadrado del entero asi encontrado obtenemos el resto ra xx a Si el primer par fuera 07 la cifra a seria 2 y el resto 7 4 3 Posteriormente y de forma iterativa se anade al resto el siguiente par quedando un numero de la forma yxx y el resto anterior xx el par anadido que llamaremos Ra La siguiente cifra de la solucion debera ser tal que el cuadrado de la solucion parcial ab siendo ab un numero de dos digitos no un producto sea menor que xxxx los dos primeros pares del radicando ab a 10 b a 10 2 a 10 b b lt xxxxDespejando 2 a 10 b b lt xxxx a 10 R 2 a 10 b b lt Ra I Operando de igual modo una vez conocidas las cifras ab debera determinarse la tercera cifra de la solucion c y siguientes d e que como facilmente se puede demostrar operando analogamente al caso anterior deberan cumplir 2 ab 10 c c lt Rb II 2 abc 10 d d lt Rb III 2 abcd 10 e e lt Rb IV Los productos indicados pueden obtenerse facilmente con el abaco de Napier pero para ello es necesaria una varilla auxiliar tal que en cada faja horizontal recoja los cuadrados de los numeros correspondientes Conocida la primera cifra a colocamos en el abaco la o las varillas correspondientes al duplo de a Hecho esto bastara anadir la varilla de los cuadrados para encontrar el numero tal que se cumpla la ecuacion I que sera el correspondiente a la faja b Dicho numero debera sustraerse de Ra para encontrar Rb Encontrado b retiramos la varilla auxiliar de los cuadrados y colocamos en el tablero la varilla correspondiente a 2 b pueden darse dos casos si b es menor que 5 el doble tendra solo una cifra con la que bastara colocar la varilla en caso contrario igual o mayor que 5 el duplo sera mayor de 10 por lo que sera necesario incrementar la ultima varilla colocada en una unidad Veamoslo con un ejemplo Deseamos obtener la raiz cuadrada del numero 46 78 53 99 Tomamos el primer par 46 y determinamos el cuadrado inmediatamente inferior que resulta ser 36 49 que es el siguiente es mayor que 46 de modo que la primera cifra de la solucion es 6 y el resto 46 6 6 46 36 10 Colocamos las varillas de 6 2 12 en el tablero y seguidamente la varilla auxiliar de los cuadrados Componemos el resto y el siguiente par obteniendo el numero 1078 que no debera ser superado por el cuadrado de 6b Leemos en el abaco 1 el valor 1024 encontrando que b 8 y el nuevo resto 1078 1024 54 descendiendo el siguiente par obtenemos un valor de 545312 Colocamos las varillas correspondientes al doble de 8 por ser 16 gt 10 retiraremos la ultima varilla la del 2 sustituyendola por la del 3 es decir le sumamos una unidad y anadimos la varilla del 6 El abaco queda como se muestra en 2a Como puede observarse las cifras colocadas son las correspondientes al doble de la solucion encontrada hasta el momento 68 2 136 es decir el 2abc de las ecuaciones anteriores Hecho esto volvemos a colocar la varilla auxiliar y operando como en el caso anterior obtenemos 2b la tercera cifra 3 siendo el resto 1364 Descendemos el siguiente par obteniendo un valor 136499 colocamos la varilla 6 3 2 y encontramos el siguiente digito 9 y el resto 13478 Mientras el resto sea distinto de cero se puede seguir obteniendo cifras significativas Por ejemplo para obtener el primer decimal bajariamos el par 00 obteniendo el numero 1347800 y colocariamos las varillas del 9 2 18 quedando en el tablero las siguientes 1 3 6 7 6 1 8 auxiliar Haciendo la comprobacion se obtiene el primer decimal 9 Modificaciones Editar Durante el siglo XIX el abaco neperiano sufrio una transformacion para facilitar la lectura Las varillas comenzaron a fabricarse con una inclinacion del orden de 65º de modo que los triangulos que debian sumarse quedaran alineados verticalmente En este caso en cada casilla de la varilla se consigna la unidad a la derecha y la decena o el cero a la izquierda Las varillas estaban fabricadas de modo tal que el grabado vertical y horizontal era mas visible que las juntas entre las varillas facilitandose mucho la lectura al quedar el par de componentes de cada digito del resultado en un rectangulo Asi en la figura se aprecia inmediatamente que 987654321 x 5 4938271605Abaco de fichas Editar Abaco del Museo Arqueologico Nacional Madrid Detalle Ademas del abaco anterior Napier construyo un abaco de fichas Ambos reunidos en un unico aparato constituyen una joya historica unica en Europa que posee el Museo Arqueologico Nacional espanol El aparato es una magnifica caja de madera con incrustaciones de hueso En la parte superior contiene el abaco rabdologico mientras que en la inferior se encuentra el segundo abaco que consta de 300 fichas almacenadas en 30 cajones de las que 100 estan cubiertas de cifras y doscientas muestran pequenos taladros triangulares que permiten ver unicamente ciertas cifras de las fichas de numeros cuando se superponen a aquellas de forma tal que merced a la habil colocacion de unos y otros pueden realizarse multiplicaciones hasta el asombroso limite de un numero de 100 cifras por otro de 200 En las portezuelas de la caja se encuentran ademas las primeras potencias de los numeros digitos los coeficientes de los terminos de las primeras potencias del binomio y los datos numericos de los poliedros regulares Se desconoce quien fue el autor de esta riquisima joya ni si es de autoria espanola o vino del extranjero aunque es probable que originalmente perteneciera a la Academia de Matematicas creada por Felipe II o que la trajese como regalo el Principe de Gales Lo unico que puede asegurarse es que se conservaba en Palacio de donde paso a la Biblioteca Nacional y posteriormente al Museo Arqueologico Nacional donde aun se conserva En 1876 el gobierno espanol envio el aparato a la exposicion de instrumentos cientificos celebrada en Kensington donde llamo extraordinariamente la atencion hasta el punto de que varias sociedades consultaron a la representacion espanola acerca del origen y uso del aparato lo que motivo que D Felipe Picatoste escribiera una monografia que fue posteriormente enviada a todas las naciones sorprendiendo el hecho de que el abaco solo fuera conocido en Inglaterra pais de origen de su inventor Bibliografia EditarDiccionario Enciclopedico Hispano Americano Barcelona Espana Montaner i Simon 1887 pp 19 20 Datos Q1358538 Multimedia Napier s bonesObtenido de https es wikipedia org w index php title Abaco neperiano amp oldid 128815522, wikipedia, wiki, leyendo, leer, libro, biblioteca,

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